Untuk setiap dengan adalah fungsi distribusi kumulatif yang diketahui,
dan :
≠ Jika
yang diberikan oleh tabel Kolmogorov-Smirnov, maka ditolak pada tingkat signifikansi .
adalah nilai kritis Kolmogorov-Smirnov pada tingkat dan ukuran sampel . Tabel
dapat dilihat pada lampiran A.4.
J. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov
Uji Kolmogorov-Smirnov dapat juga digunakan untuk menguji apakah data berdistribusi Rayleigh atau tidak. Uji distribusi Rayleigh dengan Kolmogorov-
Smirnov dilakukan setelah pendugaan parameter distribusi Rayleigh. Langkah-langkah uji Kolmogorov-Smirnov untuk distribusi Rayleigh adalah
sebagai berikut 1.
= data berdistribusi Rayleigh 2.
= data tidak berdistribusi Rayleigh 3. Tentukan tingkat signifikansi
4. Statistik Uji: = max
+
,
−
5. Wilayah kritis ditolak jika
6. a Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar b Hitunglah
berdasarkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh
c Berdasarkan definisi 2.26 hitunglah fungsi distribusi empiris d Berdasarkan definisi 2.27 hitunglah nilai
+
dan
−
dan tentukan maksimum dari
= max
+
,
−
7. Kesimpulan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh 2.13
Ujilah apakah data berikut berdistribusi Rayleigh dengan parameter skala =
Tabel 2.2 Data Contoh 2.13 No
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
�
2 0.2
1 1.8
2.7 5
3.6 1.4
4.7 1.5
No 11
12 13
14 15
16 17
18 19
20
�
4.2 3
2.1 2.4
3.1 4
2.8 3.2
4.1 2.6
Jawab: 1.
= data berdistribusi Rayleigh dengan parameter skala =
2. = data tidak berdistribusi Rayleigh
3. Tingkat signifikansi = .
4. Statistik Uji: = max
+
,
−
5. Wilayah kritis ditolak jika
= . 6. a Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar
b Akan dihitung berdasarkan definisi fungsi distribusi kumulatif dari
distribusi Rayleigh, yaitu
= − exp −
c Akan dihitung fungsi distribusi empiris berdasarkan definisi 2.26
d Akan dihitung nilai
+
dan
−
berdasarkan definisi 2.27 dan menentukan
maksimum dari = max
+
,
−
Tabel 2.3 Perhitungan Uji Kolmogorov Contoh 2.13
�
� �
� −
� +
−
1 0.20
0.0050 0.0500
0.0000 0.0450
0.0050 2
1.00 0.1175
0.1000 0.0500
-0.0175 0.0675
3 1.40
0.2173 0.1500
0.1000 -0.0673
0.1173 4
1.50 0.2452
0.2000 0.1500
-0.0452 0.0952
5 1.80
0.3330 0.2500
0.2000 -0.0830
0.1330 6
2.00 0.3935
0.3000 0.2500
-0.0935 0.1435
7 2.10
0.4238 0.3500
0.3000 -.0.0738
0.1238 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8 2.40
0.5132 0.4000
0.3500 -0.1132
0.1632 9
2.60 0.5704
0.4500 0.4000
-0.1204 0.1704
10 2.70
0.5980 0.5000
0.4500 -0.0980
0.1480 11
2.80 0.6247
0.5500 0.5000
-0.0747 0.1247
12 3.00
0.6753 0.6000
0.5500 -0.0753
0.1253 13
3.10 0.6992
0.6500 0.6000
-0.0492 0.0992
14 3.20
0.7220 0.7000
0.6500 -0.0220
0.0720 15
3.60 0.8021
0.7500 0.7000
-0.0521 0.1021
16 4.00
0.8647 0.8000
0.7500 -0.0647
0.1147 17
4.10 0.8777
0.8500 0.8000
-0.0277 0.0777
18 4.20
0.8897 0.9000
0.8500 0.0103
0.397 19
4.70 0.9368
0.9500 0.9000
0.0132 0.0368
20 5.00
0.9561 1.000
0.9500 0.0439
0.0061
Maksimum 0.0450
0.1704
Gambar 2.5 Grafik
�
dan
�
Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.5. 7. Kesimpulan
diterima sebab = . .
= . , maka data di atas
berdistribusi Rayleigh dengan parameter skala = .
1 2
3 4
5 .0
.2 .4
.6 .8
Xi F
F0xi Fnxi
= max
+
,
−
= . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE
KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM A. Distribusi Rayleigh
Definisi 3.1
Variabel random dikatakan mempunyai distribusi Rayleigh dengan satu
parameter bila fungsi probabilitasnya ; = {
−
, ,
, selainnya dengan adalah parameter skala scale parameter.
Berdasarkan definisi 2.4, akan ditunjukkan bahwa fungsi probabilitas distribusi
Rayleigh merupakan fungsi densitas. 1
, ,untuk setiap ∈
Jelas bahwa untuk setiap ∈ .
2 ∫
,
∞ −∞
= Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa
∫
∞ −∞
= Misalkan
= maka
= ∫
∞
= ∫
− ∞
= lim
→∞
∫
−
= lim
→∞
−
−
| = lim
→∞
−
−
+ = .
Terbukti bahwa adalah fungsi densitas.
Grafik fungsi probabilitas distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut
Gambar 3.1 Grafik fungsi distribusi Rayleigh dengan nilai
= . , . , , . , , .
Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.6
Definisi 3.3
Jika diketahui bahwa fungsi probabilitas dari distribusi Rayleigh seperti yang
diberikan pada definisi 3.2, maka fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh dapat ditentukan. Berdasarkan definisi 2.5 maka diperoleh
= ∫ = ∫
−
Misalkan =
maka =
2 4
6 8
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
1.2 1.4
x f
x
2 4
6 8
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
1.2 1.4
x f
x
2 4
6 8
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
1.2 1.4
x f
x
2 4
6 8
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
1.2 1.4
x f
x
2 4
6 8
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
1.2 1.4
x f
x
2 4
6 8
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
1.2 1.4
x f
x b=0.5
b=0.8 b=1
b=1.5 b=2
b=3
= ∫
−
= ∫
−
= ∫ exp − = −exp − |
= −exp − |
= − exp − .
Jadi fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh adalah
− exp − .
Gambar 3.2 Grafik fungsi distribusi kumulatif distribusi Rayleigh
Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.7
2 4
6 8
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
x F
x
2 4
6 8
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
x F
x
2 4
6 8
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
x F
x
2 4
6 8
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
x F
x
2 4
6 8
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
x F
x
2 4
6 8
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
x F
x
b=0.5 b=0.8
b=1 b=1.5
b=2 b=3
B. Karakteristik Distribusi Rayleigh Satu Parameter
