̂ = ∑
√− ∙ ln −
� �=
�
∑ √− ∙ ln −
� �=
= ∑
√− ∙ ln −
� �=
�
∑ − ∙ ln −
� �=
.
�
pada persamaan . tidak diketahui maka akan diduga dengan ̂
�
. Karena
−
�
maka
�
dengan demikian
�
diduga dengan ̂
�
=
� +
, bukan dengan ∑
� �=
sebagaimana definisi 2.26.
D. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum
Metode Kemungkinan Maksimum merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menduga paramater. Prinsip dasar metode ini adalah menentukan
penduga parameter �̂, yang memaksimumkan fungsi likelihood. Pendugaan
parameter distribusi Rayleigh adalah menduga parameter skala . Menurut definisi 3.2
, fungsi distribusi probabilitas distribusi Rayleigh satu parameter adalah ; = {
−
, ,
, selainnya
Menurut definisi 2.24, fungsi likelihood adalah
|� = ∏
�
; �
�=
Oleh karena itu, fungsi likelihood untuk distribusi Rayleigh adalah , , . . . ,
| = ∏
�
;
�=
Untuk selanjutnya , , . . . ,
| akan ditulis dengan . Misalkan
, , . . . , merupakan sampel random dari observasi dari populasi Rayleigh, maka fungsi kemungkinan maksimum untuk sampel tersebut yaitu
= ∏
� �=
−
�
= ∏
� �=
− ∑
�
=
− ∑
�
∏
� �=
. Penduga parameter ̂ dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log-
likelihood-nya. Untuk menduga akan dilakukan pendugaan terhadap terlebih
dahulu, yaitu ̂ . Hal tersebut dapat diperoleh dengan mencari turunan parsial
pertama dari fungsi log-likelihood-nya. Sebelum dicari turunan parsial pertamanya, gunakan logaritma pada kedua ruas agar persamaan
. tersebut menjadi persamaan linear
ln = ln
− ∑
�
∏
� �=
ln = −ln + ln
− ∑
�
+ ln ∏
� �=
ln = − ln + − ∑
�
+ ∑
� �=
ln = − ln − ∑
�
+ ∑
� �=
.
Setelah diperoleh persamaan linearnya, kemudian persamaan 3.4 akan dicari
turunan parsial pertamanya terhadap dan nilai dari turunannya disama dengankan
nol, maka akan diperoleh ln
= − ln −
∑
�
+ ∑
� �=
=
= − ln
+ −
∑
�
+ ∑
� �=
=
= − +
∑
�
= . Persamaan 3.5 tersebut mempunyai penyelesaian
− +
∑
�
= =
∑
�
= ∑
�
̂ = ∑
�
. Karena ̂ merupakan penduga dari ̂
=
∑
�
, maka penduga bagi adalah ̂ = √
∑
�
.
E. Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Rayleigh
Akan dicari fungsi pembangkit momen dari distribusi Rayleigh karena akan berguna untuk mencari fungsi densitas dari ̂. Berdasarkan definisi 2.13, maka
diperoleh = ∫
∞ −∞
= ∫
− ∞
−∞
= lim
→∞
∫
−
= lim
→∞
∫
−
= lim
→∞
∫
− +
= lim
→∞
∫
− −
Misalkan =
− PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
= lim
→∞
∫
−
Misalkan = , = √ ,
= ,
= =
√
= lim
→∞
∫ √
−
√ =
lim
→∞
∫
−
= �
= Ingat
= − =
−
, sehingga, =
−
. =
− =
− ∙
= −
= −
−
Jadi, fungsi pembangkit momen dari distribusi Rayleigh adalah =
−
−
.
Teorema 3.1
Distribusi probabilitas atau fungsi densitas dari ̂ adalah sebagai berikut
̂ = {
̂
− − ̂
̂
̂ −
Bukti: Akan dicari fungsi pembangkit moment dari ̂
=
∑
�
. Terlebih dahulu akan dicari fungsi pembangkit momen dari
∑
� �=
, dengan
�
merupakan sampel random dari distribusi Rayleigh. Jika
�
diasumsikan independen, maka
∑
�
dapat dicari berdasarkan teorema 2.4 yaitu fungsi pembangkit momen dari PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
jumlahan variabel random yang independen sama dengan perkalian fungsi pembangit momen dari masing-masing suku jumlah,
�
= ×
× … ×
�
. Dari persamaan
. diketahui fungsi pembangkit momen dari
�
yang merupakan sampel random distribusi Rayleigh yaitu
= −
−
maka
∑
�
= ×
× … ×
�
= −
−
× −
−
× … × −
−
= −
�
−
Dengan menggunakan teorema 2.3 sifat 1 dari fungsi pembangkit momen, yaitu
�
=
�
dengan merupakan fungsi dari dan adalah sebuah konstanta, akhirnya
diperoleh fungsi pembangkit momen dari ̂ =
∑
�
sebagai berikut
̂
=
∑
�
=
∑
�
= −
−
Berdasarkan fungsi pembangkit momen dari ̂ di atas dapat diidentifikasi bahwa
itu adalah fungsi pembangkit momen dari distribusi Gamma dengan nilai tertentu. Akan dicari nilai tertentu dari distribusi Gamma yang akan menghasilkan fungsi
pembangkit momen yang identik dengan fungsi pembangkit momen dari ̂.
Pertama berdasarkan definisi 2.9 fungsi densitas dari distribusi Gamma adalah
= {
− −
� PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Pada parameter dan akan dikenakan suatu nilai, misal = dan =
dengan adalah ukuran sampel dan adalah parameter distribusi Rayleigh.
Sehingga, distribusi Gamma akan menjadi
= {
− −
�
Berdasarkan teorema 2.2 sifat ke-2 bahwa fungsi Gamma memiliki sifat �
= �
= − dengan selalu bilangan bulat positif, maka diperoleh
= {
− −
−
Kemudian akan dicari fungsi pembangkit momen dari sebagai berikut
= ∫
− −
−
−
∞
= ∫
− −
−
−
∞
= ∫
− −
−
−
∞
= ∫
− −
− −
−
∞
dengan memisalkan =
− , maka diperoleh
= ∫
− −
−
−
∞
= �
−
� PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
=
−
= Ingat bahwa
= −
=
−
maka =
−
= −
= −
∙ =
− ∙
= −
= −
= −
−
Jadi, =
= −
−
. Telah ditujukkan bahwa persamaan
. yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi Gamma dengan nilai
= dan = identik dengan fungsi pembangkit momen dari ̂. Oleh karena itu, menurut Teorema 2.3
Teorema Ketunggalan dapat disimpulkan bahwa fungsi densitas dari ̂ adalah fungsi densitas Gamma dengan
= dan = . Jadi, fungsi densitas dari ̂ adalah
̂ = {
̂
− − ̂
̂
̂ −
∎ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Pendugaan Selang Distribusi Rayleigh
Pendugaan selang atau selang kepercayaan distribusi Rayleigh adalah
menduga selang kepercayaan terhadap parameter , menduga selang kepercayaan
rata-rata dan variansi distribusi Rayleigh. Metode yang sering digunakan untuk mencari selang kepercayaan adalah Metode Pivot. Metode Pivot bergantung pada
suatu nilai yang disebut kuantitas Pivot. Kuantitas Pivot memiliki 2 ciri: 1. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter , dengan
adalah kuantitas yang tidak diketahui.
2. Distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot tidak bergantung pada parameter .
Karena Metode Pivot bergantung pada kuantitas Pivot maka dipilih variabel random
=
̂
dengan =
sebagai kuantitas Pivot. Untuk memenuhi ciri kuantitas Pivot yang kedua maka akan dicari terlebih dahulu distribusi probabilitas
dari kuantitas Pivot. Berdasarkan teorema 3.1 diketahui bahwa fungsi densitas dari ̂ adalah sebagai
berikut
̂ = {
̂
− − ̂
̂
̂ −
Telah dipilih variabel random =
̂
, dengan =
.
= {
−
� Fungsi diatas berdasarkan definisi 2.10 dikenal sebagai distribusi
Chi-Square dengan derajat bebas . Oleh karena itu,
= [
̂
] = ;
, dengan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
adalah derajat bebas. Karena variabel random =
̂
merupakan kuantitas Pivot akan ditunjukan bahwa memenuhi 2 syarat kuantitas Pivot yaitu
1. merupakan fungsi dari pengukuran sampel melalui ̂ dan parameter yang tidak diketahui.
2. f
tidak bergantung pada Jadi, memenuhi 2 syarat kuantitas Pivot. Kemudian akan diproses untuk
memperoleh selang kepercayaan.
Selang Kepercayaan terhadap parameter �
Untuk membentuk selang kepercayaan terhadap parameter , terlebih dahulu akan dibentuk selang kepercayaan terhadap parameter
. Karena distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot diketahui yaitu distribusi
Chi-Square dengan derajat bebas
, maka selang kepercayaan Chi-Square dapat digunakan untuk
membentuk selang kepercayaan terhadap parameter .
Misalkan tingkat signifikansi sebesar − = . , maka selang kepercayaan
bagi akan ditentukan sebagai berikut
�r [ .
; ̂
. ;
] = .
�r [ ̂
. ;
̂ .
; ] = .
Karena ̂ =
∑
�
=
∑
�
, kemudian diperoleh �r [
∑
�
. ;
∑
�
. ;
] = . Untuk bentuk umum dari setiap tingkat signifikansi diperoleh
�r [
∑
�
+ −
; ∑
�
− −
; ]
= − PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jadi, selang kepercayaan terhadap parameter untuk bentuk umum dari setiap signifikansi adalah
�r [
√ ∑
�
+ ;
√ ∑
�
; ]
= − .
Selang Kepercayaan terhadap rata-rata dan variansi distribusi Rayleigh
Diketahui bahwa rata-rata distribusi Rayleigh misalkan adalah = √
�
dan variansi adalah
� = −
�
. Dengan menggunakan selang kepercayaan terhadap parameter
untuk bentuk umum dari setiap signifikansi , hal ini memungkinkan untuk mendapatkan selang kepercayaan bagi rata-rata
= √
�
, yaitu
�r [
� ∑
�
[ + ; ]
⁄
� ∑
�
[ ; ]
⁄
] = −
dan variansi � =
−
�
�r [ − � ∑
�
+ ;
� − � ∑
�
; ] = −
Jadi diperoleh selang kepercayaan bagi , rata-rata
, dan variansi � , yang
merupakan parameter dasar dari distribusi Rayleigh. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
BAB IV PENERAPAN PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEGH
Pada Bab IV ini akan dibahas pendugaan parameter distribusi Rayleigh pada kasus data tinggi gelombang laut. Data yang digunakan dalam pendugaan parameter
distribusi Rayleigh adalah data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan. Data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas
Pantai P.Kalukalukuang dikutip dari “Pengolahan Data Angin dan Pasang Surut” Laporan Tugas Akhir Kl-4020 Desain Dermaga General Cargo dan Trestle Tipe
Deck On Pile di Pulau Kalukalukuang Provinsi Sulawesi Selatan.
A. Penerapan pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil
