Persamaan Model Kinetik Multijalur

menentukan operator perolehan G dan operator kehilangan L yang merupakan operator dari interaksi kinetik. Hal ini dilakukan dengan menggunakan interaksi mikroskopik seperti kombinasi dari langkah dasar dengan prosedur standar untuk memperoleh persamaan kinetik. Dari subbab 2.5 didefinisikan ,..., , ,..., ~ 1 2 2 1 N N x t f f f f C f v f + = ∂ + ∂ α α α . + α C ~ merupakan suatu besaran yang menggambarkan resultan dari interaksi antarobjek yang dinyatakan oleh Klar Wegener 1998 sebagai ,..., , ,..., ~ 1 2 2 1 N N f f f f C + α [ ] [ ] , 1 , ~ , , ~ 1 , , ~ , ~ ~ ~ ~ ~ , , ~ ~ , 1 2 2 2 1 1 , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 N R L L R F F A A B B f f L f f f G f f f L f f G f L G L G f f f L G α α α α α α α α α α α α α α α α δ δ − − + − − + − + − + − = + + + + + + − + − + + + + + + − + + sehingga α α f v f x t ∂ + ∂ [ ] [ ] , 1 , ~ , , ~ 1 , , ~ , ~ ~ ~ ~ ~ , , ~ ~ , 1 2 2 2 1 1 , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 N R L L R F F A A B B f f L f f f G f f f L f f G f L G L G f f f L G α α α α α α α α α α α α α α α α δ δ − − + − − + − + − + − = + + + + + + − + − + + + + + + − + + 4.3.19 dengan j i , δ menotasikan simbol Kronecker dan , , , 2 + v h v x f α merupakan pendekatan yang diperoleh dari persamaan 4.3.10. Berikut digunakan untuk F A B X , , = notasi berikut , , , f v v H q f v q X X = , dengan , ; f v h q telah didefinisikan pada persamaan 4.3.12. Peluang L R Y f v P Y , , , = untuk perpindahan ke jalur kanan atau ke kiri juga telah didefinisikan pada persamaan 4.3.18. Peluang tersebut akan digunakan untuk N f f , ... , 1 , = = α α . Sebagai tambahan juga digunakan , , 1 f v P f v P L N R = = + . Interaksi yang dapat terjadi pada persamaan 4.3.19 dapat dinyatakan dan diperoleh pendekatannya dengan menggunakan persamaan 4.3.10, yaitu sebagai berikut: Interaksi 1: Perpindahan ke jalur kanan Mobil berpindah ke jalur kanan, jika ambang batas pengereman dapat dicapai dan perpindahan jalur masih memungkinkan untuk terjadi peluang R P . Operator perolehan G: + + − + − + ∫ + − = v d v v H v x f v v x f v P f f G B v v R R ˆ ˆ , , , ˆ , , ~ 2 1 ˆ 2 1 α α α α , x f α sebagai ganti dari ,. x f α dan pendekatannya adalah ∫ + + − − − + − + + + − = v v B B R R v d v v H x F v x f x f v q v v x f v P f f G ˆ 1 1 1 1 ˆ ˆ , , , ˆ , , α α α α α α . Operator kehilangan L: Dengan argumen yang sama diperoleh pendekatan dari + R L ~ yaitu , , ~ , ~ , ~ 1 1 1 2 1 2 + + + + + + + + = = α α α α α α α α f f L f f G f f G f f L R R R R . Lebih lanjut diperoleh , ~ , ~ 1 2 1 2 + + + + = α α α α f f G f f L R R + + + + ∫ + − = dv v v H v x f v v x f v P B v v R ˆ , , , ˆ , 2 ˆ 1 α α yang diaproksimasi oleh ∫ + + + + + + + + − = v v B B R R v d v v H x F v x f x f v q v v x f v P f f L ˆ 1 1 ˆ ˆ , , , ˆ , , α α α α α α . Interaksi 2: Perpindahan ke jalur kiri Mobil berpindah ke jalur kiri, jika mobil di posisi belakang mencapai ambang batas pengereman dan tidak dapat berpindah ke kanan. Lebih lanjut, perpindahan ke jalur kiri harus memungkinkan untuk terjadi peluang L P . Operator perolehan G: [ ] ∫ − − + − + + + − − − − = v v B R L L v v v H x f v P x f v P f f f G ˆ 2 2 2 1 ˆ ˆ , ˆ 1 , , , ~ α α α α α − − − + − v d v x v v H x f B ˆ , , ˆ , ˆ 2 1 α , yang diaproksimasi oleh [ ] ∫ − − + − + + + − − − − = v v B R L L v v v H x f v P x f v P f f f G ˆ 2 2 1 ˆ ˆ , ˆ 1 , , , α α α α α − + − − + − + − − − v d v x F v v H x f v H x f v q B B B ˆ , ˆ , ˆ ˆ , ˆ 1 1 1 α α α . Operator kehilangan L: Dengan argumen yang sama diperoleh pendekatan dari + L L ~ , yaitu , , , , ~ , , ~ , , ~ 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 + − + + − + + − + + − + = = α α α α α α α α α α α α f f f L f f f G f f f G f f f L L L L L . Selanjutnya diperoleh , , ~ , , ~ 1 2 1 1 2 1 + − + + − + = α α α α α α f f f G f f f L L L [ ] ∫ − − + − − − − − − = v v B R L v v v H x f v P x f v P ˆ 1 1 ˆ ˆ , ˆ 1 , α α − − − − v d v x v v H x f B ˆ , , ˆ , ˆ 2 α , yang diaproksimasi oleh [ ] ∫ − − + − − + − + − − − − = v v B R L L v v v H x f v P x f v P f f f L ˆ 1 1 1 1 ˆ ˆ , ˆ 1 , , , α α α α α − − − − − − − v d v x F v v H x f v H x f v q B B B ˆ , ˆ , ˆ ˆ , ˆ α α α . Interaksi 3: Pengereman Mobil akan mengerem jika mencapai ambang batas pengereman dan pengemudi tidak dapat berpindah ke jalur kanan, dan jika mobil yang berada di posisi depan juga tidak bisa berpindah ke jalur kiri. Operator perolehan G: Didefinisikan B P sebagai peluang pengereman yaitu = + + − + , , , 1 1 x f v H x f v v P B B α α [ ][ ] , 1 , 1 1 1 v H x f v P x f v P B L R + − − − + + α α . 4.3.21 Selanjutnya diperoleh ∫ ∫ + + − + + − + − + = + ˆ , ˆ ˆ , , ˆ , ˆ , , ~ 1 1 ˆ ˆ 1 2 1 v v v v x f v H x f v v P f f f G B B v v B B σ α α α α α + + v d v d v v H v x f B ˆ ˆ ˆ , ˆ , ˆ , 2 α , dengan aproksimasi ∫ ∫ + + − + + − + − + = + ˆ , ˆ ˆ , , ˆ , ˆ , , 1 1 ˆ ˆ 1 1 v v v v x f v H x f v v P f f f G B B v v B B σ α α α α α + + + v d v d v v H x F v x f x f v q B B ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ , , ˆ α α α , dan [ ] 1 ˆ 1 ˆ , ˆ , ˆ v v v v v v B β χ β σ − = . Operator kehilangan L: + + − + + − + − + = ∫ + v v x f v H x f v v P f f f L B v v B B ˆ , , ˆ , , , ~ 1 ˆ 1 1 2 1 α α α α α + + v d v v H v x f B ˆ ˆ , , , 2 α , yang diaproksimasi oleh + + − + + − + − + = ∫ + v v x f v H x f v v P f f f L B v v B B ˆ , , ˆ , , , 1 ˆ 1 1 1 α α α α α + + + v d v v H x F v x f x f v q B B ˆ ˆ , , , α α α . Interaksi 4: Akselerasi Mobil akan berakselerasi jika ambang batas akselerasi dapat dicapai. Operator perolehan G: ∫ ∫ + + + + + − = v d v d v v H v x f v v v v f G A A v v A ˆ ˆ ˆ , ˆ , ˆ , ˆ , ˆ ˆ ~ 2 ˆ ˆ 2 α α σ , yang diaproksimasi oleh ∫ ∫ + + + + + − = + v d v d v v H x F v x f x f v q v v v v f G A A A v v A ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ , , ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆ α α α α σ , dengan [ ] ˆ ˆ , min 1 ˆ , ˆ , min , ˆ v v v w v v v w v A α χ α σ − = . Operator kehilangan L: ∫ + + + + + − = v v A A v d v v H v x f v v f L ˆ 2 2 ˆ ˆ , , , ˆ ~ α α , yang diaproksimasi oleh ∫ + + + + + + − = v v A A A v d v v H x F v x f x f v q v v f L ˆ ˆ ˆ , , , ˆ α α α α . Interaksi 5: Akselerasi bebas Dengan menggunakan F F H q , , dan ˆ , v f v v D F = σ sebagai pengganti dari , , A A H q dan A σ yang mendefinisikan + F G dan + F L dengan cara yang sama untuk mendefinisikan + A G dan + A L . Operator perolehan G: ∫ ∫ + + + + + − = v d v d v v H v x f v v v v f G F F v v F ˆ ˆ ˆ , ˆ , ˆ , ˆ , ˆ ˆ ~ 2 ˆ ˆ 2 α α σ , yang diaproksimasi oleh ∫ ∫ + + + + + − = + v d v d v v H x F v x f x f v q v v v v f G F F F v v F ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ , , ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆ α α α α σ , dengan ˆ , v f v v D F = σ . Operator kehilangan L: ∫ + + + + + − = v v F F v d v v H v x f v v f L ˆ 2 2 ˆ ˆ , , , ˆ ~ α α , yang diaproksimasi oleh ∫ + + + + + + − = v v F F F v d v v H x F v x f x f v q v v f L ˆ ˆ ˆ , , , ˆ α α α α . Dengan menggunakan aproksimasi di atas, persamaan kinetik untuk jalur N , ... , 1 = α dapat dinyatakan sebagai berikut: α α f v f x t ∂ + ∂ ,..., 1 N f f C + = α [ ] [ ] 1 , , , 1 , , , , , , 1 2 1 1 , 1 1 1 1 1 N R L L R F F A A B B f f L f f f G f f f L f f G f L G L G f f f L G α α α α α α α α α α α α α α α α δ δ − − + − − + − + − + − = + + + + + + − + − + + + + + + − + + 4.3.22

4.3.6 Persamaan Model Kinetik Kumulatif

Asumsi dasar dari penurunan persamaan model kinetik kumulatif adalah bahwa lalu lintas bersifat homogen di seluruh jalur. Dinamika pada model kinetik kumulatif diturunkan dari model kinetik multijalur. Hal ini terjadi oleh adanya peluang untuk pengereman pada persamaan yang sesuai dengan aturan dari perpindahan jalur yang telah diturunkan sebelumnya. Model kinetik kumulatif diperoleh dari suatu model kinetik multijalur yang menggunakan asumsi bahwa fungsi sebaran α f sama untuk seluruh jalur dan dengan menjumlahkan persamaan pada seluruh jalur yaitu dari 1, ..., N . Fungsi sebaran kumulatif yang digunakan adalah ∑ = = = = = N N f N f f f 1 1 1 ... α α , ∑ = = = = = N N F N F F F 1 1 1 ... α α . , v x Nf adalah total fungsi sebaran pada jalan raya, F f ρ = dan ρ adalah rata- rata kepadatan per jalur. Dengan mempertimbangkan peluang B P untuk melakukan pengereman pada jalur α yang didefinisikan pada persamaan 4.3.21 dan rata-rata peluang tersebut untuk seluruh jalur memberikan peluang pengereman kumulatif yang dinotasikan C B P , yaitu [ ] , 1 1 , 1 1 , , , v H x f v P N x f v P N x f v H x f v v P B L R B C B + − + − = + + + [ ][ ] , 1 , 1 2 v H x f v P x f v P N N B L R + − − − + + . Dari persamaan tersebut diperoleh persamaan untuk model kumulatif yaitu sebagai berikut f C f v f C x t + = ∂ + ∂ , 4.3.23 dengan f L f G f L f G f L f G f C F F A A B B C + + + + + + + − + − + − = . Dengan tidak mempertimbangkan penyalahgunaan notasi, didefinisikan ˆ , , ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ , ˆ , ˆ ˆ ˆ v x f x f v q v v v v x f v H x f v v P f G B B B v v C B B σ + + + − + = ∫∫ + + + + v d v d v v H x F B ˆ ˆ ˆ , ˆ , dan ∫ + + + + − + = v v B B C B B v x f x f v q v v x f v H x f v v P f L ˆ , , ˆ , , ˆ , + + + v d v v H x F B ˆ ˆ , . + + + + F F A A L G L G , , , didefinisikan sama seperti sebelumnya, yaitu ∫ ∫ + + + + + − = + v d v d v v H x F v x f x f v q v v v v f G A A A v v A ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ , , ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆ σ ∫ + + + + + + − = v v A A A v d v v H x F v x f x f v q v v f L ˆ ˆ ˆ , , , ˆ ∫ ∫ + + + + + − = + v d v d v v H x F v x f x f v q v v v v f G F F F v v F ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ , , ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆ σ ∫ + + + + + + − = v v F F F v d v v H x F v x f x f v q v v f L ˆ ˆ ˆ , , , ˆ Pada model kinetik kumulatif B A σ σ , hanya didefinisikan oleh aturan interaksi mikroskopik dengan mempertimbangkan mobil lain di sekitar mobil yang diamati dan tidak bergantung pada kepadatan lokal yaitu ρ . Hal ini berarti tidak ada efek makroskopik yang masuk ke dalam terminologi ini.