Distribusi Probabilitas Pendugaan parameter distribusi rayleigh dengan metode kuadrat terkecil dan metode kemungkinan maksimum

6 BAB II LANDASAN TEORI Dalam proses pembuatan skripsi ini diperlukan beberapa konsep dan teori yang mendukung dalam ilmu statistika. Berikut akan dijelaskan beberapa teori yang berkaitan dengan pendugaan parameter, antara lain distribusi probabilitas, distribusi Gamma dan sifat-sifatnya, momen dan fungsi pembangkit momen, pendugaan parameter, selang kepercayaan dan sebagainya.

A. Distribusi Probabilitas

Distribusi probabilitas berkaitan erat dengan variabel random, jenis distribusi probabilitas, fungsi distribusi kumulatif dan karakteristik distribusi probabilitas yang akan dijelaskan pada subbab ini. 1. Variabel Random Definisi 2.1 Variabel random adalah fungsi yang bernilai real yang domainnya adalah ruang sampel. Huruf kapital, misalnya , adalah notasi untuk variabel random dan huruf kecil , menyatakan nilainya. Definisi 2.2 Variabel dikatakan diskrit jika nilai-nilainya berhingga atau tak berhingga terbilang. Jika tidak memenuhi hal tersebut maka variabel acak dikatakan kontinu. Contoh: a. Banyaknya mahasiswa matematika setiap tahun mulai dari tahun 2010. b. Banyaknya kecelakaan mobil di Kabupaten Magelang setiap bulan selama satu tahun. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2. Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas dibagi atas dua macam, yaitu distribusi probabilitas diskrit yang dilambangkan dengan dan distribusi probabilitas kontinu fungsi densitas yang dilambangkan dengan . a. Distribusi Probabilitas Diskrit Definisi 2.3 Himpunan pasangan terurut , adalah distribusi probabilitas dari variabel random diskrit jika 1 untuk setiap 2 ∑ = Contoh 2.1 Distribusi Geometrik = − − , = , , , . . . Akan ditunjukkan bahwa distribusi Geometrik memenuhi definisi 2.3 1 Diketahui = − − untuk = , , , .. maka diperoleh positif untuk setiap . Jadi terbukti untuk setiap . 2 Jumlah deret tak hingga suatu deret geometri dengan merupakan suku pertama dan merupakan rasio antar suku adalah ∞ = − . Dengan menggunakan jumlah deret tak hingga dari deret geometri ∞ = − maka diperoleh = dan = − sehingga ∑ = − − = . b. Distribusi Probabilitas Kontinu Dalam beberapa literatur istilah distribusi probabilitas kontinu disebut juga fungsi densitas density function. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Definisi 2.4 Fungsi adalah distribusi probabilitas untuk variabel random kontinu , jika 1 ,untuk setiap ∈ 2 ∫ ∞ −∞ = Contoh 2.2 a Distribusi Normal = � √ � exp [− � − ] , −∞ ∞ Akan ditunjukkan bahwa distribusi Normal memenuhi definisi 2.4 1 Untuk setiap ∈ , terbukti bahwa . 2 ∫ � √ � exp [− � − ] = ∞ −∞ ∫ � √ � − �−� � = . ∞ −∞ Misalkan = − � , = � , � = , misalkan = ∫ � √ � − � ∞ −∞ = ∫ √ � − ∞ −∞ ∫ √ � − ∞ −∞ = � ∬ − + ∞ −∞ � �, ∞ = �, = � � = �∫ ∫ − �+ � � |�| � ∞ � |�| = | � �� � � � �� � � | = |− � � cos � cos � sin �| = | − � � sin � − cos � cos � | PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI = |− � � − �| = |− | | � � + �| = = �∫ ∫ − �+ � � � ∞ � = � ∫ ∫ − � ∞ � Misal = , = , = = �∫ [∫ − ∞ ] � � = �∫ � |− − | ∞ � = � ∫ − − � � = �∫ − − � � = �∫ � = �|�| � � = � � − = Jadi, = → = ∫ � √ � − � ∞ −∞ = . b Distribusi Eksponensial = − , , Akan ditunjukkan bahwa distribusi Eksponensial memenuhi definisi 2.4 1 untuk setiap ∈ , terbukti bahwa . 2 ∫ = ∫ − ∞ ∞ −∞ = | − − | ∞ = − | − | ∞ = − − = . 3. Fungsi Ditribusi Kumulatif Definisi 2.5 Fungsi distribusi kumulatif cumulative distribution function dari sebuah va- riabel random diskrit dan kontinu didefinisikan sebagai berikut = = { ∑ ∀ ≤ , jika diskrit ∫ −∞ , jika kontinu 4. Karakteristik Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas dicirikan oleh adanya konstanta mean dan variansi yang merupakan karakteristiknya. a. Mean Definisi 2.6 Mean atau nilai harapan expected value dari suatu variabel random X dino- tasikan sebagai atau didefinisikan sebagai = { ∑ ∀ ,jika diskrit ∫ ∞ −∞ , jika kontinu b. Variansi Definisi 2.7 Jika adalah variabel random, maka variansi dari ditulis didefini- sikan sebagai = [ − ]. Teorema 2.1 = − Bukti: = [ − ] = − + = − + = − ∎ Contoh 2.3 a Jika berdistribusi Geometrik = − − , = , , , . . . Berdasarkan definisi 2.6, akan ditunjukkan mean dari distribusi Geometrik = ∑ ∀ = ∑ − − ∞ = = ∑ − − ∞ = = [ + − + − + − +. . . ] − = [ − + − + − + − +. . . ] − − = [ + − + − + − + − +. . . ]. Jumlah deret tak hingga suatu deret geometri dengan merupakan suku pertama dan merupakan rasio antar suku adalah ∞ = − . Dengan menggunakan deret geometri tersebut diperoleh = dan = − sehingga jumlah deret tak hingga dari [ + − + − + − + − +. . . ] dapat ditulis kembali menjadi = − − = . Jadi, = . Berdasarkan Teorema 2.1, akan ditunjukkan variansi dari distribusi Geometrik = − [ ] Telah ditunjukkan pada contoh di atas berdasarkan definisi 2.6 bahwa = , maka untuk mencari yang perlu dihitung terlebih dahulu adalah = ∑ ∀ = ∑ − − ∞ = = ∑ − − ∞ = Misalkan = − , = − , ∑ − = + − ∞ = = ∑ − ∞ = = + − = + − = − . Jadi, variansi distribusi Geometrik adalah = − [ ] = − − = − − = − . b Jika berdistribusi Normal = � √ � exp [− � − ] , −∞ ∞ Berdasarkan definisi 2.6, akan ditunjukkan mean dari distribusi Normal = ∫ ∞ −∞ = � √ � ∫ − −� ∞ −∞ = � √ � ∫ − � − ∞ −∞ Misalkan = − , = , = + = � √ � ∫ + − � ∞ −∞ = + � √ � ∫ − � ∞ −∞ = . Berdasarkan Teorema 2.1, akan ditunjukkan variansi dari distribusi Normal = [ − ] = ∫ − ∞ −∞ = � √ � ∫ − − � − ∞ −∞ Misalkan = − , = , = + , = � √ � ∫ − � ∞ −∞ Misal = , = , = − � , = −� − � = � √ � | −� − � | ∞ − � √ � ∫ −� − � ∞ −∞ = + � . = � . Jadi, variansi dari distribusi Normal adalah = � .

B. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya