Gambar 2. 2 Grafik Distribusi Chi-Square
Grafik diatas diproduksi dengan program R pada lampiran A.2
C. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen
Definisi 2.11
Momen ke – dari variabel random di sekitar titik asal didefinisikan sebagai
dan dinotasikan dengan
′
.
Contoh 2.4
Tentukan momen saat k=1 dan saat k=2. Jawab:
2 4
6 8
10 0.0
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5
x f
x
2 4
6 8
10 0.0
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5
x f
x
2 4
6 8
10 0.0
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5
x f
x
2 4
6 8
10 0.0
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5
x f
x
2 4
6 8
10 0.0
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5
x f
x
2 4
6 8
10 0.0
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5
x f
x v=1
v=2 v=3
v=4 v=6
v=9
Untuk k=1, =
′
= . Untuk k=2, =
′
. Hal ini dapat berguna saat
mencari variansi, berdasarkan Teorema 2.1
= −
=
′
− .
Definisi 2.12
Fungsi pembangkit momen untuk variabel random didefinisikan sebagai
= . Fungsi pembangkit momen dikatakan ada jika ada sebuah
konstanta positif berhingga untuk | |
.
Definisi 2.13
Fungsi Pembangkit Momen dari variabel random adalah dan dinyatakan
dengan . Sehingga
= {
∑ ,
∀
jika diskrit ∫
,
∞ −∞
jika kontinu
Contoh 2.5
1. Fungsi Pembangkit Momen distribusi Normal = ∫
∞ −∞
= ∫
−
�√ �
− − �
∞
misalkan = −
= ∫ �√ �
− �
∞
= �√ �
∫
− �
∞
= �√ �
∫
− � ∞
= �√ �
∫
− � + �
� ∞
= �√ �
∫
− � − � ∞
=
� �
�√ � ∫
− � − � ∞
= �√ �
�
∫
− �
∙
− � − � ∞
= �√ �
�
∫
− � − � +� ∞
=
�
∫
− � − � +�
�√ �
∞
=
�
∫ �√ �
− −�
� ∞
=
�
Jadi, fungsi pembangkit momen distribusi Normal adalah =
�
.
2. Fungsi Pembangkit Momen distribusi Gamma = ∫
∞ −∞
= ∫ �
− −
∞
= ∫ �
− −
∞
= �
∫
− −
∞
= �
∫
− − +
∞
= �
∫
− − −
∞
misalkan = −
= �
∫
− −
∞
= �
[� ]
= Ingat
= − =
−
, maka =
−
= − = − ∙ = −
Jadi, fungsi pembangkit momen distribusi Gamma adalah =
= = − = −
−
.
Teorema 2.3
Sifat-sifat Fungsi Pembangkit Momen 1. Jika adalah variabel random dan adalah sebuah konstanta, maka
= .
2. Jika adalah variabel random dan adalah sebuah konstanta, maka
+
= ∙
. 3. Jika adalah variabel random dan
adalah dua buah konstanta, maka
+
= ∙
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Bukti: 1.
= =
= .
2.
+
=
+
= =
∙ .
3.
�+
=
�+
=
��+ �
=
�� �
=
�
∙ .
Teorema 2.4 Teorema Ketunggalan
Misalkan dan
adalah fungsi pembangkit momen dari variabel acak dan . Jika kedua fungsi pembangkit momen ada dan
= untuk semua nilai dari , maka dan mempunyai distribusi probabilitas yang
sama. Bukti:
Julie, H. 1999. Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi. Pada skripsi tersebut, teorema ketunggalan dibuktikan secara umum dengan
menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu =
�
, dengan
� adalah bilangan kompleks. Perhatikan bahwa fungsi pembangkit momen FPM adalah bentuk khusus dari
fungsi karakteristik, bukti dilakukan dengan menunjukan bahwa bila dan adalah fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama, yaitu
∫
� ∞
−∞
= ∫
�
∀ ∈ ℝ,
∞ −∞
maka =
. Skripsi halaman 54. Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi
pembangkit momen dengan fungsi probabilitas ∎
Teorema 2.5
Misalkan , , … , adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi
pembangkit momen ,
, … ,
�
. Jika =
+ + ⋯ + ,
maka
�
= ×
× … ×
�
. Bukti:
�
=
�
=
+ +⋯+
�
= …
�
= ×
× … ×
�
= ×
× … ×
�
∎
D. Pendugaan Parameter
Pendugaan parameter adalah bidang dari statistika yang berhubungan dengan menduga nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukur atau data
empiris yang memiliki komponen random. Pendugaan parameter adalah suatu metode untuk menduga nilai parameter populasi dengan menggunakan nilai-nilai
dari sampel.
Definisi 2.15
Parameter adalah suatu konstanta yang menggambarkan merupakan karakteristik populasi.
Sebuah keluarga parametrik fungsi densitas adalah kumpulan fungsi densitas yang diindeks oleh suatu kuantitas yang disebut parameter.
Contoh 2.6:
1. Populasi berdistribusi
Normal dengan
fungsi densitasnya
adalah =
� √ �
exp [−
�
− ] , −∞ ∞ memiliki parameter
dan � , dengan merupakan rata-rata populasi dan � merupakan variansi
populasi. 2. Populasi berdistribusi Eksponensial fungsi densitasnya adalah
; =
−
, dengan . Maka untuk setiap ,
; adalah fungsi densitas. Kumpulan dari
; adalah keluarga parametrik dari fungsi densitas.
Definisi 2.16
Penduga estimator adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam suatu rumus yang digunakan untuk menghitung nilai dari pendugaan yang didasarkan atas
pengukuran di dalam sampel.
Penduga dibagi menjadi dua bagian yaitu penduga titik point estimation dan penduga selang interval estimation.
Definisi 2.17
Penduga Titik Point Estimation Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal yang dengan sebaik-baiknya
menduga parameter yang sebenarnya.
Contoh 2.7
Rata-rata sampel yang dinyatakan dalam suatu rumus ̅ = ∑
� �=
merupakan salah satu penduga titik dari rata-rata populasi . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 2.18
Penduga Selang Interval Estimation Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang memiliki peluang yang
besar akan memuat parameter sebenarnya.
E. Selang Kepercayaan