= � √ �
∫ −
− � − ∞
−∞
Misalkan = − ,
= , = + ,
= � √ �
∫
− � ∞
−∞
Misal = ,
= ,
=
−
�
, = −�
−
�
= � √ �
| −�
− �
|
∞
− � √ �
∫ −�
− � ∞
−∞
= + � . = � .
Jadi, variansi dari distribusi Normal adalah
= � .
B. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya
Definisi 2.8
Fungsi Gamma didefinisikan sebagai �
= ∫
− −
∞
Fungsi Gamma adalah salah satu fungsi yang penting dalam statistika karena dapat digunakan untuk menyelesaikan integral yang rumit dalam mencari fungsi
pembangkit momen, variansi, rata-rata dan momen.
Teorema 2.2
Fungsi Gamma memiliki sifat 1.
� =
− � − untuk setiap Bukti:
Berdasarkan definisi 2.8
� = ∫
− −
∞
, misalkan
=
−
maka =
−
−
dan =
−
maka = −
−
� =
− ∫
∞
= lim
→∞
[−
− −
] − ∫ − −
− −
∞
= lim
→∞
[−
− −
] + −
∫
− −
∞
= lim
→∞
[−
− −
] + −
∫
− − −
∞
= lim
→∞ −
+ − � −
= − lim
→∞
[ exp
− ln
] + − � −
= − lim
→∞
[exp −
ln − ] + − � −
= − lim
→∞
{exp [ − ln
− ]} + − � −
= − � − .
2. �
= − Dengan bilangan bulat positif.
Bukti: Berdasarkan sifat Gamma
� =
− � − , sehingga diperoleh
� =
− � − =
− − � −
= −
− − � −
= −
− −
− …
� .
Berdasarkan definisi 2.8 maka diperoleh
� = ∫
− −
∞
= lim
→∞
∫
−
= lim
→∞
[−
−
] =
Persamaan . menjadi
� =
− −
− −
… �
= − .
3. �
= √� Bukti:
Akan dibuktikan bahwa �
= √�
Berdasarkan definisi 2.8
� = ∫
− −
,
∞
misalkan = ,
= �
= ∫
− −
∞
= ∫
− −
∞
= ∫
− −
∞
ketika − = maka = ,
sehingga diperoleh � = ∫
− ∞
[� ] = [� ] [� ] =
∫
− ∞
∫
− ∞
= ∫ ∫
− + ∞
∞
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Integral tersebut dapat diselesaikan dengan mengubah integral kartesius menjadi integral polar. Misalkan
= cos �, = sin � maka +
= � +
� � =
� + � � =
[� ] = ∫ ∫
− �
∞
= ∫ ∫
− �
∞
= ∫ �
�
∫
− ∞
misalkan = ,
= =
� − lim
→∞
∫
−
= −� lim
→∞
[−
−
] = −� −
= �.
Definisi 2.9
Sebuah variabel random dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter dan
jika dan hanya jika fungsi densitas adalah
= {
− −
� , , ,
, selainnya dengan
� = ∫
− −
∞
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 2. 1 Grafik Distribusi Gamma
Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.1
Definisi 2.10
Misal adalah sebuah bilangan bulat positif. Sebuah variabel random dikatakan berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas jika dan hanya jika merupakan
variabel random yang berdistribusi Gamma dengan parameter = dan = .
Fungsi densitasnya adalah =
{
− −
� ,
, selainnya
5 10
15 0.0
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5
x f
x
5 10
15 0.0
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5
x f
x
5 10
15 0.0
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5
x f
x
5 10
15 0.0
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5
x f
x
5 10
15 0.0
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5
x f
x
5 10
15 0.0
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5
x f
x
5 10
15 0.0
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5
x f
x ß=1,a=2
ß=2,a=2 ß=3,a=2
ß=5,a=1 ß=9,a=0.5
ß=7.5,a=1 ß=0.5,a=1
Gambar 2. 2 Grafik Distribusi Chi-Square
Grafik diatas diproduksi dengan program R pada lampiran A.2
C. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen
