Peluang Perpindahan Jalur Model Kinetik .1 Pendekatan dari Sebaran Mobil di Posisi Depan

Nilai harapan dari i D diberikan oleh ρ μ 1 = = i D E yang sesuai dengan persamaan 4.3.11. Secara umum i D E bebas terhadap i . Dengan melihat titik tetap spasial x , akan ditentukan sebaran dari jarak x B yang merupakan jarak antara titik x dengan mobil di belakang x , dan jarak x F yang merupakan jarak antara titik x dengan mobil di depan x , yaitu x N x X x B − = x X F x N x − = +1 , jika 1 + ≤ x x N N X x X . , 2 1 h B h F P x x ≥ ≥ memberikan peluang untuk gap sepanjang 1 h di depan x dan sepanjang 2 h di belakang x . Nilai asimtotik dari peluang ini untuk x menuju ke takhingga dapat diperoleh dengan menggunakan teorema pembaruan. Didefinisikan ∫ ∞ + − = ≥ ≥ 2 1 ] , . ; 1 [ 1 , 2 1 h h x x dh f h Q h B h F P μ , dengan fungsi sebaran Q didefinisikan sebagai ∫ ′ ′ = h h d f v h q f v h Q , ; , ; . 4.3.15 Persamaan di atas menghasilkan , 2 1 h B h F P x x ≥ ≥ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ + ∞ + ∞ + ∞ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ − = ′ ′ − = 2 1 2 1 2 1 2 1 , ; 1 , ; , ; ] , ; 1 [ 1 h h w h h h h w h h w h w h h h dh dv v F h d f v h q dh dv v F h d f v h q v F dh dv v F h d f v h q dv v F dh h d f v h q ρ ρ ρ μ ∫ ∫ ∫ ∞ + ∞ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ = 2 1 , ; h h w h dh dv v F h d f v h q ρ dv v F dh h d f v h q w h h h , ; 2 1 ∫ ∫ ∫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ = ∞ + ∞ ρ dv v F dh h d f v h q w h h h , ; 2 1 ∫ ∫ ∫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′ ′ = ∞ + ∞ ρ . , . , 2 1 ∫ ∫ ∞ + ∞ ′ ′ = h h h dh h d f h q ρ 4.3.16 Pada bagian berikut akan ditentukan peluang untuk melakukan perpindahan ke jalur kanan dan perpindahan ke jalur kiri. Peluang tersebut dapat ditentukan melalui model stokastik. Diasumsikan bahwa kecepatan mobil pada jalur yang baru menyebar berdasarkan fungsi sebaran f. Dengan mempertimbangkan mobil dengan kecepatan v dan menentukan peluang L R Y f v P Y , , , = di mana perpindahan jalur ke kanan atau ke kiri dapat dilakukan jika ambang batas masing-masing dilalui, artinya akan ditentukan peluang dari ketersediaan ruang yang cukup di jalur lainnya. Setelah perpindahan jalur, jarak antara mobil yang berpindah posisi pada kecepatan v dengan mobil di depannya pada jalur yang baru sekurang-kurangnya adalah L R Y v H S Y , , = , hal ini sesuai dengan model mikroskopik. Lebih lanjut, jarak antara mobil yang berpindah jalur dengan mobil yang berada di posisi belakang pada jalur baru dengan kecepatan v′ sekurang-kurangnya adalah L R Y v H S Y , , = ′ . Peluang L R Y f v v p Y , , , , = ′ yaitu peluang perpindahan jalur dari mobil dengan kecepatan v dan terdapat mobil di posisi belakangnya pada jalur baru dengan kecepatan v′ , akan diperoleh dengan mengatur nilai 1 v H h S Y = dan 2 v H h S Y ′ = pada persamaan 4.3.16, sehingga diperoleh persamaan peluang perpindahan jalur sebagai berikut ∫ ∫ ∞ ′ + ∞ ′ ′ = ′ , . , , , v H v H h Y S Y S Y dh h d f h q f v v p ρ . 4.3.17 Rata-rata dari persamaan ini untuk semua v′ menghasilkan peluang yang diinginkan, yaitu , f v P Y untuk perpindahan jalur kendaraan dengan kecepatan v yang didefinisikan sebagai = , . , , f v p f v P Y Y . 4.3.18 Persamaan eksplisit dari , , f v v p Y ′ menggunakan persamaan 4.3.12 untuk q yang diperoleh dari rata-rata fungsi , ~ , , ~ f v v v p Y ′ yaitu ′ = , . , , ~ , , f v v p f v v p Y Y . Sedangkan persamaan , ~ , , ~ f v v v p Y ′ adalah sebagai berikut , ~ , , ~ , , ~ f v v H v H R f v v v p S Y S Y Y ′ + = ′ ρ , dengan , , , , 1 , , 1 f v h R f v h R f v h R λ λ + − = . Selanjutnya didefinisikan ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − + = − − − − jika , ~ 1 jika , ~ 1 jika , ~ 1 , , ~ ~ v H h e v H h v H e v H h h v H f v h R A v H h A B v H h B B B B ρ ρ ρ ρ ρ dan ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − − + − = jika , jika , 2 jika , 2 , , 2 1 v H h v H h v H v H v H h v H v H h v H v H h v H f v h R A A B B A A B B A B sehingga diperoleh persamaan untuk , , f v h R yaitu ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − + − = − − − − . jika , ~ 1 - 1 jika , 2 ~ 1 1 jika , 2 ~ 1 1 , , ~ 2 ~ v H h e v H h v H v H v H h v H e v H h v H v H h v H f v h R A v H h A B B A A v H h B B A B B B ρ ρ ρ λ λ ρ λ λ ρ λ

4.3.5 Persamaan Model Kinetik Multijalur

Persamaan kinetik untuk fungsi sebaran ,..., 1 N f f pada N jalur diperoleh dari pertimbangan yang sama seperti pada teori kinetik gas, yaitu dengan menentukan operator perolehan G dan operator kehilangan L yang merupakan operator dari interaksi kinetik. Hal ini dilakukan dengan menggunakan interaksi mikroskopik seperti kombinasi dari langkah dasar dengan prosedur standar untuk memperoleh persamaan kinetik. Dari subbab 2.5 didefinisikan ,..., , ,..., ~ 1 2 2 1 N N x t f f f f C f v f + = ∂ + ∂ α α α . + α C ~ merupakan suatu besaran yang menggambarkan resultan dari interaksi antarobjek yang dinyatakan oleh Klar Wegener 1998 sebagai ,..., , ,..., ~ 1 2 2 1 N N f f f f C + α [ ] [ ] , 1 , ~ , , ~ 1 , , ~ , ~ ~ ~ ~ ~ , , ~ ~ , 1 2 2 2 1 1 , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 N R L L R F F A A B B f f L f f f G f f f L f f G f L G L G f f f L G α α α α α α α α α α α α α α α α δ δ − − + − − + − + − + − = + + + + + + − + − + + + + + + − + + sehingga α α f v f x t ∂ + ∂ [ ] [ ] , 1 , ~ , , ~ 1 , , ~ , ~ ~ ~ ~ ~ , , ~ ~ , 1 2 2 2 1 1 , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 N R L L R F F A A B B f f L f f f G f f f L f f G f L G L G f f f L G α α α α α α α α α α α α α α α α δ δ − − + − − + − + − + − = + + + + + + − + − + + + + + + − + + 4.3.19 dengan j i , δ menotasikan simbol Kronecker dan , , , 2 + v h v x f α merupakan pendekatan yang diperoleh dari persamaan 4.3.10. Berikut digunakan untuk F A B X , , = notasi berikut , , , f v v H q f v q X X = , dengan , ; f v h q telah didefinisikan pada persamaan 4.3.12. Peluang L R Y f v P Y , , , = untuk perpindahan ke jalur kanan atau ke kiri juga telah didefinisikan pada persamaan 4.3.18. Peluang tersebut akan digunakan untuk N f f , ... , 1 , = = α α . Sebagai tambahan juga digunakan , , 1 f v P f v P L N R = = + . Interaksi yang dapat terjadi pada persamaan 4.3.19 dapat dinyatakan dan diperoleh pendekatannya dengan menggunakan persamaan 4.3.10, yaitu sebagai berikut: Interaksi 1: Perpindahan ke jalur kanan Mobil berpindah ke jalur kanan, jika ambang batas pengereman dapat dicapai dan perpindahan jalur masih memungkinkan untuk terjadi peluang R P .