Model matematika untuk masalah aliran lalu lintas.

1

ABSTRAK

Yohanes Raharja Harsono. 2015. Model Matematika untuk Masalah Aliran

Lalu Lintas. Skripsi. Program Studi Matematika, Jurusan Matematika,

Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Skripsi ini membahas model matematika aliran lalu lintas, terutama yang berkaitan dengan kondisi saat lampu merah berubah menjadi hijau. Kondisi inilah yang biasanya merupakan penyebab kemacetan lalu lintas. Harapannya, hasil dalam skripsi dapat diterapkan untuk menghindari timbulnya kemacetan. Yang dibahas di sini adalah mengenai pergerakan dari beberapa mobil sebagai suatu kesatuan secara makro, bukan pergerakan mobil per mobil secara individu.

Model-model aliran lalu lintas disusun berdasarkan teori-teori matematika. Salah satu model yang sederhana adalah car following model. Model ini disusun menggunakan teori persamaan diferensial biasa. Model yang lebih mendekati dunia nyata adalah yang disusun berdasarkan hukum kekekalan yang menghasilkan suatu persamaan diferensial parsial. Model dalam bentuk persamaan diferensial parsial akan diselesaikan menggunakan metode karakteristik. Selain itu, penulis akan menggunakan suatu teori linearisasi persamaan diferensial untuk mempermudah dalam mencari penyelesaikan pendekatan dari model aliran lalu lintas.

Skripsi ini juga menyajikan hasil simulasi komputer berdasarkan beberapa model yang dipelajari. Simulasi tersebut disusun menggunakan perangkat lunak MATLAB. Beberapa kode MATLAB untuk aliran lalu lintas juga disertakan untuk memudahkan pembaca dalam memahami masalah yang dibahas.

Kata kunci : aliran lalu lintas, persamaan diferensial parsial, metode

2

Yohanes Raharja Harsono. 2015. Mathematical Models for Traffic Flow Problems. Thesis. Mathematics Study Program, Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

This thesis studies mathematical models for traffic flows, especially those relating to the condition when the traffic light turns from red to green. This condition usually causes a traffic congestion. We hope that the results in this thesis can be applied to alleviate the traffic congestion. The condition that will be discussed is the movement of some cars in a macroscopic way, instead of the movement of an individual car.

Traffic flow models are constructed based on mathematical theory. One of the models, which is a simple one, is the car following model. This model is constructed based on the theory of ordinary differential equations. Another model, which is more realistic, is the one developed according to conservation laws resulting to a partial differential equation. The traffic flow model in the form of a partial differential equation will be solved using the characteristic method. In addition, we will use a linearization of the differential equation, so we can find the approximate solution of the traffic flow model easier.

This thesis also presents computer simulation results based on the studied models. Simulations are conducted using the MATLAB software. Some MATLAB codes for traffic flow simulations are also given to help the readers in the understanding of the discussed problems.

Key words : traffic flow, partial differential equations, characteristic methods, car following

i

MODEL MATEMATIKA

UNTUK MASALAH ALIRAN LALU LINTAS

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

Yohanes Raharja Harsono

NIM : 103114011

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

ii

MATHEMATICAL MODELS

FOR TRAFFIC FLOW PROBLEMS

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

By :

Yohanes Raharja Harsono

NIM : 103114011

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma : Nama : Yohanes Raharja Harsono

Nomor Mahasiswa : 103114011

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul :

Model Matematika Untuk Masalah Aliran Lalu Lintas

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, me-ngalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal : 17 Februari 2015 Yang menyatakan

vii

ABSTRAK

Yohanes Raharja Harsono. 2015. Model Matematika untuk Masalah Aliran

Lalu Lintas. Skripsi. Program Studi Matematika, Jurusan Matematika,

Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Skripsi ini membahas model matematika aliran lalu lintas, terutama yang berkaitan dengan kondisi saat lampu merah berubah menjadi hijau. Kondisi inilah yang biasanya merupakan penyebab kemacetan lalu lintas. Harapannya, hasil dalam skripsi dapat diterapkan untuk menghindari timbulnya kemacetan. Yang dibahas di sini adalah mengenai pergerakan dari beberapa mobil sebagai suatu kesatuan secara makro, bukan pergerakan mobil per mobil secara individu.

Model-model aliran lalu lintas disusun berdasarkan teori-teori matematika. Salah satu model yang sederhana adalah car following model. Model ini disusun menggunakan teori persamaan diferensial biasa. Model yang lebih mendekati dunia nyata adalah yang disusun berdasarkan hukum kekekalan yang menghasilkan suatu persamaan diferensial parsial. Model dalam bentuk persamaan diferensial parsial akan diselesaikan menggunakan metode karakteristik. Selain itu, penulis akan menggunakan suatu teori linearisasi persamaan diferensial untuk mempermudah dalam mencari penyelesaikan pendekatan dari model aliran lalu lintas.

Skripsi ini juga menyajikan hasil simulasi komputer berdasarkan beberapa model yang dipelajari. Simulasi tersebut disusun menggunakan perangkat lunak MATLAB. Beberapa kode MATLAB untuk aliran lalu lintas juga disertakan untuk memudahkan pembaca dalam memahami masalah yang dibahas.

Kata kunci : aliran lalu lintas, persamaan diferensial parsial, metode

viii

ABSTRACT

Yohanes Raharja Harsono. 2015. Mathematical Models for Traffic Flow

Problems. Thesis. Mathematics Study Program, Department of Mathematics,

Faculty of Science and Technology, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

This thesis studies mathematical models for traffic flows, especially those relating to the condition when the traffic light turns from red to green. This condition usually causes a traffic congestion. We hope that the results in this thesis can be applied to alleviate the traffic congestion. The condition that will be discussed is the movement of some cars in a macroscopic way, instead of the movement of an individual car.

Traffic flow models are constructed based on mathematical theory. One of the models, which is a simple one, is the car following model. This model is constructed based on the theory of ordinary differential equations. Another model, which is more realistic, is the one developed according to conservation laws resulting to a partial differential equation. The traffic flow model in the form of a partial differential equation will be solved using the characteristic method. In addition, we will use a linearization of the differential equation, so we can find the approximate solution of the traffic flow model easier.

This thesis also presents computer simulation results based on the studied models. Simulations are conducted using the MATLAB software. Some MATLAB codes for traffic flow simulations are also given to help the readers in the understanding of the discussed problems.

Key words : traffic flow, partial differential equations, characteristic methods,

ix

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas segala berkat dan rahmat-Nya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir yang berjudul “Model Matematika untuk Masalah Aliran Lalu Lintas”.

Penulisan tugas akhir ini diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar sarjana Matematika Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Dengan terselesaikannya penulisan tugas akhir ini, penulis mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu memberikan dukungan baik berupa saran, doa, maupun secara finansial. Ucapan terimakasih sebanyak-banyaknya ditujukan kepada :

1. Bapak dan Ibu yang telah memberikan dukungan kepada penulis baik moral, spiritual, material, dan juga ucapan semangat yang selalu diberikan selama masa studi.

2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dosen pembimbing yang telah memberikan dukungan, bantuan dan dorongan kepada penulis selama mengikuti proses perkuliahan sampai dengan penyelesaian penulisan ini.

3. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc. selaku Dekan Fakultas Sains Dan Teknologi Universitas Sanata DharmaYogyakarta.

4. Bapak Y. G. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Prodi Matematika Fakultas Sains Dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. 5. Ibu Lusia Krismiyati, M. si. selaku dosen matematika Fakultas Sains Dan

Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta yang telah membantu dalam pemilihan topik penulisan ini.

6. Bapak Ir. Ignatius Aris Dwiatmoko, M.Sc. selaku dosen pembimbing akademik.

xi

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii

HALAMAN PENGESAHAN ... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI... vi

ABSTRAK ... vii

ABSTRACT ... viii

KATA PENGANTAR ... viii

DAFTAR ISI ... x

DAFTAR GAMBAR ... xiii

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A.Latar Belakang ... 1

B.Rumusan Masalah ... 7

C.Batasan Masalah ... 7

D.Tujuan Penulisan ... 7

xi

F. Manfaat Penulisan ... 8

G.Sistematika Penulisan ... 8

BAB II LANDASAN TEORI ... 10

A. Metode Karakteristik ... 10

B. Persamaan Cauchy Euler ... 16

C. Kecepatan Individu dan medan kecepatan ... 23

D. Aliran lalu lintas dan kepadatan lalu lintas ... 27

E. Konservasi jumlah mobil ... 40

F. Hubungan Kecepatan dan Kepadatan... 48

G. Aliran lalu lintas ... 51

BAB III MODEL-MODEL ALIRAN LALU LINTAS ... 56

A. Steady state car following model ... 56

B. Model Persamaan Diferensial Parsial... 62

C. Interpretasi mengenai gelombang lalu lintas ... 67

D. Contoh aliran lalu lintas yang hamper seragam ... 69

E. Metode karakteristik lalu lintas tak seragam ... 73

F. Sesudah lampu merah berubah menjadi hijau ... 79

G. Hubungan linear kecepatan dan kepadatan ... 93

H. Sebuah contoh kepadatan awal yang bervariasi ... 105

BAB IV SIMULASI ALIRAN LALU LINTAS ... 112

A. Satu mobil bergerak konstan ... 112

B. Beberapa mobil bergerak konstan ... 113

xii

BAB V PENUTUP ... 121

A. Kesimpulan ... 121

B. Saran ... 121

xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1-1 Kondisi lalu lintas saat lampu merah menjadi hijau ... 3

Gambar 1-2 Kondisi lalu lintas saat lampu hijau menjadi merah ... 3

Gambar 2-1 Perambatan untuk persamaan gelombang tingkat satu ... 14

Gambar 2-2 Kondisi jalan, posisi mobil ditandai dengan ….. ... 23

Gambar 2-3 Kondisi dua mobil yang berada pada posisi 0 dan L……….24

Gambar 2-4 Kondisi jalan yang digambarkan secara vertikal ... 25

Gambar 2-5 Posisi mobil dengan kecepatan yang berbeda……. ... 27

Gambar 2-6 Data banyaknnya mobil yang lewat pada suatu waktu…… ... 28

Gambar 2-7 Aliran lalu lintas sebagai fungsi waktu ... 29

Gambar 2-8 Aliran lalu lintas sebagai fungsi kontinu dari waktu ... 31

Gambar 2-9 Kepadatan lalu lintas sama dengan inverse dari jarak ... 32

Gambar 2-10 Jarak dua mobil dan panjang mobil ... 32

Gambar 2-11 Penghitungan data menggunakan potongan mobil ... 33

Gambar 2-12 Kepadatan lalu lintas sebagai fungsi posisi ... 34

Gambar 2-13 Contoh signifikan interval hitungan... 34

Gambar 2-14 Diagram jarak-jarak mobil ... 35

Gambar 2-15 Kepadatan lalu lintas dengan interval yang besar ...37

Gambar 2-16 Pergerakan mobil dari pengamat ...38

Gambar 2-17 Banyaknya mobil yang melalu pengamat dalam jam ...39

Gambar 2-18 Dalam waktu yang kecil mobil akan melalu pengamat ...40

xiv

Gambar 2-20 Aliran yang terjadi pada maksimum lokal ... 53

Gambar 2-21 Rentang kecepatan maksimum yang tidak dapat diobservasi ... 54

Gambar 3-1 Situasi steady state ... 58

Gambar 3-2 Situasi steady state ... 60

Gambar 3-3 Gerakan mobil dengan kecepatan yang berbeda ... 62

Gambar 3-4 Jalan masuk kendaraan ... 70

Gambar 3-5 Daerah mobil yang seragam dan tidak seragam ... 71

Gambar 3-6 Kepadatan konstan ... 74

Gambar 3-7 Karakteristik di mana awalnya pada posisi ... 76

Gambar 3-8 Karakteristik tegak lurus mempunyai kemiringan yang berbeda ... 77

Gambar 3-9 Gelombang kepadatan ... 78

Gambar 3-10 Distribusi awal kepadatan lalu lintas ... 80

Gambar 3-11 Gelombang rarefactive ... 81

Gambar 3-12 Karakteristik kepadatan lalu lintas ... 82

Gambar 3-13 Sebelum dan sesudah lampu merah menjadi hijau ... 84

Gambar 3-14 Kepadatan saat lampu masih merah ... 86

Gambar 3-15 Kepadatan lalu lintas yang awalnya diskontinu ... 86

Gambar 3-16 Diagram ruang waktu posisi karakteristik ... 87

Gambar 3-17 Lalu lintas menyebar keluar setelah lampu menjadi hijau ... 88

Gambar 3-18 Karakteristik fanlike... 89

Gambar 3-19 Diagram dasar lalu lintas jalan ... 91

Gambar 3-20 Kepadatan dari kurva yang kemiringannya ... 92

xv

Gambar 3-22 Hubungan parabola aliran keppadatan ... 95

Gambar 3-23 Diagram ruang waktu untuk masalah lalu lintas ... 96

Gambar 3-24 Lalu lintas sebelum dan sesudah lampu menjadi hijau ... 97

Gambar 3-25 Perbedaan kecepatan gelombang kepadatan ... 98

Gambar 3-26 Perbedaan kecepatan gelombang kepadatan ... 98

Gambar 3-27 Jalur mobil ketika mobil tidak bergerak ……….. 99

Gambar 3-28 Jalur mobil yang menambah kecepatan……… 102

Gambar 3-29 Jalur mobil:sketsa grafik ... 104

Gambar 3-30 Jalur mobil:sketsa grafik ... 104

Gambar 3-31 Jalur mobil:sketsa grafik ... 104

Gambar 3-32 Karakteristik tak pararel tak berpotongan……… ………... 106

Gambar 3-33 Kepadatan lalu lintas awal……… 108

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Berdasarkan Undang-undang no 22 tahun 2009, lalu lintas (traffic) adalah pergerakan dari suatu kendaraan dan orang dalam ruang lalu lintas. Ruang lalu lintas sendiri adalah prasarana yang diperuntukkan bagi gerak pindah orang, kendaraan ataupun barang yang berupa jalan dan fasilitas pendukung. Lampu lalu lintas (traffic light) sendiri adalah lampu yang mengendalikan arus lalu lintas yang terpasang di persimpangan jalan, tempat penyeberangan pejalan kaki dan tempat arus lalu lintas lainnya. Lampu ini yang menandakan kapan kendaraan harus berjalan ataupun harus berhenti secara bergantian dari berbagai arah. Dengan adanya lampu lalu lintas diharapkan lalu lintas dapat mengalir dengan lancar dan mengurangi terjadinya kecelakaan. Oleh karena itu, dalam menentukan lampu lalu lintas harus diperhitungkan dengan matang tidak sekedar memasang pada persimpangan jalan. Banyak sekali hal yang harus diperhitungkan dalam memasang lampu lalu lintas, dimana hal tersebut telah disebutkan di atas. Lampu lalu lintas sudah digunakan di hampir seluruh belahan dunia dan lampu lalu lintas ini telah memiliki kesepakatan secara universal sebagai berikut: saat lampu menyala merah maka kendaraan diharuskan untuk berhenti, saat lampu menyala hijau maka kendaraan diperbolehkan untuk jalan, sedangkan saat lampu menyala kuning maka kendaraan diharapkan untuk berhati-hati karena lampu akan segera

2

menjadi merah. Lampu lalu lintas pertama kali ada karena Lester Fransworth Wire yang merupakan penemu lampu lalu lintas, saat itu melihat adanya tabrakan antara mobil dan kereta kuda. Ia merasa bahwa dengan aturan lalu lintas yang digunakan saat itu sangatlah tidak aman karena meskipun ada suatu aturan, tetap saja kecelakaan masih sering terjadi. Oleh karena itu ditemukanlah metode yang lebih baik untuk mengatasi permasalahan lalu lintas itu dengan menggunakan lampu lalu lintas.

Dalam pengaturannya lampu lalu lintas memiliki dua sistem yaitu, fixed time traffic signal yaitu pengaturan lampu lalu lintas yang tidak mengalami perubahan sepanjang waktu. Jadi sistem ini tidak memperhatikan kepadatan kendaraan. Sedangkan yang kedua adalah actuated traffic signal, yang berarti pengaturan lampu lalu lintas yang berubah tiap waktu tertentu. Jadi sistem ini memperhatikan kepadatan kendaraan saat itu. Misalnya pada pagi hari yang padat akan berbeda dengan pada malam hari yang tidak padat.

Masalah lalu lintas sudah ada sejak jaman dahulu bahkan sebelum otomotif berkembang seperti sekarang ini. Namun beberapa tahun terakhir masalah lalu lintas sudah semakin parah. Ada banyak masalah lalu lintas yang dapat dihubungkan dengan ilmu pengetahuan seperti menentukan letak lampu merah, berapa lama lampu akan menyala merah pada suatu tempat, apakah suatu jalan itu harus diubah dari satu arah menjadi dua arah atau sebaliknya, di mana kita harus menempatkan pintu masuk maupun pintu keluar, dan di mana sebaiknya membuat jalan alternatif seperti jalan layang untuk bis atau kereta. Secara umum semua itu bertujuan untuk memaksimalkan kelancaran lalu lintas,

3

meminimalkan polusi dari kendaraan, mengurangi adanya kecelakaan, dan sebagainya.

Pada saat lampu lalu lintas berubah dari merah menjadi hijau maka akan terjadi pergerakan dari mobil yang sedang berjajar di lalu lintas tersebut. Mobil yang awalnya memiliki kecepatan km/jam akan mulai menambah kecepatannya. Hal ini akan diikuti mobil-mobil yang ada di belakangnya hingga nantinya lampu kembali menjadi merah. Pada saat lampu hijau mulai memasuki kuning maka mobil akan mulai mengurangi kecepatan hingga pada saat lampu telah menjadi merah mobil-mobil tersebut bisa berhenti atau berada pada kecepatan km/jam.

Gambar 1-1 Kondisi lalu lintas saat lampu merah menjadi hijau (Gambar diambil pada tanggal 11 Maret

2014)

Gambar 1-2 Kondisi lalu lintas saat lampu hijau menjadi merah (Gambar diambil pada tanggal 10

Desember 2014)

Misalkan ada suatu lalu lintas yang berbaris di belakang lampu merah atau di belakang rel kereta yang tertutup karena ada kereta yang lewat. Posisi lalu lintas tersebut dinyatakan dengan . Karena mobil satu dengan mobil lainnya

4

saling berimpitan untuk , di mana adalah densitas dari mobil dan adalah posisi dari suatu lalu lintas. Kondisi saat adalah kondisi lalu lintas di belakang lampu lalu lintas jadi diasumsikan jarak antar mobilnya tidak ada. Densitas dari mobil adalah jumlah mobil dalam satu mil. Dalam kasus ini densitas dirumuskan sebagai berikut:

dimana adalah panjang dari kendaraan (diasumsikan semua kendaraan panjangnya sama), adalah jarak antara mobil satu dengan mobil lainnya

(diasumsikan jarak antar mobil dalam keadaan sama), , hal ini disebabkan karena mobil berada dalam kondisi yang berimpitan jadi diasumsikan jaraknya . Densitas di sini akan bernilai

namun masih harus diperhatikan jarak yang dihitung. Misalkan jaraknya dan yang diperoleh maka densitas dalam jarak tersebut adalah dikalikan (diperoleh dari jaraknya) jadi densitasnya dalam kilometer.

Asumsikan bahwa mobil yang berjajar tidak berhingga banyaknya dan tentu saja tidak bergerak (meskipun pada kenyataannya berhingga namun bisa sangat panjang). Jika lampu merah menyala cukup lama maka dapat diasumsikan bahwa tidak ada lalu lintas di depan lampu, untuk . Andaikan bahwa pada lampu lalu lintas berubah dari merah menjadi hijau. Persamaan diferensial parsial dari kesetimbangan mobil adalah sebagai berikut

5

dengan adalah fungsi aliran lalu lintas terhadap . Dengan syarat awal {

dengan catatan bahwa adalah posisi di belakang lalu lintas yang diasumsikan saling berimpitan dan adalah posisi di depan lalu lintas yang aliran lalu lintasnya akan kosong karena adanya lampu merah.

Kondisi tersebut merupakan fungsi diskontinu.

Pada saat lampu menjadi hijau lalu lintas akan mulai berjalan namun mobil yang berada jauh di belakang belum mulai berjalan bahkan hingga lalu lintas telah kembali menjadi merah. Densitas lalu lintas adalah konstan di mana persamaan diferensial parsialnya berupa

Di mana adalah kecepatan dari mobil. Kecepatan dari mobil juga bergantung pada posisi dan waktu, sehingga .

Karena tetap konstan maka densitas bergerak dengan kecepatan konstan. Karakteristiknya berupa garis lurus dalam bidang

di mana setiap karakteristik bisa mempunyai perbedaan integrasi konstan k.

Aliran lalu lintas itu sendiri adalah rata-rata jumlah mobil yang melalui suatu jalan selama satu jam. Aliran lalu lintas biasanya disimbolkan dengan . Aliran tersebut bergantung terhadap waktu sehingga dapat disimbolkan , di mana menunjukan waktu tertentu:

6

Ini merupakan persamaan diferensial parsial yang menunjukkan hubungan antara densitas lalu lintas dan aliran lalu lintas dengan mengasumsikan jumlah mobil tidak akan berkurang maupun bertambah. Ini akan selalu valid di manapun untuk semua pada waktu kapanpun. Di mana persamaan ini disebut kesetimbangan mobil. Yang dimaksud kesetimbangan mobil di sini adalah jumlah mobil yang pergi saat lampu merah telah menjadi hijau diasumsikan sama dengan jumlah mobil yang datang dan menunggu lampu lalu lintas dari merah kembali menjadi hijau.

Variabel-variabel yang ada pun tentunya akan sangat dipengaruhi kondisi dari lalu lintas pada saat itu. Misalnya pada pagi hari di mana banyak anak yang harus bersekolah dan banyak masyarakat yang harus berangkat kerja, maka pada saat itu lalu lintas akan lebih padat jika dibandingkan dengan jam-jam saat anak-anak sedang di sekolah dan orang dewasa sedang bekerja. Begitu pula saat jam-jam anak sekolah pulang sekolah dan masyarakat yang pulang dari kerja, maka pada jam-jam tersebut akan jauh lebih padat. Pada saat lalu lintas padat maka secara otomatis kendaraan akan berjalan dengan lebih lambat.

Dalam tulisan ini tidak akan dibahas mengenai semua permasalahan itu melainkan akan dibahas secara lebih umum. Jadi tulisan ini tidak membahas mobil per mobil namun membahas sekaligus sekumpulan mobil tersebut. Secara khususnya tulisan ini akan membahas mengenai kondisi lalu lintas pada saat lampu merah itu berubah menjadi hijau. Tentu saja dalam membahas mengenai

7

kondisi tersebut, sebelumnya harus dibahas mengenai dasar-dasar variabel dari suatu lalu lintas. Dasar-dasar tersebut adalah kecepatan, densitas, dan aliran.

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana membuat model matematika untuk aliran lalu lintas?

2. Bagaimana model densitas lalu lintas saat lampu merah berubah menjadi hijau?

C. Batasan Masalah

Dalam tulisan ini penulis hanya akan membahas mengenai masalah aliran lalu lintas yang melibatkan variabel waktu dan variabel ruang satu dimensi.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan ini adalah untuk memperoleh model matematika untuk aliran lalu lintas dan sifat kepadatan lalu lintas saat lampu merah menjadi hijau.

E. Metode Penulisan

Metode penelitian yang dipergunakan adalah metode pustaka, sehingga di dalam tulisan ini tidak ditemukan hal-hal baru. Jenis-jenis sumber pustaka yang digunakan penulis tercantum dalam daftar pustaka.

8

F. Manfaat

Skripsi ini diharapkan memberikan manfaat bagi pembaca dan juga bagi penulis sendiri, yaitu:

1. memberi wawasan pengetahuan tentang kondisi lalu lintas saat lampu merah berubah menjadi hijau,

2. memberikan pengalaman penulisan karya ilmiah.

G. Sistematika Penulisan

Skripsi ini ditulis menggunakan sistematika yang meliputi empat bab, yaitu: Pendahuluan, Landasan Teori, Isi, dan Penutup.

Dalam BAB I PENDAHULUAN, dipaparkan latar belakang, rumusan dan batasan masalah, serta tujuan, manfaat, metode dan sistematika penulisan skripsi.

Dalam BAB II LANDASAN TEORI dijelaskan tentang metode karakteristik untuk persamaan diferensial parsial tingkat satu. Secara khusus juga akan dicakup materi tentang persamaan Cauchy Euler, serta membahas mengenai kecepatan individu dan medan kecepatan. Selain itu bab ini juga membahas mengenai aliran lalu lintas dan kepadatan lalu lintas serta konservasi jumlah mobil.

9

BAB III MODEL MATEMATIKA ALIRAN LALU LINTAS membahas mengenai beberapa dasar matematika yang berhubungan dengan aliran lalu lintas. Pada bab ini secara khusus akan dibahas masalah model matematika saat lampu merah menjadi hijau. Dalam kondisi lampu merah menjadi hijau tersebut akan dibahas secara lebih mendetail mengenai kondisi densitas lalu lintasnya.

BAB IV SIMULASI ALIRAN LALU LINTAS menyajikan progam komputer dan hasil simulasi aliran lalu lintas. Hasil simulasinya antara lain saat mobil bergerak secara konstan, tiga mobil bergerak secara konstan, dan kondisi pergerakan lalu lintas saat lampu merah berubah menjadi hijau.

Akhirnya dalam BAB V PENUTUP, kesimpulan dan saran disajikan. Kesimpulan dan saran ini bertujuan agar pembaca dapat memahami isi dari skripsi ini dan dapat memberikan inspirasi bagi pembaca untuk ke depannya.

10

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Metode Karakteristik

Pada bagian ini akan dijelaskan metode karakteristik untuk persamaan diferensial. Persamaan gelombang satu dimensi dapat ditulis sebagai

(2.1.1)

Perhitungan yang sederhana menunjukkan bahwa persamaan tersebut dapat difaktorkan dengan dua cara:

( _{) ( )} (2.1.2)

( _{) ( )} (2.1.3)

karena turunan campuran keduanya tidak ada pada keduanya. Jika kita memisalkan

(2.1.4)

(2.1.5)

Kita melihat bahwa persamaan gelombang satu dimensi hasilnya adalah dua persamaan gelombang tingkat satu:

11

Metode Karakteristik untuk Persamaan Diferensial Parsial Tingkat Satu

Kita mulai dengan mendiskusikan salah satu dari persamaan diferensial parsial yang sederhana:

(2.1.6)

Metode yang akan kita kembangkan akan membantu dalam menganalisa persamaan gelombang dimensi satu (2.1.1). Kita mempertimbangkan laju perubahan dari yang diukur oleh pengamat yang bergerak, . Aturan rantai menunjukkan bahwa

(2.1.7)

Di sini _{menampilkan perubahan pada pada posisi yang tetap, sementara}

menampilkan perubahan berdasarkan fakta bahwa pengamat bergerak ke daerah yang kemungkinan memiliki yang berbeda. Bandingkan (2.1.7) dengan persamaan diferensial parsial untuk , persamaan (2.1.6). Ini jelas bahwa jika pengamat bergerak dengan kecepatan , yaitu jika

(2.1.8) maka

12

(2.1.9) Jadi, adalah konstan pada kurva

.

Karakteristik

Dengan cara ini, persamaan diferensial parsial (2.1.6) telah diganti dengan dua persamaan diferensial biasa, (2.1.8) dan (2.1.9). Dengan mengintegralkan persamaan (2.1.8) hasilnya

(2.1.10)

persamaan untuk keluarga dari karakteristik paralel dari persamaan (2.1.6). Perhatikan bahwa , . Variabel adalah konstan sepanjang garis ini. Variabel menyebar sebagai gelombang dengan kecepatan gelombang .

Penyelesaian umum. Jika diberi nilai pada saat awal

(2.1.11)

maka mari kita menentukan pada titik . Karena adalah konstan sepanjang karakteristik,

diberikan dan , parameter diketahui dari karakteristik, , dan

2.1.12 di mana kita menyebutnya sebagai penyelesaian umum dari persamaan (2.1.6).

13

Kita dapat menganggap sebagai fungsi sembarang. Untuk memastikan ini, kita substitusi (2.1.12) kembali pada persamaan diferensial parsial (2.1.6). Menggunakan aturan rantai,

dan

Jadi ini menunjukkan bahwa persamaan (2.1.6) memenuhi persamaan (2.1.12). penyelesaian umum dari persamaan diferensial parsial tingkat satu mengandung fungsi sembarang, sementara penyelesaian umum terhadap persamaan diferensial biasa mengandung sembarang konstan.

Contoh 1. Perhatikan

Persamaan terhadap kondisi awal

{

Kita telah menunjukkan bahwa adalah konstan sepanjang karakteristik , menjaga pada bentuk yang sama bergerak dengan kecepatan 2. Karakteristik yang penting, dan , seperti yang

14

digambarkan pada Gambar 2-1. jika . Dinyatakan dengan menggeser,

Untuk menurunkan penyelesaian analitik, kita menggunakan karakteristik yang mulai pada :

Sepanjang karakteristik ini, adalah konstan. Jika , maka

( )

seperti sebelumnya. Ini valid jika atau, secara ekuivalen

.

Gambar 2-1 (perambatan untuk persamaan gelombang tingkat satu) diambil dari buku Richard Haberman Applied Partial Differential Equation hal 540

Secara umum, . Pada yang tetap, penyelesaian dari persamaan gelombang tingkat pertama digeser dengan jarak (jarak= kecepatan

15

dikali waktu). Contoh 2: Untuk menyelesaikan masalah nilai awal dan menemukan penyelesaian umum.

Perhatikan

(2.1.13)

dengan kondisi awal . Dengan metode karakteristik,

(2.1.14)

maka

(2.1.15) karakteristik tidak berupa garis lurus tetapi memenuhi

(2.1.16)

di mana karakteristik dimulai ( ) pada . Sepanjang karakteristik, dengan mengintegralkan persamaan diferensial biasa (2.1.15), kita mendapatkan

(2.1.17)

Untuk memenuhi kondisi awal pada , , kita mempunyai

, sehingga penyelesaian masalah nilai awal dengan metode

karakteristik adalah

16

Karena adalah fungsi sembarang dari , persamaan (2.1.18) adalah penyelesaian umum dari persamaan diferensial parsial (2.1.13). Metode karakteristik dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian umum dengan cara yang berbeda. Sembarang konstan yang menyelesaikan persamaan diferensial biasa adalah fungsi sembarang untuk satu sama lain. Dengan cara ini, dalam persamaan (2.1.17) adalah fungsi sembarang dari , dan kita mendapatkan langsung dari persamaan (2.1.17) penyelesaian umum dari persamaan diferensial parsial :

(2.1.19)

di mana adalah fungsi sembarang dari . Masalah nilai awal sekarang dapat diselesaikan dari penyelesaian umum (2.1.19).

B. Persamaan Cauchy-Euler

Titik biasa adalah suatu titik dalam suatu domain di mana fungsi variabel kompleks yang diberikan analitik. Nilai disebut titik singular regular dari persamaan diferensial biasa

_(2.2.1)

Jika dan mempunyai deret Taylor yang konvergen di sekitar . Sebagai contoh dan dapat ditulis sebagai deret pangkat dalam ( ):

17

dengan dan konstan, dan maka bukan merupakan faktor persekutuan dari koefisien. Sembarang titik yang bukan merupakan titik biasa dan bukan titik singular regular disebut sebagai titik singular irregular. Di sini, kita hanya akan mempertimbangkan persamaan diferensial biasa yang paling sederhana dengan titik singular regular pada . Persamaan diferensial biasa ini disebut persamaan Cauchy-Euler, dan memiliki bentuk

(2.2.2)

dengan dan konstan. Catat bahwa (2.2.1) tereduksi menjadi persamaan Cauchy Euler ketika kita hanya memandang suku terdepan dalam ekspansi deret Taylor dari fungsi dan .

Ansatz yang tepat untuk (2.2.2) adalah , ketika dan ketika , dengan konstan. Sesudah substitusi menjadi (2.2.2), kita mendapatkan untuk positif dan negatif

| | | | | |

Dan kita meneliti bahwa ansatz kita mengalami kanselasi dari | | . Kita mendapat persamaan kuadrat berikut untuk :

18

yang mana bisa diselesaikan dengan rumus kuadratik. Kemudian tiga kasus langsung muncul: (i) akar real yang berbeda, (ii) akar kompleks, (iii) akar berulang. Pembaca biasanya sudah terbiasa menemui situasi yang sama ketika menyelesaikan persamaan diferensial biasa homogen linear orde kedua dengan koefisien konstan. Sesungguhnya, ini memungkinkan untuk langsung membentuk persamaan Cauchy-Euler menjadi persamaan dengan koefisien konstan.

Ide untuk mengubah variabel adalah aturan pangkat ansatz menjadi suatu eksponen ansatz. Untuk , jika kita memisalkan dan , maka ansatz menjadi ansatz Y( , tepat jika memenuhi koefisien konstan persamaan diferensial biasa. Jika , maka perubahan yang tepat adalah . Karena kita hanya perlu mempertimbangkan dan kemudian menggeneralisasi hasil kita dengan mengganti di mana-mana dengan nilai mutlaknya.

Kita kemudian merubah persamaan diferensial (2.2.2) untuk menjadi persamaan diferensial untuk , menggunakan , atau ekuivalen, . Dengan menggunakan aturan rantai,

19

Jadi secara simbolik,

Turunan keduanya menjadi

( )

Atas substitusi dari turunan dari ke dalam (2.2.2), dan menggunakan , kita mendapatkan

_{( )}

Seperti yang diperkirakan, persamaan diferensial biasa untuk memiliki koefisien konstan, dan dengan , persamaan karakteristik untuk diberikan dengan (2.2.3).

Akar Real yang Berbeda

Kasus paling sederhana tidak memerlukan perubahan. Jika

,

maka dengan akar real dari (2.2.3), penyelesaian umumnya adalah

20

Akar Kompleks

Jika , kita dapat menulis akar kompleks dari (2.2.3) sebagai Ingat kembali penyelesaian umum untuk diberikan dengan

Dan atas perubahan, dan mengganti dengan | |,

| | ( | | | | )

Akar Berulang

Jika , ada satu akar real dari persamaan (2.2.3). Penyelesaian umumnya untuk adalah

Hasilnya

| | | | Kita sekarang memberikan contoh ilustrasi ketiga kasus ini.

Contoh 3: Selesaikan untuk Dengan kondisi dua titik batas dan .

Karena , kita mencoba dan mendapatkan persamaan karakteristik

21

Karena persamaan karakteristik mempunyai dua akar real, penyelesaian umumnya diberikan dengan

Kita sekarang menjumpai kondisi dua titik batas untuk pertama kalinya, yang mana dapat digunakan untuk menentukan koefisien dan . Karena , kita harus mempunyai . Diterapkan pada kondisi yang ada , kita mendapatkan penyelesaian tunggal

√

Perhatikan bahwa disebut titik singular dari persamaan diferensial biasa karena penyelesaian umumnya adalah singular pada ketika . Kondisi batas kita menyebabkan adalah berhingga pada menghilangkan penyelesaian singular. Namun, tetap singular pada . Inilah mengapa kita menggunakan kondisi dua titik batas dari pada menentukan nilai dari .

Contoh 4: Temukan penyelesaian umum dari dengan kondisi dua titik batas dan √ .

Dengan ansatz , kita mendapatkan

22

Sehingga . Oleh karena itu, dengan kita mempunyai , dan penyelesaian umum untuk adalah

Kondisi batas yang pertama hasilnya . Kondisi batas yang kedua √ hasilnya .

Contoh 5: Temukan penyelesaian umum dari dengan kondisi dua titik batas dan .

Dengan ansatz , kita mendapatkan

Jadi ada akar yang berulang . Dengan , kita mempunyai _{, sehingga penyelesaian umumnya adalah}

Kondisi batas pertama hasilnya . Kondisi batas keduanya

hasilnya . Penyelesaiannya adalah

23

C. Kecepatan Individu Dan Medan Kecepatan

Mari bayangkan sebuah mobil bergerak sepanjang jalan tol. Jika posisi dari mobil ditentukan sebagai , maka kecepatannya pasti dan percepatannya adalah . Posisi dari mobil ditentukan pada tengah-tengah dari mobil. Pada situasi jalan raya dengan banyak mobil yang ditentukan sebagai seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2-2.

Gambar 2-2 (kondisi jalan, posisi mobil ditandai dengan ) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 260

Ada dua cara untuk menghitung kecepatan. Cara yang paling umum untuk menghitung kecepatan dari tiap mobil adalah . Dengan banyak mobil maka terdapat kecepatan yang berbeda, yang setiap kecepatannya bergantung pada waktu, Terdapat banyak situasi dimana jumlah mobilnya sangat banyak sehingga akan sangat sulit untuk mengikuti tiap-tiap mobil. Daripada menghitung kecepatan dari tiap-tiap-tiap-tiap mobil, kita menghubungkan setiap titik pada suatu jarak sebagai kecepatan tunggal, , yang bernama medan kecepatan. Ini akan menjadi penghitungan kecepatan pada waktu dengan seorang pengamat tetap pada . Kecepatan ini (pada dan di waktu ) adalah kecepatan dari suatu mobil pada tempat tersebut (jika ada sebuah

24

mobil pada tempat itu). Pertanyaan ini akan disampaikan dalam bentuk matematika, medan kecepatan pada mobil yang berada pada pasti adalah kecepatan mobil ,

(2.3.1)

Keberadaan dari medan kecepatan menunjukkan bahwa pada setiap dan ada . Jadi model ini mobil satu tidak diperbolehkan untuk melewati satu sama lain (karena pada titik di saat akan melewati maka pasti akan muncul dua kecepatan yang berbeda).

Sebagai contoh perhatikan dua mobil pada jalan tol, yang diberi tanda mobil 1 dan mobil 2, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2-3. Andaikan mobil 1 bergerak pada kecepatan mil/jam dan mobil 2 pada kecepatan mil/jam. Juga asumsikan bahwa mobil 1 berada pada pada , sementara mobil 2 berada pada pada . Jadi

Gambar 2-3 (Kondisi dua mobil yang berada pada posisi 0 dan L) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 261

25

Mengintegralkan persamaan ini akan menghasilkan posisi setiap mobil sebagai fungsi dari waktu;

Pergerakan ini akan menghasilkan bagian tiap mobil seperti yang digambarkan pada Gambar 2-4. Dengan cara ini medan kecepatan dapat dibentuk; adalah fungsi dari dan . Tetapi, pada jalan raya dengan dua mobil, kecepatan tidak terdefinisi pada hampir semua waktu pada posisi yang tetap sepanjang jalan raya. Suatu medan kecepatan penting digunakan jika ada banyak mobil dalam suatu jalan raya.

Gambar 2-4 (Kondisi jalan yang digambarkan secara vertical) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 261

Andaikan bahwa medan kecepatan yang kontinu terdefinisi di manapun (untuk dan ) ada. Sebagai contoh

26

(2.3.2) Perhatikan bahwa ketika , maka dari persamaan (2.3.2) , dan ketika , maka . Terdapat banyak medan kecepatan yang memiliki sifat seperti ini. Sebagai model yang sederhana, asumsikan bahwa ada tak berhingga banyak mobil yang setiap mobil ditandai dengan angka . Misalkan berkorespondensi dengan mobil pertama yang berada di kiri dan berkorespondensi dengan mobil pertama yang berada di kanan. Jika mobil yang ditandai dengan bergerak pada kecepatan , , dan berada pada posisi , maka kecepatan mobil sebagai yang berkisar dari ke menggambarkan kisaran dari sampai , dan posisi awalnya berkisar dari sampai , seperti yang digambarkan pada Gambar 2-5.

27

Gambar 2-5 (Posisi mobil dengan kecepatan yang berbeda) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 262

Berdasarkan pada aplikasi lalu lintas tertentu, perlu diperhatikan medan kecepatan atau kecepatan dari mobil secara individu. Kecepatan dari mobil sama dengan

Kedua konsep dari kecepatan tersebut digunakan dalam mendiskusikan aliran lalu lintas.

D. Aliran Lalu lintas dan Kepadatan Lalu lintas

Apa variabel lalu lintas yang membuat pengamat dengan mudah menghitung pertambahan kecepatan mobil? Pengamat tetap pada posisi tertentu sepanjang

28

Jalan sehingga dapat menghitung jumlah mobil yang melewati posisi tersebut pada waktu tertentu. Pengamat dapat menghitung rata-rata jumlah mobil yang lewat tiap jam. Jumlah ini disebut sebagai aliran lalu lintas yang dilambangkan dengan . Andaikan penghitungan berikutnya diambil pada suatu tempat dalam interval setengah jam:

Gambar 2-6 (Data banyaknya mobil yang lewat pada suatu waktu) data diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 265

Sebagai contoh, aliran lalu lintas terbesar terjadi pada periode 7:30-8.00 pagi hari. Jadi aliran bergantung pada waktu, , seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2-7. Pada posisi yang berbeda sepanjang jalan, alirannya bisa berbeda. Jadi aliran juga bergantung pada , dan kita tulis .

29

Gambar 2-7 (Aliran lalu lintas sebagai fungsi waktu) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 265

Dengan menghitung aliran lalu lintas sepanjang interval setengah jam, kita tidak dapat membedakan variasi dalam aliran yang terjadi selama waktu yang lebih pendek. Sebagai contoh, kita tidak dapat memberitahukan bahwa periode dari 7:45-8:00 AM bisa jadi memiliki lalu lintas yang lebih padat dari pada dari 7:30-7:45 AM. Penghitungan dari aliran lalu lintas dapat diambil bahkan dengan interval waktu yang lebih pendek. Tetapi, jika penghitungan dibuat dalam interval yang sangat singkat, sebagai contoh dalam interval detik, maka data yang ditemukan akan seperti ini:

30

Pada penghitungan ini, catat bahwa aliran yang dihitung berfluktuasi liar seperti fungsi pada waktu. Untuk menyelesaikan permasalahan ini, kita asumsikan bahwa ada penghitungan interval seperti:

1. Interval cukup panjang sehingga banyak mobil yang melewati pengamat dalam interval penghitungan ( menghilangkan fluktuasi liar);

2. Interval cukup pendek sehingga variasi dalam aliran lalu lintas tidak mulus rata-ratanya untuk periode waktu yang panjang.

Jika penghitungan seperti ini ada, maka kurva untuk aliran lalu lintas, Gambar 2-7, dapat diperkirakan dengan fungsi kontinu dari waktu yang diilustrasikan dalam Gambar 2-8.

31

Gambar 2-8 (Aliran lalu lintas sebagai fungsi kontinudari waktu) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 266

Penghitungan lalu lintas standar lainnya terjadi pada waktu yang tetap. Jumlah mobilyang berada di antara dua titik dapat dihitung, sebagai contoh, dengan menggunakan foto; seperti yang digambarkan pada Gambar 2-9. Prosedur sistematik yang digunakan tidak dapat menentukan secara pasti mobil itu berada pada daerah yang mana pada suatu waktu yang tetap. Dalam menentukan letak mobil sebaiknya menggunakan estimasi dari potongan mobil atau diasumsikan mobil dapat dihitung hanya jika tengah mobil berada pada daerah tersebut. Penghitungan ini yakni jumlah mobil pada suatu panjang jalan yang diberikan, yang dapat dikonversi menjadi jumlah mobil per mil, jumlahnya disebut kepadatan dari mobil dan diberi lambang . Di sini semua kendaraan diperlakukan sama, kata “mobil” digunakan untuk menampilkan kendaraan apapun.

Jika kepadatan lalu lintas dihitung setiap mil dari jalan pada waktu yang tetap, maka tipe penghitungannya menjadi:

32

Gambar 2-9 (Kepadatan lalu lintas sama dengan invers dari jarak) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 266

Sebagai contoh lain, bayangkan sebuah situasi di mana mobil berjarak sama. Untuk kenyamanan sekarang diasumsikan bahwa semua kendaraan mempunyai panjang yang sama, . Untuk menggunakan satu unit panjang dalam masalah lalu lintas, dihitung dalam kilometer dan bukan meter. Jika jarak antar mobil adalah ( jarak disebut ruang), seperti yang diilustrasikan pada Gambar 2-10, maka kepadatannya, jumlah mobil per kilometer adalah

ρ =

. (2.4.1)

Gambar 2-10 (Jarak dua mobil dan panjang mobil) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 267

33

Seperti aliran lalu lintas, ada kesulitan dengan kepadatan lalu lintas jika penghitungan dibuat pada interval yang terlalu pendek. Andaikan jarak yang digunakan untuk penghitungan kepadatan sangatlah pendek

kilometer ; maka situasi lalu lintas yang masuk akal digambarkan pada Gambar 2-11. Penghitungan data (menggunakan perkiraan potongan mobil) menjadi:

Gambar 2-11 (Penghitungan data menggunakan potongan mobil) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 268

Jika kepadatan lalu lintas digambarkan sebagai fungsi posisi (pada waktu yang tetap), maka kita mendapat Gambar 2-12. Penghitungan kepadatan ini adalah fungsi yang sangat diskontinu. Di sisi lain, jika penghitungan kepadatan diambil hanya pada jarak yang besar (sebagai contoh mil), maka hanya rata-rata kepadatan yang dihitung. Variabel real lokal dari kepadatan lalu lintas tersebut menjadi mulus.

34

Gambar 2-12 (Kepadatan lalu lintas sebagai fungsi posisi) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 268

Jika kita berharap untuk memperkirakan kepadatan sebagai fungsi kontinu dari , kita mendapat Gambar 2-13 dan kepadatannya harus dihitung sepanjang interval yang jaraknya tidak terlalu pendek dan tidak terlalu panjang. Jika jarak penghitungannya terlalu panjang, maka rata-rata kepadatannya yang dihitung tidak tepat untuk diambil sebagai variasi kepadatan. Di sisi lain, jika jarak penghitungan terlalu kecil, maka variabel panjang dari data lalu lintas terlalu halus. Jarak penghitungan harus cukup panjang untuk banyak mobil yang termasuk di dalamnya, tapi cukup pendek sehingga variasi kepadatannya dapat dihitung.

Gambar 2-13 (Contoh signifikan interval hitungan) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 269

35

Mari kita mengilustrasikan dengan contoh signifikan dari interval penghitungan. Anggap

mil dari bagian jalan, ke depannya akan dibagi menjadi seratus interval yang lebih kecil dengan panjang yang sama, dengan batas dari sampai . Andaikan sebuah foto diambil dan dari situ kita menentukan bahwa mobil berada pada posisi berikut:

1.0,3.1,6.1,9.4,12.7,14.1,15.2,16.9,18.9,20.1,21.5,23.5,

25.8,28.9,31.3,34.8,37.0,40.1,43.4,44.9,46.4,47.9,49.6,

51.6,53.3,54.8,56.6,58.3,59.6,60.6,61.9,62.9,63.7,65.0,

66.6,69.5,72.1,76.3,78.8,81.6,84.2,87.7,90.8,95.1,99.3.

Setiap mobil diilustrasikan dalam Gambar 2-14 sabagai “dot”.

Gambar 2-14 (Diagram jarak-jarak mobil) Gambar diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 269

Dari data atau diagram kita melihat bahwa dekat dengan tanda mobil diperkirakan terpisah interval. Sepanjang jalan mobil menyebar ke sekitar unit terpisah (dekat tanda ) sebelum menjadi dekat kembali antara tanda dan (jarak terpisah menjadi sekitar unit terpisah). Kita akan menghitung kepadatan pada tanda ke- sepanjang jalan. Untuk mudahnya, mari kita bayangkan mobil mempunyai panjang nol. Mobil dekat tanda ke- sedikit

36

lebih besar dari pada unit terpisah dan oleh karena itu kepadatan lalu lintasnya kurang dari 1 mobil tiap unit panjang. Kepadatan lalu lintas kurang dari mobil tiap mil, karena tiap tanda adalah

dari dari suatu mil. Untuk lebih jelasnya mari kita melihat bagaimana menghitung kepadatan pada tanda ke- bergantung pada interval penghitungan. Jika kita menggunakan panjang suatu jalan dari unit dipusatkan sekitar tanda ke- , maka kepadatan pada ditetapkan menjadi jumlah mobil antara dan dibagi dengan panjang . Dengan dasar ini kita dapat membuat bagan penghitungan kepadatan:

Ini lebih jelas diilustrasikan dengan menggambar kepadatan lalu lintas sebagai fungsi dari interval penghitungan, seperti pada Gambar 2-15. Untuk penghitungan yang lebih berarti, banyak mobil harus berada dalam interval penghitungan, tetapi tidak terlalu banyak karena dapat menyebabkan hilangnya rata-rata lokal. Tiga mobil terlalu sedikit, tetapi untuk mendapatkan mobil memerlukan jarak yang panjang. Interval antara dan unit panjang sepertinya cocok untuk masalah ini, hasilnya kepadatannya antara dan

37

mobil per mil. Untuk interval penghitungan yang pendek, akan terjadi fluktuasi yang kasar. Dengan meningkat, akhirnya mobil ditemukan dan rata-rata kepadatan meningkat secara dramaatis. Kepadatannya lalu berkurang secara bertahap (dengan meningkatnya) kembali hingga mobil selanjutnya ditemukan. Amplitudo dari fluktuasi berkurang dengan interval penghitungan yang semakin panjang. Untuk jarak penghitungan yang sangat panjang.

Gambar 2-15 (Kepadatan lalu lintas dengan interval yang besar) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 271

38

Aliran sama dengan kepadatan dikali kecepatan

Pada bagian sebelumnya kita mendiskusikan tiga variabel dasar lalu lintas: kecepatan, kepadatan, aliran. Kita akan menunjukkan bahwa ada hubungan yang dekat antara tiga variabel tersebut. Pertama-tama kita perhatikan satu dari kemungkinan paling sederhana dari situasi lalu lintas. Andaikan pada jalan yang sama, lalu lintas bergerak dengan kecepatan konstan dengan kepadatan konstan , seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2-16. Karena setiap mobil bergerak pada kecepatan yang sama, jarak antara mobil masih konstan.

Gambar 2-16 (Pergerakan mobil dari pengamat) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 273

Oleh karena itu kepadatan lalu lintasnya tidak berubah. Apakah aliran mobil itu? Untuk menjawab itu, perhatikan pengamat menghitung aliran lalu lintas ( jumlah mobil per jam yang melalui pengamat). Dalam jam setiap mobil bergerak sejauh ( bergerak dengan kecepatan konstan, jarak yang ditempuh sama dengan kecepatan dikalikan dengan waktu), jadi jumlah mobil yang melalui pengamat dalam jam adalah jumlah mobil dalam jarak , lihat Gambar 2-17. Karena adalah jumlah mobil per kilometer dan ada kilometer,

39

Gambar 2-17 (Banyaknya mobil yang melalu pengamat dalam jam) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 273

maka adalah jumlah mobil yang melalui pengamat dalam jam. Jadi jumlah mobil per jam yang kita miliki disebut aliran lalu lintas, adalah

Meskipun ini telah diturunkan dari kasus yang telah disederhanakan, kita akan menunjukkan bahwa ini adalah hukum dasar. Aliran lalu lintas=(kepadatan lalu lintas)(medan kecepatan). Jika variabel lalu lintas bergantung pada dan sebagai contoh , lalu kita masih menujukkan bahwa

(2.4.2)

Langkah yang mudah untuk menunjukkan ini adalah untuk memperhatikan jumlah mobil yang melalui dalam waktu yang sangat kecil, sebagai contoh antara dan . Dalam waktu yang kecil mobil tidak dapat berjalan jauh dan karenanya (jika dan adalah fungsi kontinu dari dan ) dan dapat diperkirakan sebagai konstan, nilai mereka pada dan . Dalam waktu kecil , mobil yang menempati ruang yang kecil, kira-kira , akan melalui pengamat, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2-18. Jumlah mobil yang melewati kira-kira . Aliran lalu lintasnya

40

diberikan pada persamaan (2.4.2). Jadi hasil untuk konstan dan tidak memerlukan modifikasi untuk dan yang tak seragam. Karenanya, tiga variabel dasar lalu lintas, kepadatan , kecepatan dan aliran , terhubung dalam persamaan (2.4.2).

Gambar 2-18 (Dalam waktu yang kecil mobil akan melalu pengamat) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 274

E. Konservasi Jumlah Mobil

Pada bagian ini, kita akan memformulasikan model deterministik dari aliran lalu lintas. Andaikan bahwa densitas dan medan kecepatan diketahui untuk suatu aliran lalu lintas yang tak terhingga panjangnya. Dapatkah kita memprediksi densitas dan kecepatan pada masa depan? Sebagai contoh jika lampu hijau menjadi merah dan sesaat kemudian menjadi hijau, lalu apakah pola lalu lintasnya dapat diprediksi?

Kita dapat menganggap variabel dasar lalu lintas adalah dan . Tetapi andaikan kita tahu kepadatan lalu lintasnya adalah dan kecepatan lalu lintasnya untuk setiap waktu . Maka pergerakan dari setiap mobil akan memenuhi persamaan diferensial:

41

dengan

Menyelesaikan persamaan ini dapat menentukan di mana posisi mobil-mobil beberapa saat kemudian. Pada beberapa waktu kemudian, kita dapat menghitung densitas. Jadi kepadatan lalu lintas masa depan dapat dihitung dengan mengetahui kecepatan lalu lintas. (meskipun dalam penghitungan tidaklah sederhana dan harus menggunakan komputer).

Kita ingin menentukan bagaimana densitas dapat dihitung dengan mudah dengan mengetahui kecepatannya (nantinya kita akan menyelesaikan di mana kecepatannya juga tidak diketahui). Dengan mengikuti mobil, kita menganggap jumlahnya tidak berubah. Tetapi kita telah dikenalkan dengan variabel lalu lintas berupa densitas, kecepatan dan aliran, jadi kita tidak harus mengikuti mobil satu per satu. Mari kita mencoba untuk „mengawetkan‟ mobil dengan menggunakan variabel pada lalu lintas.

Pada beberapa interval jalan antara dan , jumlah mobil adalah integral dari kepadatan lalu lintas:

∫ (2.5.1) Jika tidak ada tempat masuk dan keluar pada jalan ini,maka jumlah mobil antara dan masih bisa berubah dalam waktu. Jumlahnya berkurang saat mobil meninggalkan dan jumlahnya bertambah pada saat mobil masuk daerah . Asumsikan bahwa tidak ada mobil yang masuk dan keluar, maka perubahan pada jumlah mobil hanya dari penyeberangan antara dan .

42

Jika jumlah aliran mobil adalah mobil perjam pada tetapi aliran pada

adalah perjam, maka jelas jumlah mobil antara dan bertambah mobil per jam. Kita dapat mengumumkan hasil ini pada

situasi di mana jumlah mobil yang lewat tidak konstan setiap waktu. Nilai dari perubahan jumlah mobil, , sama dengan jumlah per unit waktu melewati

dikurangi jumlah mobil per unit waktu pada atau

(2.5.2) karena jumlah mobil per unit waktu adalah

Perbedaan jumlah mobil antara waktu dan sama dengan jumlah mobil yang melewati antara dan di mana untuk kecil sekitar dikurangi jumlah mobil yang melewati antara dan di mana untuk kecil adalah Jadi,

( )

Dibagi dengan dan mengambil limit dari persamaan ( . Kita mengembangkan turunan yang terakhir dengan mengeliminasi yang diperlukan dengan menggunakan perkiraan. Perhatikan perbedaan antara jumlah mobil pada dan . Persamaan pasti diperlukan untuk jumlah mobil yang melewati antara dan . Karena adalah jumlah mobil yang

melewati tiap waktu tertentu, maka ∫ adalah jumlah mobil yang melewati antara dan . Pada turunan, , dekat dengan dan integral ini mendekati Tetapi tanpa perkiraan

43

∫ -∫ = ∫

Bagi persamaan ini dengan dan ambil limit dari terhadap . Ambil turunan ke . Karena tidak bergantung pada , kita mendapatkan

∫

Dari teorema dasar kalkulus akan menunjukkan bahwa,

Karena , dapat berada pada sembarang waktu, diganti dengan notasi , jadi persamaan (2.5.2) diturunkan kembali.

Menggabungkan persamaan (2.5.1) dan (2.5.2), hasilnya

∫ – (2.5.3)

Persamaan ini menunjukkan fakta bahwa perubahan jumlah mobil karena aliran yang melalui batas. Dalam batas tersebut tidak ada mobil yang datang maupun pergi tanpa melalui batas. Jumlah mobil yang berada pada batas tersebut dikekalkan. Ini bukan berarti jumlah mobil antara dan adalah konstan. (jika benar maka ( ) atau . Persamaan (2.5.3) disebut hukum konservasi dalam bentuk integral atau lebih tepatnya hukum konservasi integral. Hukum ini menunjukkan sifat dari lalu lintas yang panjangnya berhingga di antara

44

Sebagai contoh, perhatikan jalan layang yang sangat panjang di mana kita memodelkan sebagai jalan yang tak terhingga panjangnya. Mari kita asumsikan bahwa aliran mobil menuju ke nol dengan menuju ,

Dari persamaan (2.5.3), akan mengikuti

∫ Mengintegralkan persamaan ini

∫

Yang menyatakan bahwa jumlah mobilnya konstan sepanjang waktu. Konstan bisa dievaluasi jika salah satu jumlah dari mobil atau densitas yang diketahui:

∫ ∫

Hukum konservasi integral akan disebut sebagai hukum konservasi lokal, yang valid pada setiap posisi di jalan. Kita akan melakukannya pada 3 cara yang ekuivalen. Pada 3 cara itu, titik akhir pada bagian jalan, dan dianggap sebagai variabel tak bebas tambahan. Jadi turunan terhadap waktu harus diganti dengan turunan parsial,

∫ (2.5.4a)

Karena turunan persamaan (2.5.3) asumsikan bahwa posisi dan adalah tetap dalam waktu. Pada sisi lain

45

dengan waktu. Pada turunan pertama, kita menginvestigasi bagian kecil pada jalan. Pendekatan kasar telah dibuat, di mana memberikan hasil yang tepat. Setelah itu persamaan pertama akan ditingkatkan turunannya.

(1) Perhatikan integral konservasi dari mobil pada interval kecil dari suatu jalan layang dari ke . Jadi dari persamaan (2.5.4a),

∫

Dibagi dengan - dan ambil limit :

∫

2.5.4b

Pada sisi kanan dari persamaan (2.5.4b) adalah pengertian dari turunan ke . Pada sisi kiri persamaan (2.5.4b) limitnya dapat ditampilkan

dengan 2 cara yang ekuivalen:

(a) Integral adalah daerah di bawah kurva antara dan . karena kecil , integralnya dapat diperkirakan dengan satu pangkat. Jumlah mobil antara dan dapat diperkirakan dengan panjang jalan dikali kepadatan lalu lintas pada Jadi,

∫

Pada turunan subsekuennya, (2), kita menunjukkan bahwa errornya hilang karena ,

46

(x,t)+ =0

(b) Pada sisi lain, memperkenalkan fungsi ̅ , jumlah mobil pada jalan antara sembarang fix posisi dan posisi variabel ̅,

̅ ∫

Lalu rata-rata jumlah mobil per mil antara dan adalah

∫

=

Dalam limit , pada sisi kanan adalah – . Dengan menggunakan definisi dari dari dasar teorema kalkulus,

Jadi sisi kiri dari persamaan (2.5.4b) sama dengan –(

.

Dengan metode baik a maupun b, persamaan (2.5.5a) mengikuti. Karena persamaan (2.5.5a) memegang semua nilai dari , akan lebih baik untuk mengganti dengan ,

[ ] ( 2.5.5b) atau sederhananya

(2.5.5c)

Ini adalah persamaan diferensial parsial. Ini menunjukkan hubungan antara kepadatan lalu lintas dan aliran lalu lintas yang diturunkan dengan menganggap bahwa jumlah mobil adalah tetap, di mana tidak ada mobil

47

yang datang maupun pergi tanpa melalui batas. Ini valid di manapun (semua ) dan untuk sepanjang waktu. Ini disebut persamaan konservasi mobil.

(2) Persamaan konservasi mobil dapat diturunkan lebih jauh. Perhatikan hukum konservasi integral, persamaan (2.5.4a), untuk sembarang bagian berhingga dari suatu jalan, . Sekarang ambil turunan parsial terhadap . (persamaan ini menyebabkan dibagi dengan dan diambil limitnya ). Jadi,

( )

Karena menampilkan sembarang posisi di jalan, maka digantikan dengan , berdasarkan persamaan konservasi mobil, persamaan (2.5.5)

(3) Turunan alternatif untuk jalan dengan panjang yang berhingga berdasarkan dari mengikuti hubungan yang sangat jelas pada sisi kanan persamaan (2.5.4a)

∫ [ ] Jadi dari persamaan (2.5.4a),

∫ [

] (2.5..6)

Persamaan 2.5.5 langsung mengikuti dengan mengambil turunan dengan terhadap , dan sudah selesai pada turunan (2). Tetapi mari kita mendiskusikan argumen yang kuat dan berbeda. Persamaan (2.5.6) menyatakan bahwa nilai integral dari beberapa jumlah selalu nol untuk setiap nilai dari berbagai limit yang bebas dari

48

integral. Satu-satunya fungsi yang integralnya adalah nol untuk setiap interval adalah fungsi nol. Jadi persamaan (2.5.5) mengikuti.

Dengan tiga metode yang ekuivalen, kita telah menunjukkan bahwa

(2.5.7) Ini pasti valid jika tidak ada jalan masuk ataupun keluar di antara jalan tersebut. Persamaan (2.5.7) valid dalam banyak situasi tapi tidak melakukan apa-apa terhadap lalu lintas. Secara umum, jika adalah sembarang jumlah lokal yang dipadatkan dan jika adalah aliran dari jumlah yang melaluli batasan, maka dapat ditunjukkan menggunakan argumen yang sama yang telah kita kembangkan, bahwa persamaan (2.5.7) valid. Tetapi untuk masalah lalu lintas, kita tahu dari subbab sebelumnya bahwa

Jadi konservasi pada mobil dapat ditulis sebagai

(2.5.8) Persamaan diferensial parsial ini menghubungkan kepadatan lalu lintas dan kecepatan.

F. Hubungan kecepatan dan kepadatan

Dua variabel, kepadatan lalu lintas dan kecepatan mobil hanya

49

(2.6.1)

Jika medan kecepatan diketahui, persamaan (2.6.1) berkurang menjadi persamaan diferensial parsial untuk kepadatan lalu lintas yang tidak diketahui. Dalam kasus ini, persamaan (2.6.1) dapat digunakan untuk memprediksi kepadatan lalu lintas di masa depan jika kepadatan lalu lintas awalnya diketahui. Sebagai masalah nilai awal, persamaan (2.6.1) hanyalah sama dengan persamaan diferensial biasa untuk posisi dari suatu massa atau persamaan diferensial biasa yang dikembangkan dalam dinamika populasi. Kita dapat mengikuti untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial ini. Tetapi, ini menjadi tidak berarti karena kita tidak tahu medan kecepatannya.

Medan kecepatan yang tidak diketahui harus diinvestigasi. Perhatikan mobil sebagai partikel, kita perlu tahu kecepatan partikelnya. Jika ini adalah sistem mekanik, maka kita akan menginvestigasi kekuatan di dalam sistem dan menggunakan hukum Newton untuk mempelajari pergerakan dari partikel. Tetapi, tidak ada cara yang sama dengan hukum Newton mengenai mobil yang harus bergerak. Ini bukanlah kekuatan yang menyebabkan mobil tersebut bergerak; ini adalah keputusan dari setiap individu pengendara. Apa faktor yang mempengaruhi kecepatan individual mobil?

Cara untuk menyelidiki medan kecepatan adalah dengan melakukan percobaan untuk mengetahui individual respon terhadap kondisi lalu lintas. Mengapa beberapa pengendara melalui jalan yang dia lewati? Mari kita mendiskrisikan terlebih dahulu beberapa pengamatan fenomena lalu lintas yang

50

sangat familiar denganmu. Jika lalu lintas cukup renggang, maka pengendara dari tiap mobil memiliki kebebasan untuk melakukan segala sesuatu sesuai dengan yang dia inginkan dalam batasan-batasan tertentu. Satu-satunya alasan yang membuat pengendara memperlambat kendaraannya karena kehadiran dari kendaraan lain. Dengan lalu lintas yang semakin padat maka pertemuan dengan mobil yang bergerak lambat akan semakin sering. Dalam kondisi ini tidaklah sulit untuk melewati mobil yang bergerak lambat, dan oleh karena itu kecepatan rata-rata pengendara masih tidak kurang dari kecepatan yang diinginkan. Tetapi, pada lalu lintas yang padat, berganti baris menjadi susah, dan menyebabkan rata-rata kecepatan dari lalu lintas berkurang.

Dengan dasar dari tipe pengamatan ini, kita menyederhanakan asumsi dasar bahwa tiap titik sepanjang jalan kecepatan dari sebuah mobil hanya bergantung pada kepadatan lalu lintas,

(2.6.2) Lighthill dan Whitham dan Richard pada pertengahan 1950 telah

menyatakan model matematika aliran lalu lintas tipe ini secara terpisah.

Jika tidak ada mobil lain pada jalan raya (berkorespondensi dengan kepadatan lalu lintas yang sangat rendah), maka mobil dapat bergerak pada kecepatan maksimum ,

(2.6.3)

terkadang diartikan sebagai kecepatan bebas yang berkorespondensi dengan kecepatan mobil yang akan bergerak jika mereka bebas dari gangguan mobil lain.

51

Tetapi, dengan meningkatnya kepadatan (yang berarti semakin banyaknya mobil per mil) maka keberadaan mobil lain akan membuat kecepatan mobil berkurang. Dengan meningkatnya kepadatan maka kecepatan dari mobil akan terus berkurang hingga akhirnya menghilang atau berhenti, dan jadi

(2.6.4)

Pada kepadatan tertentu di mana mobil tetap pada tempatnya atau tidak bergerak. Kepadatan maksimum ini, biasanya berkorespondensi dengan apa yang disebut lalu lintas bumper to bumper,

(2.6.5)

(Mobil diamati saat datang dan saat berhenti pada kepadatan lalu lintas sebelum mobil menyentuh mobil lainnya. Jadi , di mana adalah rata-rata panjang dari kendaraan).

G. Aliran lalu lintas

Seorang insinyur lalu lintas akan diminta mekanisme kontrol lalu lintas untuk memaksimalkan aliran pada suatu jalan. Aliran yang terbesar akan terjadi jika mobil saling berdekatan ( bergerak pada batas kecepatan . Ini jelas tidak aman, tetapi lebih jauh lagi kita mempunyai hipotesis (berdasarkan banyak observasi) bahwa kebiasaan manusia dalam berkendara seperti jika maka mobil akan berdempet-dempetan dan tidak dapat bergerak, hasilnya adalah aliran lalu lintas minimum yaitu nol.

52

Kita akan mengasumsikan bahwa kondisi jalan adalah sama. Yang artinya semua mobil memiliki keadaan yang sama, misalnya kecepatan mobil bergantung pada kepadatan lalu lintas dan tidak pada waktu atau posisi selama di jalan. Karena aliran lalu lintas (jumlah mobil per jam) sama dengan kepadatan dikalikan dengan kecepatan, aliran juga hanya bergantung pada kepadatan,

(2.7.1) Aliran jadi memiliki sifat-sifat umum. Aliran mungkin nol dalam dua jalan yang pasti:

1. Jika tidak ada lalu lintas ( ), atau

2. Jika lalu lintas tidak bergerak ( dan

Untuk nilai dari kepadatan lainnya aliran lalu lintas pasti positif. Hubungan antara aliran dan densitas biasanya disebut Diagram Dasar

Lalu lintas Jalan. Ini menunjukkan bahwa maksimum dari aliran lalu lintas

terjadi pada beberapa kepadatan (dengan kecepatan yang berkorespondensi). Insinyur lalu lintas menyebut aliran lalu lintas maksimum sebagai kapasitas dari jalan. Kita mengasumsikan bahwa hubungan aliran dan kepadatan yang digambarkan pada Gambar 2-19, cekung ke bawah, ⁄ .

53

Gambar 2-19 (Hubungan aliran dan kepadatan) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 290

Dengan kata lain kita mengasumsikan bahwa ⁄ berkurang di mana meningkat, seperti yang didemonstrasikan dalam Gambar 2-20. Maksimum absolut dari aliran terjadi hanya pada maksimum lokal.

Gambar 2-20 (Aliran yang terjadi pada maksimum local) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 290

Data dari Lincoln Tunnel mengindikasikan bahwa aliran lalu lintas maksimum sekitar 1600 kendaraan per jam, terjadi pada kepadatan sekitar 82 mobil per kilometer, bergerak dengan kecepatan sekitar 19 kilometer per jam.

54

Data dari Merrit Parkway. Gambar 2-20 meyakinkan rentang kecepatan di mana maksimum yang terjadi tidak dapat diobservasi.

Gambar 2-21 (Rentang kecepatan di mana maksimum yang terjadi tidak dapat diobservasi) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 291

Jika kepadatannya hampir nol, maka biasanya lalu lintas akan bergerak pada kecepatan maksimum, . Jadi untuk kepadatan yang kecil aliran dapat diperkirakan dengan , meningkat secara linear dengan kepadatan. Pengukuran dalam Lincoln Tunnel dan Holland dan Queens Midtown Tunnels menunjukkan suatu hal yang linear identik mengenai hubungan aliran dan kepadatan untuk kepadatan alirang yang kecil, seperti yang kita berikan pada diskusi secara teori yang sebelumnya. Tetapi dengan meningkatnya kepadatan dan aliran secara korespondensi, perbedaan di antara tiga pengembangan terowongan dalam kurva aliran dan kepadatan. Pengukuran ini menunjukkan bahwa aliran lalu lintas maksimum (kapasitas) dan kecepatan yang bersesuaian lebih rendah dari

55

terowongan yang lebih tua. Ini mengindikasikan bahwa terowongan yang lebih baru, dengan luas bidang yang lebih besar, penerangan yang telah dikembangkan dan lain-lain, membuat pengendara dapat berkendara lebih cepat pada kepadatan lalu lintas yang sama.

Sebagai tambahan, pengukuran aliran kepadatan telah dibuat dalam bagian yang berbeda pada terowongan yang sama. Pengalaman ini menunjukkan bahwa kapasitas pada suatu jalan itu bervariasi. Ada tempat di mana kapasitasnya lebih kecil dari yang lainnya, yang biasa disebut kemacetan.

Untuk meningkatkan efisiensi lalu lintas, lalu lintas harus dipaksa untuk bergerak pada suatu kepadatan (dan kecepatan) secara korespondensi ke aliran lalu lintas maksimum. Untuk mengilustrasikan aplikasi konsep ini, perhatikan suatu situasi di mana banyak mobil yang menunggu untuk masuk ke dalam terowongan. Asumsikan bahwa mobil bergerak pada kecepatan yang kurang dari aliran maksimum. Sinyal yang menghentikan lalu lintas dan mengijinkan untuk jalan, hasilnya akan meningkatkan aliran dari mobil melalui terowongan. Jadi menghentikan lalu lintas sesaat dapat meningkatkan aliran! Meskipun kita harus menyederhanakan masalahnya, ide ini berhasil meningkatkan kelancaran lalu lintas di Holland tunnel seperti yang diberitakan dalam Scientific American.

56

BAB III

MODEL-MODEL ALIRAN LALU LINTAS

A. Steady State Car following model

Pada bagian ini kita akan menunjukkan suatu metode untuk menentukan hubungan kecepatan dan kepadatan. Untuk menjelaskan kurva kecepatan kepadatan, kita dapat menganalisa secara hati-hati mengenai cara pengendara dalam membuat pilihan saat berkendara. Model matematika yang diberikan di sini berasal dari hasil beberapa penelitian untuk membangun model tersebut.

Perhatikan mobil ke pada suatu jalan, Seperti sebelumnya, kita mengasumsikan mobil tidak dapat saling mendahului. Kita mendalilkan bahwa suatu gerakan mobil hanya bergantung pada mobil yang ada di depannya. Teori ini disebut car following model. Dalam model yang sangat sederhana ini, kita mengasumsikan bahwa akselerasi mobil proporsional dengan kecepatan yang bersangkutan,

3.1.1

Jika mobil berikut akan lebih cepat dari mobil sebelumnya, maka mobil berikut akan melambat ( jadi ). Semakin besar kecepatan relatifnya, maka semakin besar pula mobil belakangnya mempercepat atau memperlambat. Parameter mengukur kesensitifan dua mobil yang berinteraksi. Tetapi, persamaan (3.1.1) menunjukkan bahwa percepatan atau perlambatan terjadi secara tiba-tiba. Mari

57

kita memberi beberapa waktu penundaan sebelum pengendara bereaksi untuk mengubah kecepatan relatif. Proses ini dimodelkan dengan menspesifikasikan percepatan pada beberapa waktu sesudahnya,

. (3.1.2)

Di mana adalah waktu bereaksi. Secara matematik, persamaan ini menampilkan suatu sistem dari persamaan diferensial biasa dengan suatu penundaan, yang disebut sistem persamaan diferensial penundaan.

Mengintegralkan persamaan (3.1.2), yakni

( )

Sebuah persamaan yang menghubungkan kecepatan dari mobil pada suatu waktu dengan jarak antar mobil. Bayangkan suatu situasi steady state di mana semua mobil terpisah jarak dan bergerak pada kecepatan yang sama. Jadi

Dan

( ) Karena

(3.1.3)

58

Adalah definisi yang beralasan dari kepadatan lalu lintas, diperoleh hubungan antara kepadatan dan kecepatan.

Kita memilih bilangan konstan , yang mana pada kepadatan maksimum . dengan kata lain,

Dengan cara ini hubungan antara kepadatan dan kecepatan dapat diturunkan,

( ) (3.1.4)

Gambar 3-1 (Situasi steady state, hubungan kecepatan dan kepadatan) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 294

Bagaimana ini dapat dibandingkan dengan pengamatan mengenai hubungan kecepatan dan kepadatan? Persamaan (3.1.4) muncul secara untuk kepadatan yang

59

besar, sebagai contoh, mendekati . Tetapi ini memprediksikan kecepatan tak berhingga pada kepadatan nol.

Kita dapat mengeliminasi masalah ini, dengan memperhatikan bahwa model ini tidak cocok untuk kepadatan kecil karena alasan berikut. Pada kepadatan kecil, perubahan kecepatan dari mobil tidak ada karena mobil di depannya. Namun itu lebih seperti pengaruh batas kecepatan dari mobil (dan percepatan) pada kepadatan yang kecil. Jadi kita dapat berhipotesis bahwa persamaan (3.1.4) valid hanya untuk kepadatan yang besar. Untuk kepadatan yang kecil, mungkin hanya terbatas dengan batas kecepatan, . Jadi

{

( )

Kita memilih kepadatan kritis seperti kecepatan kepadatan dari fungsi kontinu, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar. Aliran jadi

{ ₍ )

60

Gambar 3-2 (Situasi steady state) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 295

Bayangkan dua pengendara yang keduanya mengendarai dengan kecepatan km.p.h lebih cepat dari mobil yang ada di depannya, yang satu meter di belakang tetapi yang lain hanya 8 meter di belakangnya. Kita tahu bahwa pengendara akan mengalami perlambatan yang berbeda-beda. Percepatan dan perlambatan seorang pengendara juga bergantung pada jarak dengan mobil sebelumnya. Semakin dekat pengendara, semakin sering pengendara akan merespon lebih kuat untuk memperhatikan kecepatan relatif. Cara paling sederhana untuk model ini adalah dengan menginverskan proporsional dari sensitifitas pada jarak

Jadi model car following yang direvisi adalah

(3.1.5)

Model car following ini tidak linear, yang berlawanan dengan persamaan (3.1.2) yang linear.

61

Persamaan ini dapat diintegralkan menjadi

| |

Mari kita memperhatikan situasi steady state, dalam kasus

Sekali lagi konstan integrasi dipilih yang kepadatan maksimum, kecepatannya adalah nol.

Kesulitan saat dihindari dengan mengasumsikan bahwa untuk kepadatan rendah, . Konstan dipilih sehingga rumusnya akan sesuai dengan data yang diobservasi pada suatu jalan. Konstan memiliki interpretasi sederhana, kita akan menunjukkannya sekarang dengan kecepatan yang berhubungan dengan aliran maksimum:

( )

Berarti pada aliran lalu lintas maksimum terjadi pada , dalam kasus di mana kecepatan pada aliran maksimum adalah

Banyak tipe lain yang sama dengan teori car following telah dirumuskan oleh peneliti lalu lintas. Mereka membantu untuk menjelaskan hubungan antara aksi individu dari pengendara tunggal dan kebiasaan pengendara secara keseluruhanyang ditunjukkan dengan cekungan kepadatan dan kecepatan.

118

rho_part2=linspace(rho_linxbk,rho_linxfd,n_h+1).*((x>=x_a) & (x<x_b));

% Right interval

rho_part3=repmat(rho_b,1,n_h+1).*(x>x_b);

% Whole interval

rho_0=rho_part1+rho_part2+rho_part3;

x_plot=linspace(x_min,x_max,n_h/20+1); rho_0_plot=rho_0(1:20:end);

Program yang kedua ini hanya memanggil program density_at yang di atas:

% Traffic density % Parameters

%

---Umax = 80; rho_max = 10;

%

---x_min = -1000; x_max = 1000;

y_min = -1;

y_max = 2*rho_max;

h = 0.05;

n_h = (x_max-x_min)/h;

% Plotting

figure;

for t=0.01:0.01:10

[x_plot, rho_0_plot] = density_at(t, x_min, x_max, Umax, rho_max, n_h);

plot(x_plot,rho_0_plot),axis([x_min x_max y_min y_max]) %grid on

title('Traffic density') xlabel('x')

ylabel('rho') pause(0.0001)

end

119

Gambar 4-4 pergerakan lalu lintas saat lampu merah baru saja menjadi hijau

Gambar 4-5 pergerakan lalu lintas saat lampu merah telah menjadi hijau

Gambar 4-4 dan 4-5 di atas menggambarkan pergerakan kondisi saat lampu merah berubah menjadi hijau. Kondisi yang di gambar 4-4 menunjukkan bahwa lampu saat itu baru saja menjadi hijau sehingga kondisi lalu lintasnya

120

masih padat yang kemudian pada Gambar 4-5 menunjukkan bahwa beberapa saat setelah lampu menjadi hijau maka lalu lintasnya menjadi lebih longgar.

121

BAB V

PENUTUP

Pada bab ini dituliskan kesimpulan dari pembahasan pada bab-bab sebelumnya, serta saran perbaikan bagi penelitian selanjutnya.

4.1 Kesimpulan

Model matematika saat lampu merah berubah menjadi hijau ini digunakan untuk mengetahui secara lebih jauh mengenai apa yang terjadi pada kendaraan yang berada pada barisan di belakang lampu lalu lintas saat lampu merah berubah menjadi hijau. Model ini memberi penjelasan kepada pembaca mengenai hal-hal yang terjadi secara matematis pada lalu lintas saat lampu merah berubah menjadi hijau. Model ini mengajak pembaca untuk mengamati pergerakan sekumpulan mobil saat lampu merah berubah menjadi hijau. Model ini juga mengajak pembaca untuk memperhatikan kondisi sebelum dan sesudah lampu merah berubah dari merah menjadi hijau.

4.2 Saran

Hingga saat ini masih banyak masalah-masalah mengenai aliran lalu lintas yang belum ditemukan penyelesaiannya. Saran yang dapat diberikan penulis bagi pembaca, khususnya bagi adik kelas yang ingin membuat tugas akhir dengan topik yang berhubungan dengan kondisi lalu lintas saat lampu merah berubah menjadi hijau adalah dengan membahas mengenai masalah-masalah lalu lintas

122

lain yang memiliki landasan teori yang sama karena dengan landasan teori yang sama masih banyak masalah yang belum pernah dibahas.

123

DAFTAR PUSTAKA

[1] Chasnov, J. R., 2009. Introduction to Differential Equations. The Hong Kong University of Science and Technology, Kowloon, Hongkong.

[2] Haberman, R. 1998. Mathematical Models: Mechanical Vibrations, Population Dynamics, Traffic Flow. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey.

[3] Pinchover, Y. & Rubinstein, J. 2005. An Introduction To Partial Differential Equations. Cambridge University Press, The Edinburgh Building, Cambridge, UK.

[4] Robinson, J. C , 2004. An Introduction To Ordinary Differential Equations. Cambridge University Press, The Edinburgh Building, Cambridge, UK.