Definisi 2.18
Penduga Selang Interval Estimation Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang memiliki peluang yang
besar akan memuat parameter sebenarnya.
E. Selang Kepercayaan
Penduga selang adalah metode yang digunakan untuk menghitung 2 nilai yang akan membentuk titik-titik batas interval. Idealnya hasil dari interval akan
memiliki 2 sifat. Pertama ia akan memuat parameter �, kedua, intervalnya akan
relatif sempit. Kedua titik batas dari interval merupakan fungsi dari pengukuran sampel yang akan bervariasi secara acak dari sampel yang satu dengan sampel
yang lain. Jadi, panjang dan letak dari interval bersifat random. Kita tidak dapat secara pasti mengetahui letak dari parameter
�, tapi kita tahu bahwa letaknya di dalam selang tersebut. Jadi tujuan kita adalah ingin menentukan interval yang
relatif sempit tetapi mempunyai peluang yang besar untuk memuat parameter �.
Penduga selang sering disebut dengan Selang Kepercayaan Confidence Interval. Titik batas atas dan titik batas bawah dari selang kepercayaan disebut
juga batas atas dan batas bawah kepercayaan. Peluang bahwa selang kepercayaan akan memuat parameter
� disebut koefisien kepercayaan. Dari sudut pandang praktis, koefisien kepercayaan mengidentifikasi berapakah
� dalam sampling berulang, selang yang terbentuk akan memuat parameter
� yang menjadi sasaran. Contoh, misal koefisien kepercayannya 95 , artinya jika ada sampling sebanyak
100 kali maka 95 selang yang terbentuk akan memuat �. Jika diketahui bahwa
koefisien kepercayaan yang terkait dengan penduga itu tinggi, maka dapat dipercaya bahwa setiap selang kepercayaan yang dibangun dengan menggunakan
hasil dari sampel tunggal akan memuat parameter �.
Misalkan �̂
�
dan �̂
�
secara berturut-turut merupakan batas atas dan batas bawah selang kepercayaan random untuk parameter
�. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Maka, jika �̂
�
� �̂
�
= − , peluang − adalah koefisien
kepercayaan. Interval random yang didefinisikan dengan [�̂
�
, �̂
�
] disebut selang kepercayaan dua sisi.
Memungkinkan juga untuk membentuk selang kepercayaan satu sisi batas bawah yaitu
�̂
�
� = − , selang kepercayaannya adalah
[�̂
�
, ∞ . Dengan cara yang sama, dapat dibentuk selang kepercayaan satu sisi batas atas yaitu
� �̂
�
= − , selang kepercayaannya adalah
−∞, �̂
�
]. Metode yang sering digunakan untuk mencari selang kepercayaan disebut
metode Pivot. Metode Pivot bergantung pada suatu nilai yang disebut kuantitas Pivot. Kuantitas Pivot memiliki 2 ciri:
1. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter �, dengan � adalah
kuantitas yang tidak diketahui. 2. Distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot tidak bergantung pada parameter
�. Jika distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot diketahui, maka logika berikut
dapat digunakan untuk bentuk penduga selang. Jika merupakan variabel random,
adalah konstan, dan = . ; maka jelas bahwa
= . . Dengan cara yang sama untuk setiap konstan , +
+ +
= . . Peluang kejadian tidak
dipengaruhi dengan perubahan skala atau translasi dari .
Contoh 2.8
Diberikan suatu populasi, dengan variabel random Y, memiliki distribusi
Eksponensial dengan mean θ. Dengan menggunakan , buatlah selang
kepercayaan bagi � dengan koefisien kepercayaan 0.90.
Jawab: Fungsi densitas untuk
Y adalah sebagai berikut = {θ
−θ
, , selainnya
Dengan menggunakan metode Pivot, akan ditunjukkan bahwa U =
θ
memenuhi syarat sebagai kuantitas Pivot.
� =
= θ = θ = � θ .
� y = ∫
−∞
= ∫ θ
−∞ −θ
= −
−θ
. Dari
. dan . diperoleh � θ = −
− � θ
= −
−θ
f = �
′
= �
′
θ =
−
U =
θ
adalah kuantitas Pivot, karena 1.
U merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter � yang tidak diketahui.
2. f
tidak bergantung pada �.
Karena akan dibuat penduga selang dengan koefisien kepercayaan sama dengan 0.90, akan dicari dan untuk
= . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 2. 3 Kurva Distribusi Eksponensial dengan
= . = ∫
−
= . dan = ∫
− ∞
= . Maka,
−
−
= .
−
= .
−
= − .
−
= ln .
−
= . − = − .
ln
−
= ln . = .
− = − . = .
Diperoleh = .
dan = .
sehingga = .
menjadi .
. = .
. �
. = .
. �
. = .
. �
. = .
. �
. = .
0.05
0.05 0.90
a b
Jadi, selang kepercayaan bagi � dengan koefisien kepercayaan . adalah
. �
. = . .
F. Ukuran Penduga Yang Baik
