Pak Sukani. Http:okemat.blogspot.com
©2013 |
All Right Reserved 12
Hubungan antara sifat akar dan koefisien persamaan :
Pertidaksamaan
adalah kalimat terbuka dengan menggunakan penghubung , , ≤ , ≥. Cara menyelesaiakannya sama dengan persamaan kuadrat yaitu dengan memfaktorkan.
Untuk soal dengan atau ≤, kata hubung dan. HP : { x … ≤ x ≤ … }
Untuk soal dengan atau ≥, kata hubung atau. HP : { x
x ≤ … atau x ≥ … }
1. Menyusun persamaan kuadrat dengan akar-akar diketahui
Jika akar-akar dari persamaan kuadrat adalah x
1
dan x
2
, maka : Persamaan kuadrat = atau
Dimana : x
1
+ x
2
= –
a b
dan x
1
. x
2
= a
c
2. Menyusun persamaan kuadrat berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat lain
Akar-akar dari persamaan kuadrat : ax
2
+ bx + c = 0 adalah x
1
dan x
2.
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya : px
1
dan px
2
adalah : Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya : px
1
– q dan px
2
– q adalah :
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya :
1
x 1
dan
2
x 1
adalah : x
– x
1
. x – x
2
= 0 x
2
– x
1
+ x
2
x + x
1
. x
2
= 0
a p
x
2
+ b p
x + c = 0
a p
q x
2
+ b p
q x
+ c =
ax
2
+ bx + c = 0 cx
2
+ bx + a = 0 ax
2
– bx + c = 0 cx
2
– bx + a = 0 ax
2
– bx – c = 0 cx
2
+ bx – a = 0
ax
2
+ bx – c = 0
cx
2
– bx – a = 0 a.
b = 0 kedua akarnya berlawanan x
1
= -x
2
b. a = c
kedua akarnya berkebalikan x
1
=
2
x 1
c. c = 0
sebuah akarnya x
1
= 0 dan x
2
= a
b
d. x
1
= x
2
= 2a
b
akarnya sama x
1
= x
2
Pak Sukani. Http:okemat.blogspot.com
©2013 |
All Right Reserved 13
MATRIKS
A. Pengertian matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun berdasarkan baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang dan ditulis antara sepasang tanda kurung.
Contoh :
A =
4
3 2
1 2
ke baris
1 ke
baris
kolom ke 2 kolom ke 1
Dan biasanya ditulis : A =
22 21
12 11
a a
a a
2 kolom
2 baris
pada elemen
a ;
1 kolom
2 baris
pada elemen
a 2
kolom 1
baris pada
elemen a
; 1
kolom 1
baris pada
elemen a
22 21
12 11
Untuk menyatakan banyaknya baris dan kolom disebut dengan ordo. Jika matriks mempunyai baris 3 dan kolom 2, maka matriks tersebut berordo 3 x 2.
B.
Macam-macam matriks
1. Matriks baris, yaitu matriks yang hanya mempunyai satu baris.
Contoh : A = 1 2 3 2.
Matriks kolom, yaitu matriks yang hanya mempunyai satu kolom. Contoh : A =
5 4
3
3. Matriks bujur sangkar, yaitu matriks yang mempunyai baris dan kolom sama
Contoh : A =
7 1
4 3
4 1
5 2
4. Matriks Identitas, yaitu matriks bujur sangkar yang semua elemen pada diagonal utamanya
1 sedangkan yang lainnya 0.
Contoh : I =
1 1
1
5. Matriks Transpose, yaitu matriks yang barisnya menjadi kolom dan sebaliknya kolomnya
menjadi baris.
Pak Sukani. Http:okemat.blogspot.com
©2013 |
All Right Reserved 14
Contoh : A =
9 6
3 8
5 2
7 4
1
→
9
8 7
6 5
4 3
2 1
A
t
C. Kesamaan dua matriks Apabila dua matriks mempunyai ordo sama dan elemen-elemen yang bersesuaian juga
sama, maka kedua matriks tersebut dikatakan sama dan dinyatakan dengan A = B.
D. Penjumlahan dan pengurangan matriks.
Dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan
jika ordonya sama
. E.
Perkalian Matriks
Sifat-sifat operasi perkalian matriks :
F.
Perkalian Matriks dengan skalar G.
Perkalian Matriks dengan Matriks
Dua matriks dapat dikalikan
jika jumlah kolom matriks pertama depan sama dengan jumlah baris matriks kedua belakang.
Caranya : Baris kali kolom Elemen-elemen hasil kali diperoleh dengan menjumlahkan hasil kali elemen pada baris
matriks pertama depan dengan elemen pada kolom matriks kedua belakang. 1.
A . B . C = A . B . C → asosiatif
2. A . B + C = A . B + A . C
→ distributif 3.
A . B ≠ B . A → tidak komunikatif
4. k . A . B = k . A . B = A . k . B
→ k = bilangan real 5.
A . I = I . A = A → I = matriks identitas
6. A . A
-1
= A
-1
. A = I → A
-1
= matriks invers
Jika matriks A =
22 21
12 11
a a
a a
dan k adalah slakar, maka : k . A = k .
22 21
12 11
a a
a a
=
22 21
12 11
a .
k a
. k
a .
k a
. k
A =
22 21
12 11
a a
a a
; B =
22 21
12 11
b b
b b
C = A + B =
22 21
12 11
a a
a a
+
22 21
12 11
b b
b b
=
22 22
21 21
12 12
11 11
b a
b a
b a
b a
D = A – B = A + -B =
22 21
12 11
a a
a a
+
22 21
12 11
b -
b -
b -
b -
=
22 22
21 21
12 12
11 11
b a
b a
b a
b a
Pak Sukani. Http:okemat.blogspot.com
©2013 |
All Right Reserved 15
A
p x q
dan B
q x r
, maka A x B ordonya adalah p x r Misal : matriks pertama berordo 3 x 2 dan matriks kedua berordo 2 x 4, maka jika
dikalikan akan menghasilkan matriks baru yang berordo 3 x 4
H. Determinan
Determinan adalah nilai dari suatu matriks, dan syaratnya harus matriks bujur sangkar. a.
Ordo 2 x 2
Contoh : A =
4 3
1 2
→ det A = 2 . 4 – 3 . -1 = 8 + 3 = 11 b.
Ordo 3 x 3 Untuk matriks bujur sangkar berordo 3 x 3, determinan dapat dihitung dengan dua cara,
yaitu : 1. Cara Kofaktor
Tanda untuk kofaktor : A =
a
11
+ ; a
12
– ; a
13
+ ; a
21
– ; a
22
+ ; a
23
– ; a
31
+ ; a
32
– ; a
33
+ ; 2. Cara Sarrus
Kolom 1 dan 2 ditambahkan kebelakang menjadi kolom 4 dan 5, kemudian dikalikan secara diagonal dengan diagonal kebawah bertanda positif dan diagonal keatas bertanda
negatif. A =
22 21
12 11
a a
a a
maka det A = a
11
. a
22
– a
21
. a
12
A =
33 32
31 23
22 21
13 12
11
a a
a a
a a
a a
a
= a
11
a
22
.a
33
– a
32
.a
23
– a
12
a
21
.a
33
– a
31
.a
23
+ a
13
a
21
.a
32
– a
31
.a
22
A =
22 21
12 11
a a
a a
; B =
22 21
12 11
b b
b b
; maka C = A x B =
22 22
12 21
21 22
11 21
22 12
12 11
21 12
11 11
. .
. .
. .
. .
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
Pak Sukani. Http:okemat.blogspot.com
©2013 |
All Right Reserved 16
I. Matriks Invers
Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar yang ordonya sama sehingga A . B = B . A = I, maka B adalah invers A dan A adalah invers B.
Dalam hal ini yang akan dibahas adalah matriks yang ordonya 2 x 2
A
-1
= A
det. A
Adj A =
22 21
12 11
a a
a a
Adj A =
11 21
12 22
a a
- a
- a
Invers matriks A adalah A
-1
=
12 21
22 11
. .
1
a a
a a
11 21
12 22
a a
- a
- a
- - -
A =
33 32
31 23
22 21
13 12
11
a a
a a
a a
a a
a
det A =
33 32
31 23
22 21
13 12
11
a a
a a
a a
a a
a
32 31
22 21
12 11
a a
a a
a a
+ + + Det A = a
11
.a
22
.a
33
+ a
12
.a
23
.a
31
+ a
13
.a
21
.a
32
– a
31
.a
22
.a
13
– a
32
.a
23
.a
11
– a
33
.a
21
.a
12
Pak Sukani. Http:okemat.blogspot.com
©2013 |
All Right Reserved 17
PROGRAM LINEAR
Program linear
adalah suatu cara penyelesaian masalah dengan menggunakan konsep pertidaksamaan linier.
Petidaksamaan linear
adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda , ,
≤, dan ≥.
Membuat grafik himpunan penyelesaian Harus diperhatikan hal-hal adalah sebagai berikut :
Menentukan nilai optimum sistem pertidaksamaan linier Menentukan nilai maksimum atau minimum dapat dilakukan dengan mencari dulu nilai x dan y
sebagai variabel bebas dengan cara eliminasi atau substitusi. Kemudian nilai x dan y disubstitusikan ke fungsi objektif.
Bentuk umum fungsi obyektif : Contoh :
1 Nilai mak
simum fungsi obyektif k = 5x + 4y adalah….
Jawab : Persamaan garis yang melewati 0,6 dan 6,0 yaitu 6x + 6y = 36 maka x + y = 6
Persamaan garis yang melewati 0,4 dan 8,0 yaitu 4x + 8y = 32 maka x + 2y = 8 Mencari titik perpotongan dengan cara Eliminasi kedua persamaan :
x + 2y = 8 x + y = 6 -
y = 2 maka x = 4 Titik perpotongannya adalah 4,2
Maka nilai maksimum : 4,2→ k = 5x + 4y = 5.4 + 4.2 = 28
k = ax + by 1.
Untuk tanda pertidaksamaan atau arah arsirannya ke dalam dan daerah penyelesaiannya
adalah daerah yang terarsir. 2.
Untuk tanda pertidaksamaan atau arah arsirannya ke luar dan daerah penyelesaiannya
adalah daerah yang terarsir.
Pak Sukani. Http:okemat.blogspot.com
©2013 |
All Right Reserved 18
LOGIKA MATEMATIKA
1. Kalimat pernyataan
Kalimat pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, akan tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
Untuk Logika matematika ada 5 macam penghubung pernyataan yaitu
ingkaran
negasitidak,
konjungsi
dan,
disjungsi
atau,
implikasi
jika…maka… dan
biimplikasi
jika dan hanya jika. Operasi Logika
Penghubung Lambang
Ingkaran Tidak, non
~ atau - Konjungsi
Dan Disjungsi
Atau v
Implikasi Jika….maka…
→ Biimplikasi
…jika dan hanya jika… ↔
2. Kalimat terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih mengandung variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya benar atau salah.
Kalimat terbuka tersebut dapat diubah menjadi bentuk pernyataan, jika variabelnya diganti dengan suatu konstanta.
Contoh : Kalimat terbuka : x + 5 = 9
Jika variabelnya diganti dengan 4 maka 4 + 5 = 9 pernyataan benar Jika variabelnya diganti dengan 7 maka 7 + 5 = 12 Pernyataan salah
3. IngkaranNegasi ~
Ingkaran adalah penyangkalan dari suatu pernyataan. Jika pernyataannya P ,maka ingkarannya ~p. ~p dibaca tidakbukan p
Tabel kebenaran :
p q
~p ~q
B B
S S
B S
S B
S B
B S
S S
B B
Ingkaran “semua” adalah “adabeberapa” ~
p→q = p ~q
Pak Sukani. Http:okemat.blogspot.com
©2013 |
All Right Reserved 19
4. Operasi pada logika matematika
a. Konjungsi p q
Operasi konjungsi merupakan operasi biner operasi yang dikenakan pada dua pernyataan yang dilambangkan dengan tanda “ ”.
Dengan operasi ini dua pernyataan dihubungkan dengan kata “ dan “.
Tabel kebenaran : P
Q p
q B
B B
B S
S S
B S
S S
S
b. Disjungsi p v q
Operasi disjungsi merupakan operasi biner yang dilambangkan dengan tanda ” v ”. Operasi ini menggabungkan dua pernyataan menjadi satu dengan kata hubungan “atau”.
Tabel kebenaran : P
Q p
q B
B B
B S
B S
B B
S S
S
c. Implikasi p→q
Operasi implikasi kondisional adalah operasi penggabungan dua pernyataan yang menggunakan kata hubung “ jika …maka ….”
Implikasi dilambangkan dengan “→“. Syarat:
Tabel kebenaran : P
Q p
q B
B B
B S
S S
B B
S S
B
d. Biimplikasi p↔q
Syarat : Kalau ada S → pasti SALAH
Syarat : Kalau ada B → pasti BENAR
Jika komponennya sama maka pasti BENAR Jika komponennya tidak sama maka lihat ujungnya:
Jika ujungnya B, maka pasti BENAR Jika ujungnya S, maka pasti SALAH
