Jadi, selang kepercayaan bagi � dengan koefisien kepercayaan . adalah
. �
. = . .
F. Ukuran Penduga Yang Baik
Penduga yang baik adalah penduga yang mendekati nilai parameter yang sebenarnya. Ciri-ciri penduga yang baik adalah penduga yang tak bias atau
memiliki bias yang sekecil mungkin.
Bias dan Rata-rata Galat dari Penduga Titik Definisi 2.19
Misalkan �̂ adalah penduga titik dari parameter �, maka �̂ adalah penduga tak
bias jika �θ̂ = θ. Jika �θ̂ ≠ θ, maka θ̂ disebut bias.
Definisi 2.20
Bias dari penduga titik �̂ didefinisikan sebagai ��̂ = �̂ − �.
Contoh 2.9
Diberikan , , , … , merupakan sampel random dari populasi memiliki
fungsi densitas sebagai berikut = {θ +
− θ+
, , � − , selainnya
Tentukan penduga yang tak bias bagi �. Apakah ̅ merupakan penduga yang tak
bias bagi �?
Jawab: Akan dicoba ̅ sebagai penduga
�. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
̅ = ∑
� �=
= ∑
� �=
= ∑
�
= � +
= � + . Jadi ̅ bias.
Biasnya dari ̅ adalah 1, maka ̅ = � +
̅ − = �
Jadi, ̅ − adalah penduga tak bias dari �.
Definisi 2.21
Rata-rata Kuadrat Galat Mean Square Error dari penduga titik �̂ adalah
�̂ = [�̂ − � ]. Rata-rata Kuadrat Galat dari sebuah penduga
�̂ adalah fungsi dari variansi dan biasnya.
Teorema 2.6
�̂ = �̂ + [��̂ ] Bukti:
�̂ = [�̂ − � ] = [ �̂ − �̂ + �̂ − � ]
= [ �̂ − �̂ +
�̂ − �̂ �̂ − � + �̂ − � ] = [ �̂ − �̂
] + [ �̂ − �̂ �̂ − � ] + [ �̂ − � ] = �̂ +
[ �̂ − �̂ ��̂ ] + [��̂ ] = �̂ + ��̂ [ �̂ − �̂ ] + [��̂ ]
= �̂ + ��̂ �̂ − [ �̂ ] + [��̂ ] PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
= �̂ + + [��̂ ] = �̂ + [��̂ ]
∎
G. Metode Kuadrat Terkecil
Regresi linear adalah metode statistika yang digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel terikat dependen; dengan satu atau lebih variabel
bebas independen; .
Definisi 2.22
Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai
�
= +
�
+
�
, � = , , , … ,
dengan
�
= pengamatan ke- � variabel dependen
�
= pengamatan ke- � variabel independen = intersep konstanta
= parameter regresi
�
= galat error dari pengamatan ke-� Metode Kuadrat Terkecil Least Square Method merupakan salah satu
metode yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter model regresi. Misalkan
�
,
�
pasangan sampel random berukuran
pengamatan dari suatu populasi, berdasarkan definisi 2.22 maka persamaan garis
regresinya adalah
�
= +
�
+
�
. Metode Kuadrat Terkecil bertujuan untuk menentukan penduga dari
dan , yaitu ̂ dan ̂. Dengan asumsi
�
= persamaan regresi akan diduga dengan
�
̂ = ̂ + ̂
�
. Tujuan dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menemukan dari
dan yang
meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat Sum of Square Error;SSE. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 2.23
Jumlah Kuadrat Galat Sum of Square Error;SSE didefinisikan sebagai berikut = ∑
�
−
�
̂ = ∑[
�
− ̂ + ̂
�
] .
�= �=
Jumlah Kuadrat Galat SSE akan memiliki nilai minimum jika nilai ̂ dan ̂ memenuhi persamaan
���� � ̂
= dan
���� � ̂
= . Dengan menggunakan turunan parsial terhadap ̂ dan ̂, maka diperoleh
� �̂
= � ∑ [
�
− ̂ + ̂
�
]
�=
�̂ =
= − ∑ [
�
− ̂ + ̂
�
]
�=
=
= − ∑
�
− ∑ ̂ + ̂
� �=
�=
=
= ∑
�
− ̂ − ̂ ∑
� �=
�=
=
∑
�
= ̂ + ̂ ∑
� �=
�=
. dan
� �̂
= � ∑ [
�
− ̂ + ̂
�
]
�=
�̂ =
= − ∑ [
�
− ̂ + ̂
�
]
� �=
= = − ∑
� �
− ̂ ∑
� �=
− ̂ ∑
� �=
�=
= = ∑
� �
− ̂ ∑
� �=
− ̂ ∑
� �=
�=
= ∑
� �
= ̂ ∑
� �=
+ ̂ ∑
� �=
�=
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Persamaan
. dan . dapat diselesaikan dengan metode Eliminasi maka
akan diperoleh ̂ dan ̂ sebagai berikut ̂ =
∑
� �=
�
− ∑
� �=
∑
� �=
∑
� �=
− ∑
� �=
= ∑
�
− ̅
�= �
− ̅ ∑
�
− ̅
�=
.
̂ = − ∑
� �=
�
∑
� �=
+ ∑
� �=
∑
� �=
∑
� �=
− ∑
� �=
= ∑
� �=
∑
� �=
− ∑
� �=
�
∑
� �=
∑
� �=
− ∑
� �=
= ∑
� �=
∑
� �=
− ∑
� �=
− ∑
� �=
�
− ∑
�
∑
� �=
�=
∑
� �=
∑
� �=
− ∑
� �=
= ∑
� �=
∑
� �=
− ∑
�
∑
� �=
�=
− ∑
� �=
�
∑
�
+ ∑
�
∑
� �=
�= �=
∑
� �=
− ∑
� �=
= ∑
� �=
− ∑
� �=
�
− ∑
� �=
∑
� �=
∑
� �=
− ∑
� �=
∑
� �=
= ̅ − ̂ ̅ . Penduga ̂ dan ̂ pada persamaan
. dan . adalah penduga yang memiliki jumlah kuadrat galat yang paling minimum, maka ̂ dan ̂ adalah titik
minimum.
Contoh 2.10
Tentukan koefisien dari garis
lurus dengan model
�
̂ = ̂ + ̂
�
untuk =
titik data yang diberikan dalam tabel di bawah ini dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil.
Tabel 2.1 Data Contoh 2.10 No
Roe
�
Gaji
�
1 14.1
1095 2
10.9 1001
3 23.5
1122 4
5.9 578
5 13.8
1368 6
20.0 1145
7 16.4
1078 8
16.3 1094
9 10.5
1237 10
26.3 833
11 25.9
567 12
26.8 933
13 14.8
1339 14
22.3 937
15 56.3
2011 Sumber data: Wooldridge, Jeffrey M. 2009. Introduction Econometrics 4
th
Edition. South-Western: Cengage Learning. Halaman: 37.
Jawab: Dengan menggunakan persamaan kuadrat terkecil yang dimiliki, maka diperoleh
hasil ̂ =
∑
� �=
�
− ∑
� �=
∑
� �=
∑
� �=
− ∑
� �=
= . −
. . −
. =
. ̂ = ̅ − ̂ ̅ =
. − .
∗ . =
. Jadi, penyelesaiannya adalah
̂ = .
+ . .
Gambar 2.4 Grafik penduga Kuadrat Terkecil
Penyelesaian contoh 2.10 dan Grafik diproduksi dengan program R dapat
dilihat pada lampiran A.3.
H. Metode Kemungkinan Maksimum
Kategori