Persamaan Model Kinetik Multijalur
menentukan operator perolehan G dan operator kehilangan L yang merupakan operator dari interaksi kinetik. Hal ini dilakukan dengan menggunakan interaksi
mikroskopik seperti kombinasi dari langkah dasar dengan prosedur standar untuk memperoleh persamaan kinetik. Dari subbab 2.5 didefinisikan
,..., ,
,..., ~
1 2
2 1
N N
x t
f f
f f
C f
v f
+
= ∂
+ ∂
α α
α
.
+ α
C ~
merupakan suatu besaran yang menggambarkan resultan dari interaksi antarobjek yang dinyatakan oleh Klar Wegener 1998 sebagai
,..., ,
,..., ~
1 2
2 1
N N
f f
f f
C
+ α
[ ]
[ ]
, 1
, ~
, ,
~ 1
, ,
~ ,
~ ~
~ ~
~ ,
, ~
~
, 1
2 2
2 1
1 ,
1 2
1 2
1 2
1 2
1
N R
L L
R F
F A
A B
B
f f
L f
f f
G f
f f
L f
f G
f L
G L
G f
f f
L G
α α
α α
α α
α α
α α
α α
α α
α α
δ δ
− −
+ −
− +
− +
− +
− =
+ +
+ +
+ +
− +
− +
+ +
+ +
+ −
+ +
sehingga
α α
f v
f
x t
∂ +
∂
[ ]
[ ]
, 1
, ~
, ,
~ 1
, ,
~ ,
~ ~
~ ~
~ ,
, ~
~
, 1
2 2
2 1
1 ,
1 2
1 2
1 2
1 2
1
N R
L L
R F
F A
A B
B
f f
L f
f f
G f
f f
L f
f G
f L
G L
G f
f f
L G
α α
α α
α α
α α
α α
α α
α α
α α
δ δ
− −
+ −
− +
− +
− +
− =
+ +
+ +
+ +
− +
− +
+ +
+ +
+ −
+ +
4.3.19 dengan
j i
,
δ menotasikan simbol Kronecker dan ,
, ,
2 +
v h
v x
f
α
merupakan pendekatan yang diperoleh dari persamaan 4.3.10. Berikut digunakan untuk
F A
B X
, ,
= notasi berikut
, ,
, f
v v
H q
f v
q
X X
= ,
dengan ,
; f
v h
q telah didefinisikan pada persamaan 4.3.12. Peluang
L R
Y f
v P
Y
, ,
, =
untuk perpindahan ke jalur kanan atau ke kiri juga telah didefinisikan pada persamaan 4.3.18. Peluang tersebut akan digunakan untuk
N f
f ,
... ,
1 ,
= =
α
α
. Sebagai tambahan juga digunakan ,
,
1
f v
P f
v P
L N
R
= =
+
. Interaksi yang dapat terjadi pada persamaan 4.3.19 dapat dinyatakan dan
diperoleh pendekatannya dengan menggunakan persamaan 4.3.10, yaitu sebagai berikut:
Interaksi 1: Perpindahan ke jalur kanan
Mobil berpindah ke jalur kanan, jika ambang batas pengereman dapat dicapai dan perpindahan jalur masih memungkinkan untuk terjadi peluang
R
P .
Operator perolehan G:
+ +
− +
− +
∫
+
− =
v d
v v
H v
x f
v v
x f
v P
f f
G
B v
v R
R
ˆ ˆ
, ,
, ˆ
, ,
~
2 1
ˆ 2
1 α
α α
α
, x
f
α
sebagai ganti dari ,.
x f
α
dan pendekatannya adalah
∫
+ +
− −
− +
− +
+
+ −
=
v v
B B
R R
v d
v v
H x
F v
x f
x f
v q
v v
x f
v P
f f
G
ˆ 1
1 1
1
ˆ ˆ
, ,
, ˆ
, ,
α α
α α
α α
. Operator kehilangan L:
Dengan argumen yang sama diperoleh pendekatan dari
+ R
L ~
yaitu ,
, ~
, ~
, ~
1 1
1 2
1 2
+ +
+ +
+ +
+ +
= =
α α
α α
α α
α α
f f
L f
f G
f f
G f
f L
R R
R R
. Lebih lanjut diperoleh
, ~
, ~
1 2
1 2
+ +
+ +
=
α α
α α
f f
G f
f L
R R
+ +
+ +
∫
+
− =
dv v
v H
v x
f v
v x
f v
P
B v
v R
ˆ ,
, ,
ˆ ,
2 ˆ
1 α
α
yang diaproksimasi oleh
∫
+ +
+ +
+ +
+
+ −
=
v v
B B
R R
v d
v v
H x
F v
x f
x f
v q
v v
x f
v P
f f
L
ˆ 1
1
ˆ ˆ
, ,
, ˆ
, ,
α α
α α
α α
.
Interaksi 2: Perpindahan ke jalur kiri
Mobil berpindah ke jalur kiri, jika mobil di posisi belakang mencapai ambang batas pengereman dan tidak dapat berpindah ke kanan. Lebih lanjut, perpindahan
ke jalur kiri harus memungkinkan untuk terjadi peluang
L
P .
Operator perolehan G:
[ ]
∫
− −
+ −
+ +
+
−
− −
− =
v v
B R
L L
v v
v H
x f
v P
x f
v P
f f
f G
ˆ 2
2 2
1
ˆ ˆ
, ˆ
1 ,
, ,
~
α α
α α
α −
− −
+
− v
d v
x v
v H
x f
B
ˆ ,
, ˆ
, ˆ
2 1
α
, yang diaproksimasi oleh
[ ]
∫
− −
+ −
+ +
+
−
− −
− =
v v
B R
L L
v v
v H
x f
v P
x f
v P
f f
f G
ˆ 2
2 1
ˆ ˆ
, ˆ
1 ,
, ,
α α
α α
α −
+ −
− +
− +
−
− −
v d
v x
F v
v H
x f
v H
x f
v q
B B
B
ˆ ,
ˆ ,
ˆ ˆ
, ˆ
1 1
1 α
α α
. Operator kehilangan L:
Dengan argumen yang sama diperoleh pendekatan dari
+ L
L ~
, yaitu ,
, ,
, ~
, ,
~ ,
, ~
1 1
1 1
1 2
1 1
2 1
+ −
+ +
− +
+ −
+ +
− +
= =
α α
α α
α α
α α
α α
α α
f f
f L
f f
f G
f f
f G
f f
f L
L L
L L
.
Selanjutnya diperoleh ,
, ~
, ,
~
1 2
1 1
2 1
+ −
+ +
− +
=
α α
α α
α α
f f
f G
f f
f L
L L
[ ]
∫
− −
+ −
−
−
− −
− =
v v
B R
L
v v
v H
x f
v P
x f
v P
ˆ 1
1
ˆ ˆ
, ˆ
1 ,
α α
− −
−
− v
d v
x v
v H
x f
B
ˆ ,
, ˆ
, ˆ
2 α
, yang diaproksimasi oleh
[ ]
∫
− −
+ −
− +
− +
−
− −
− =
v v
B R
L L
v v
v H
x f
v P
x f
v P
f f
f L
ˆ 1
1 1
1
ˆ ˆ
, ˆ
1 ,
, ,
α α
α α
α −
− −
− −
− −
v d
v x
F v
v H
x f
v H
x f
v q
B B
B
ˆ ,
ˆ ,
ˆ ˆ
, ˆ
α α
α
.
Interaksi 3: Pengereman
Mobil akan mengerem jika mencapai ambang batas pengereman dan pengemudi tidak dapat berpindah ke jalur kanan, dan jika mobil yang berada di posisi depan
juga tidak bisa berpindah ke jalur kiri. Operator perolehan G:
Didefinisikan
B
P sebagai peluang pengereman yaitu
= +
+ −
+
, ,
,
1 1
x f
v H
x f
v v
P
B B
α α
[ ][
]
, 1
, 1
1 1
v H
x f
v P
x f
v P
B L
R
+ −
−
− +
+ α
α
. 4.3.21
Selanjutnya diperoleh
∫ ∫
+ +
− +
+ −
+
− +
=
+
ˆ ,
ˆ ˆ
, ,
ˆ ,
ˆ ,
, ~
1 1
ˆ ˆ
1 2
1
v v
v v
x f
v H
x f
v v
P f
f f
G
B B
v v
B B
σ
α α
α α
α +
+
v d
v d
v v
H v
x f
B
ˆ ˆ
ˆ ,
ˆ ,
ˆ ,
2 α
, dengan aproksimasi
∫ ∫
+ +
− +
+ −
+
− +
=
+
ˆ ,
ˆ ˆ
, ,
ˆ ,
ˆ ,
,
1 1
ˆ ˆ
1 1
v v
v v
x f
v H
x f
v v
P f
f f
G
B B
v v
B B
σ
α α
α α
α +
+
+ v
d v
d v
v H
x F
v x
f x
f v
q
B B
ˆ ˆ
ˆ ,
ˆ ˆ
, ,
ˆ
α α
α
, dan
[ ]
1 ˆ
1 ˆ
,
ˆ ,
ˆ
v v
v v
v v
B β
χ β
σ −
= .
Operator kehilangan L:
+ +
− +
+ −
+
− +
=
∫
+
v v
x f
v H
x f
v v
P f
f f
L
B v
v B
B
ˆ ,
, ˆ
, ,
, ~
1 ˆ
1 1
2 1
α α
α α
α
+ +
v d
v v
H v
x f
B
ˆ ˆ
, ,
,
2 α
, yang diaproksimasi oleh
+ +
− +
+ −
+
− +
=
∫
+
v v
x f
v H
x f
v v
P f
f f
L
B v
v B
B
ˆ ,
, ˆ
, ,
,
1 ˆ
1 1
1 α
α α
α α
+ +
+ v
d v
v H
x F
v x
f x
f v
q
B B
ˆ ˆ
, ,
,
α α
α
.
Interaksi 4: Akselerasi Mobil akan berakselerasi jika ambang batas akselerasi dapat dicapai.
Operator perolehan G:
∫ ∫
+ +
+ +
+
− =
v d
v d
v v
H v
x f
v v
v v
f G
A A
v v
A
ˆ ˆ
ˆ ,
ˆ ,
ˆ ,
ˆ ,
ˆ ˆ
~
2 ˆ
ˆ 2
α α
σ ,
yang diaproksimasi oleh
∫ ∫
+ +
+ +
+ −
=
+
v d
v d
v v
H x
F v
x f
x f
v q
v v
v v
f G
A A
A v
v A
ˆ ˆ
ˆ ,
ˆ ˆ
, ,
ˆ ˆ
, ˆ
ˆ
ˆ ˆ
α α
α α
σ ,
dengan
[ ]
ˆ ˆ
, min
1 ˆ
,
ˆ ,
min ,
ˆ
v v
v w
v v
v w
v A
α
χ α
σ −
= .
Operator kehilangan L:
∫
+ +
+ +
+
− =
v v
A A
v d
v v
H v
x f
v v
f L
ˆ 2
2
ˆ ˆ
, ,
, ˆ
~
α α
, yang diaproksimasi oleh
∫
+ +
+ +
+
+ −
=
v v
A A
A
v d
v v
H x
F v
x f
x f
v q
v v
f L
ˆ
ˆ ˆ
, ,
, ˆ
α α
α α
.
Interaksi 5: Akselerasi bebas
Dengan menggunakan
F F
H q
, , dan
ˆ ,
v f
v v
D F
= σ
sebagai pengganti dari ,
,
A A
H q
dan
A
σ yang mendefinisikan
+ F
G dan
+ F
L dengan cara yang sama untuk
mendefinisikan
+ A
G dan
+ A
L .
Operator perolehan G:
∫ ∫
+ +
+ +
+
− =
v d
v d
v v
H v
x f
v v
v v
f G
F F
v v
F
ˆ ˆ
ˆ ,
ˆ ,
ˆ ,
ˆ ,
ˆ ˆ
~
2 ˆ
ˆ 2
α α
σ ,
yang diaproksimasi oleh
∫ ∫
+ +
+ +
+ −
=
+
v d
v d
v v
H x
F v
x f
x f
v q
v v
v v
f G
F F
F v
v F
ˆ ˆ
ˆ ,
ˆ ˆ
, ,
ˆ ˆ
, ˆ
ˆ
ˆ ˆ
α α
α α
σ ,
dengan ˆ
, v
f v
v
D F
= σ
. Operator kehilangan L:
∫
+ +
+ +
+
− =
v v
F F
v d
v v
H v
x f
v v
f L
ˆ 2
2
ˆ ˆ
, ,
, ˆ
~
α α
, yang diaproksimasi oleh
∫
+ +
+ +
+
+ −
=
v v
F F
F
v d
v v
H x
F v
x f
x f
v q
v v
f L
ˆ
ˆ ˆ
, ,
, ˆ
α α
α α
. Dengan menggunakan aproksimasi di atas, persamaan kinetik untuk jalur
N ,
... ,
1 =
α dapat dinyatakan sebagai berikut:
α α
f v
f
x t
∂ +
∂ ,...,
1 N
f f
C
+
=
α
[ ]
[ ]
1 ,
, ,
1 ,
, ,
, ,
, 1
2 1
1 ,
1 1
1 1
1 N
R L
L R
F F
A A
B B
f f
L f
f f
G f
f f
L f
f G
f L
G L
G f
f f
L G
α α
α α
α α
α α
α α
α α
α α
α α
δ δ
− −
+ −
− +
− +
− +
− =
+ +
+ +
+ +
− +
− +
+ +
+ +
+ −
+ +
4.3.22