B. Karakteristik Distribusi Rayleigh Satu Parameter
Karakteristik distribusi Rayleigh dicirikan dengan adanya konstanta rata-rata mean dan variansi.
a. Rata-rata Mean
Berdasarkan definisi 2.6,
= ∫ .
∞ −∞
= lim
→∞
∫
−
= lim
→∞
∫ .
−
= [ ∫
−
] − lim
→∞
∫
−
= [ − − lim
→∞
∫
−
] = − lim
→∞
∫
−
= √ �
√ � lim
→∞
∫
−
Dengan mengingat contoh 2.2 bahwa ∫
� √ � −
�−� �
= ,
∞ −∞
atau
� √ �
∫
−
�−� �
=
� √ �
� √ � = ,
∞ −∞
maka ∫
−
�
∞
akan memiliki penyelesaian
√ �
, sehingga =
√ � √ �
. √ �
= √ �
= √ �
. Jadi, rata-rata distribusi Rayleigh adalah
= √
�
, dengan � = , .
b. Variansi
Berdasarkan teorema 2.1,
= − [
] , diketahui
= √
�
, maka untuk mencari akan dihitung terlebih dahulu
= ∫ .
∞ −∞
= lim
→∞
∫
−
= lim
→∞
∫
−
− lim
→∞
∫
−
=
−
|
∞
− lim
→∞
∫
−
= − − lim
→∞
∫
−
= −
−
|
∞
= − − =
sehingga diperoleh =
− [ ] =
− √
� =
− �
= −
� .
Jadi, variansi distribusi Rayleigh adalah =
−
�
, dengan � = , . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
C. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil
Pendugaan parameter distribusi Rayleigh yaitu menduga parameter skala , pendugaan parameter dapat dilakukan dengan berbagai metode, salah satunya
adalah Metode Kuadrat Terkecil. Metode Kuadrat Terkecil adalah metode untuk menduga parameter dari sebuah model linear.
Diketahui fungsi kumulatif distribusi Rayleigh adalah = − exp −
. Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh merupakan fungsi
nonlinear. Agar Metode Kuadrat Terkecil dapat digunakan untuk menduga parameter distribusi Rayleigh maka persamaan tersebut harus diubah menjadi
persamaan linear dengan menggunakan transformasi logaritma sebagai berikut
�
= − exp −
exp − = −
�
ln exp − = ln −
�
− = ln −
�
= − ∙ ln −
�
�
= √− ∙ ln −
�
. . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Persamaan 3.1 tersebut dapat diubah menjadi persamaan
�
= +
�
dengan
�
=
�
, = ,
= , dan
�
= √− ∙ ln −
�
, dengan � = , , … , .
Dalam skripsi ini penulis hanya menduga satu parameter saja maka berdasarkan
persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 yaitu
∑
�
= ̂ + ̂ ∑
� �=
�=
∑
� �
= ̂ ∑
� �=
+ ̂ ∑
� �=
�=
dan diketahui untuk β̂ yang merupakan penduga dari β = maka β̂ tidak akan
dihitung, sehingga diperoleh persamaan berikut ∑
� �
= ∑
� �=
+ ̂ ∑
� �=
�=
∑
� �
= + ̂ ∑
� �=
�=
̂ = ∑
� � �=
∑
� �=
.
Karena ̂ merupakan penduga dari = , maka ̂ = ̂ kemudian nilai
�
=
�
, = ,
= , dan
�
= √− ∙ ln −
�
disubstitusikan ke persamaan .
̂ = ∑
√− ∙ ln −
� �=
�
∑ √− ∙ ln −
� �=
= ∑
√− ∙ ln −
� �=
�
∑ − ∙ ln −
� �=
.
�
pada persamaan . tidak diketahui maka akan diduga dengan ̂
�
. Karena
−
�
maka
�
dengan demikian
�
diduga dengan ̂
�
=
� +
, bukan dengan ∑
� �=
sebagaimana definisi 2.26.
D. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum