Momen dan Fungsi Pembangkit Momen

Gambar 2. 2 Grafik Distribusi Chi-Square Grafik diatas diproduksi dengan program R pada lampiran A.2

C. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen

Definisi 2.11 Momen ke – dari variabel random di sekitar titik asal didefinisikan sebagai dan dinotasikan dengan ′ . Contoh 2.4 Tentukan momen saat k=1 dan saat k=2. Jawab: 2 4 6 8 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f x 2 4 6 8 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f x 2 4 6 8 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f x 2 4 6 8 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f x 2 4 6 8 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f x 2 4 6 8 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f x v=1 v=2 v=3 v=4 v=6 v=9 Untuk k=1, = ′ = . Untuk k=2, = ′ . Hal ini dapat berguna saat mencari variansi, berdasarkan Teorema 2.1 = − = ′ − . Definisi 2.12 Fungsi pembangkit momen untuk variabel random didefinisikan sebagai = . Fungsi pembangkit momen dikatakan ada jika ada sebuah konstanta positif berhingga untuk | | . Definisi 2.13 Fungsi Pembangkit Momen dari variabel random adalah dan dinyatakan dengan . Sehingga = { ∑ , ∀ jika diskrit ∫ , ∞ −∞ jika kontinu Contoh 2.5 1. Fungsi Pembangkit Momen distribusi Normal = ∫ ∞ −∞ = ∫ − �√ � − − � ∞ misalkan = − = ∫ �√ � − � ∞ = �√ � ∫ − � ∞ = �√ � ∫ − � ∞ = �√ � ∫ − � + � � ∞ = �√ � ∫ − � − � ∞ = � � �√ � ∫ − � − � ∞ = �√ � � ∫ − � ∙ − � − � ∞ = �√ � � ∫ − � − � +� ∞ = � ∫ − � − � +� �√ � ∞ = � ∫ �√ � − −� � ∞ = � Jadi, fungsi pembangkit momen distribusi Normal adalah = � . 2. Fungsi Pembangkit Momen distribusi Gamma = ∫ ∞ −∞ = ∫ � − − ∞ = ∫ � − − ∞ = � ∫ − − ∞ = � ∫ − − + ∞ = � ∫ − − − ∞ misalkan = − = � ∫ − − ∞ = � [� ] = Ingat = − = − , maka = − = − = − ∙ = − Jadi, fungsi pembangkit momen distribusi Gamma adalah = = = − = − − . Teorema 2.3 Sifat-sifat Fungsi Pembangkit Momen 1. Jika adalah variabel random dan adalah sebuah konstanta, maka = . 2. Jika adalah variabel random dan adalah sebuah konstanta, maka + = ∙ . 3. Jika adalah variabel random dan adalah dua buah konstanta, maka + = ∙ . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Bukti: 1. = = = . 2. + = + = = ∙ . 3. �+ = �+ = ��+ � = �� � = � ∙ . Teorema 2.4 Teorema Ketunggalan Misalkan dan adalah fungsi pembangkit momen dari variabel acak dan . Jika kedua fungsi pembangkit momen ada dan = untuk semua nilai dari , maka dan mempunyai distribusi probabilitas yang sama. Bukti: Julie, H. 1999. Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi. Pada skripsi tersebut, teorema ketunggalan dibuktikan secara umum dengan menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu = � , dengan � adalah bilangan kompleks. Perhatikan bahwa fungsi pembangkit momen FPM adalah bentuk khusus dari fungsi karakteristik, bukti dilakukan dengan menunjukan bahwa bila dan adalah fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama, yaitu ∫ � ∞ −∞ = ∫ � ∀ ∈ ℝ, ∞ −∞ maka = . Skripsi halaman 54. Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi pembangkit momen dengan fungsi probabilitas ∎ Teorema 2.5 Misalkan , , … , adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi pembangkit momen , , … , � . Jika = + + ⋯ + , maka � = × × … × � . Bukti: � = � = + +⋯+ � = … � = × × … × � = × × … × � ∎ D. Pendugaan Parameter Pendugaan parameter adalah bidang dari statistika yang berhubungan dengan menduga nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukur atau data empiris yang memiliki komponen random. Pendugaan parameter adalah suatu metode untuk menduga nilai parameter populasi dengan menggunakan nilai-nilai dari sampel. Definisi 2.15 Parameter adalah suatu konstanta yang menggambarkan merupakan karakteristik populasi. Sebuah keluarga parametrik fungsi densitas adalah kumpulan fungsi densitas yang diindeks oleh suatu kuantitas yang disebut parameter. Contoh 2.6: 1. Populasi berdistribusi Normal dengan fungsi densitasnya adalah = � √ � exp [− � − ] , −∞ ∞ memiliki parameter dan � , dengan merupakan rata-rata populasi dan � merupakan variansi populasi. 2. Populasi berdistribusi Eksponensial fungsi densitasnya adalah ; = − , dengan . Maka untuk setiap , ; adalah fungsi densitas. Kumpulan dari ; adalah keluarga parametrik dari fungsi densitas. Definisi 2.16 Penduga estimator adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam suatu rumus yang digunakan untuk menghitung nilai dari pendugaan yang didasarkan atas pengukuran di dalam sampel. Penduga dibagi menjadi dua bagian yaitu penduga titik point estimation dan penduga selang interval estimation. Definisi 2.17 Penduga Titik Point Estimation Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal yang dengan sebaik-baiknya menduga parameter yang sebenarnya. Contoh 2.7 Rata-rata sampel yang dinyatakan dalam suatu rumus ̅ = ∑ � �= merupakan salah satu penduga titik dari rata-rata populasi . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Definisi 2.18 Penduga Selang Interval Estimation Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang memiliki peluang yang besar akan memuat parameter sebenarnya.

E. Selang Kepercayaan