, ln
ln ln
ln
1 max
max 1
max max
max
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
− −
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
crit crit
v v
sehingga turunan ρ
j terhadap
ρ adalah
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= ′
− −
−
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ 1
ln ln
ln ln
ln
1 max
max 1
max max
1 max
max max
crit crit
crit
v v
v j
[ ]
[ ]
. 1
ln ln
1 ln
ln ln
1 ln
ln ln
ln
max 1
max max
max 1
max max
1 max
max 1
max max
max
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
− −
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= +
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
− −
− −
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
crit crit
crit crit
v v
v v
Selanjutnya dengan membuat persamaan tersebut bernilai sama dengan nol, akan diperoleh
1 ln
ln
max 1
max max
= ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ −
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
−
ρ ρ
ρ ρ
crit
v .
Oleh karena
max
v , persamaan tersebut dapat bernilai nol jika dan hanya jika
1 ln
ln
max
= −
ρ ρ
, sehingga exp
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ρ
ρ
max
ln exp
1
e
max
ρ ρ =
⇔ .
Oleh karena itu solusi dari ρ hanya dapat diperoleh jika terjadi
e
opt max
ρ ρ
ρ =
= .
Jika
crit opt
ρ ρ
, maka arus lalu lintas maksimum dapat terjadi pada
opt
ρ . Jika
crit opt
ρ ρ ≤
, maka arus lalu lintas maksimum akan terjadi pada
crit
ρ . Hal ini dikarenakan untuk setiap
crit
ρ ρ ≤
≤ ,
max
= ′
v j
ρ . Jadi j meningkat pada
interval tersebut dan mencapai maksimum pada titik terakhir di sebelah kanan. Kepadatan kritis yang dinotasikan
crit
ρ , diperoleh dari hasil observasi dan bergantung pada kebiasaan pengendara lokal dalam berkemudi, oleh karena itu
kepadatan kritis di dua lokasi yang berbeda akan berlainan. Tetapi disarankan untuk setiap kasus yang berbeda agar dipenuhi
e
crit max
ρ ρ
.
Gambar 4.2 Plot antara arus dengan kepadatan.
4.2 Model Mikroskopik Multijalur
Axel Klar dan Raimund Wegener 1998 mengemukakan bahwa pada model mikroskopik biasanya perhatian ditujukan pada respons aktual suatu mobil
terhadap mobil di posisi depannya. Diasumsikan bahwa pengendara akan mengubah kecepatan mobil yang dikendarai sebagai respons terhadap tingkah
laku mobil di posisi depan. Lebih lanjut, mobil akan berpindah jalur secara spontan dan sesekali melewati ambang batas. Ambang batas biasanya bergantung
pada kecepatan mobil itu sendiri. Selama tidak ada ambang batas yang dilewati,
mobil bergerak pada kecepatan masing-masing dengan gerakan bebas.
Gambar 4.3 Skema posisi mobil pada jalan raya.
- -
C r C l
- C
+
C r
+
C C l
+
C
Pada model mikroskopik multijalur diasumsikan terdapat N jalur pada jalan raya. Mobil yang diamati dinotasikan dengan c. Kemudian mobil di posisi depan
dan belakang berturut-turut dinotasikan oleh
+
c dan
−
c . Pada jalur kanan dan kiri
dinotasikan
+ r
c ,
− r
c dan
+ l
c ,
− l
c . Kecepatan sebelum dan sesudah terjadi
interaksi berturut-turut dinotasikan oleh v dan v′ . Kecepatan mobil nilainya berkisar dari 0 sampai dengan w , dengan w adalah kecepatan maksimum mobil.
Didefinisikan H
adalah jarak minimum antarmobil. Ambang batas untuk perpindahan ke jalur kanan dinotasikan dengan
R
H , ambang batas untuk
perpindahan ke jalur kiri adalah
L
H , ambang batas untuk pengereman adalah
B
H ,
ambang batas untuk akselerasi adalah
A
H , dan ambang batas untuk bebas
berkendara dinotasikan dengan
F
H , yang masing-masing didefinisikan sebagai
R R
vT H
v H
+ =
L L
vT H
v H
+ =
B B
vT H
v H
+ =
A A
vT H
v H
+ +
= δ
F F
wT H
H +
+ =
δ .
F A
B L
R
T T
T T
T
,
, ,
, berturut-turut menotasikan waktu reaksi dari masing-masing
interaksi dan δ menotasikan suatu konstanta positif. Interaksi yang mungkin
terjadi adalah sebagai berikut: 1.
Perpindahan ke jalur kanan Ruang yang diperlukan pada jalur kanan untuk melakukan perubahan
posisi mobil dinotasikan oleh
S R
S R
T v
H v
H +
= , dengan
S R
T dinotasikan
sebagai waktu reaksi ketika mobil sudah berada di jalur kanan. Jika
+
v v
dan v
H
R
dilalui, maka mobil akan berpindah ke jalur kanan hanya jika terdapat ruang yang cukup pada jalur kanan, yaitu jika:
v H
x x
S R
r
−
+
dan
_ _
r S
R r
v H
x x
− .
Lebih lanjut, c dan
−
c akan berakselerasi setelah terjadi perpindahan
jalur, dan kecepatan yang baru adalah
