Pak Sukani. Http:okemat.blogspot.com
©2013 |
All Right Reserved 42
d. Dilatasi perkalian
Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran memperbesar atau memperkecil dengan suatu faktor skala.
P x, y → P x, y dengan x = kx dan y = ky
5. Komposisi Transformasi
a.
Komposisi dua Translasi berurutan
T
1
=
1 1
b a
dan T
2
=
2 2
b a
→ T
2
o T
1
=
1 1
b a
+
2 2
b a
T
2
o T
1
A x, y → A x, y dengan x = x + a
1
+ a
2
dan y = y + b
1
+ b
2
b. Komposisi dua Refleksi berurutan
1. Pencerminan terhadap garis x
1
= k dan x
2
= l P x, y
l x
, k
x x
M o
x M
2 1
1 2
P 2 l – k + x , y
2. Pencerminan terhadap garis y
1
= m dan y
2
= n P x, y
n y
, m
y y
M o
y M
2 1
1 2
P x, 2 n – m + y
c. Komposisi dua Rotasi berurutan
Jika titik P x, y diputar sebesar θ
1
dan diteruskan ke θ
2
dengan arah positif sama dan titik pusat yang sama, maka bayangannya adalah : P x, y
Dimana : x = x cos
θ
1
+ θ
2
– y sin θ
1
+ θ
2
y = x sin θ
1
+ θ
2
+ y cos θ
1
+ θ
2
Pak Sukani. Http:okemat.blogspot.com
©2013 |
All Right Reserved 43
GEOMETRI DIMENSI TIGA
A. Luas Permukaan Bangun Ruang
1.
Kubus
H G Jaring-jaring kubus
E F H G D C D C G H D
A B A B F E A
E F
Jika panjang sisi kubus adalah a, maka : Panjang diagonal bidang = a
2
Luas bidang sisi L = a
2
Luas bidang diagonal = a
2
2
Luas permukaan kubus Lp = 6a
2
2. Balok
H G Jaring-jaring balok
G F E F
D C C B F G C A B
D A E H D H E
Luas permukaan balok :
Pak Sukani. Http:okemat.blogspot.com
©2013 |
All Right Reserved 44
Lp = 2 {p . l + p . t + l . t} Volume balok : V = p . l . t
3.
Prisma
T Jaring-jaring prisma
R S T Q T R S T
O P Q O P Q
Q
Luas selimut prisma segi-n = keliling bidang alas segi-n x tinggi prisma Luas permukaan prisma segi-n = luas selimut + luas alas + luas atas
4.
Limas
T Jaring-jaring limas
T D C
D C A B T T
A B T
Luas selimut = n . luas bidang segitiga n = jumlah segi bidang alas
Luas permukaan = luas selimut + luas alas
Pak Sukani. Http:okemat.blogspot.com
©2013 |
All Right Reserved 45
5. Limas Terpancung
Jaring-jaring limas terpancung
Luas selimut = n . luas bidang trapesium n = jumlah segi bidang alas
Luas permukaan = luas selimut + luas alas 6.
Kerucut
T Jaring-jaring kerucut T
A t s
s A r B
r B
Luas selimut : Ls =
tegak bidang
lingkaran luas
x tegak
bidang lingkaran
kel. alas
lingkaran kel.
=
2
s x
s 2
r 2
= r s
Luas permukaan : Lp = luas selimut + luas alas =
r s + r
2
= r s + r
A B
C D
E F
G H
A B
C D
E
E F
F G
G H
H
Pak Sukani. Http:okemat.blogspot.com
©2013 |
All Right Reserved 46
7. Kerucut terpotong
T Jaring-jaring kerucut terpotong
T s
1
s
1
r r s
R s R
Luas selimut = R + r s
Luas permukaan = luas selimut + luas alas + luas atas 8.
Tabung
Jaring-jaring tabung r
t r 2
r t
Luas selimut : Ls = keliling lingkaran alas x tinggi tabung = 2 . r . t
Luas permukaan : Lp = luas selimut + luas alas + luas atas
Pak Sukani. Http:okemat.blogspot.com
©2013 |
All Right Reserved 47
9. Bola
Luas permukaan = 4 . r
2
Volume : V = 43 . π . r
3
r
B. Volum Bangun Ruang
1.
Kubus
Volume kubus : V = s . s . s
s = s
3
2.
Balok
Volume balok : V = panjang x lebar x tinggi
t = p x l x t
l p
3.
Prisma
Volume prisma : V = luas alas x tinggi
4.
Limas
T Volume limas :
V = 3
1 x luas alas x tinggi
D C M
A B
Pak Sukani. Http:okemat.blogspot.com
©2013 |
All Right Reserved 48
5. Limas Terpancung
6.
Kerucut
Volume kerucut V =
3 1
x luas alas x tinggi =
3 1
. . r
2
. t 7.
Kerucut terpotong
Volume kerucut terpotong : r
V = 3
1 .
. t . R
2
+ R . r + r
2
t R
8.
Tabung
Volume tabung : V = luas alas x tinggi
V = . r
2
. t
A B
C D
E F
G H
b b
t a
a
Volume limas terpancung : V =
3 1
. t . b . b + b . a + a . a
Pak Sukani. Http:okemat.blogspot.com
©2013 |
All Right Reserved 49
9. Bola
Volume bola : V =
3 4
. r
3
atau V =
6
. d
3
Pak Sukani. Http:okemat.blogspot.com
©2013 |
All Right Reserved 50
VEKTOR
A.
Pengertian Vektor
1. Besaran Skalar, adalah besaran yang hanya mempunyai besar saja Misalnya : panjang, luas, volume, massa, suhu, waktu, laju.
2. Besaran vektor, adalah besaran yang mempunyai besar dan juga arah Misalnya : kecepatan, percepatan, gaya, momen.
B. Penyajian vektor
Vektor a dapat disajikan dalam bentuk :
C.
Besar vector
Vektor a =
2 1
a a
= a
1
i + a
2
j , besarnya vektor atau panjang vektor a dinotasikan dengan
a
, yang besarnya adalah :
a
=
2 2
2 1
a a
D.
Vektor Satuan
Vektor satuan adalah suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari vektor
a
adalah :
a a
e
a
matriks kolom a =
2 1
a a
matriks baris a = a
1
, a
2
matriks satuan a =
Pak Sukani. Http:okemat.blogspot.com
©2013 |
All Right Reserved 51
E. Operasi Vektor
a. Penjumlahan vektor
Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu cara segitiga dan cara jajaran genjang.
1. Cara segitiga Vektor c = a + b adalah :
a
b 2. Cara jajaran genjang
a
b
b.
Pengurangan vektor
Pengurangan vektor merupakan penjumlahan dengan vektor inversnya vektor negatif. a
– b = a + – b b
a
–b a
– b
c. Perkalian skalar dengan vektor
Misalkan skalar m dikalikan dengan vektor
a
, maka hasilnya adalah suatu vektor yang panjangnya merupakan k kali vektor
a
dan arahnya sama dengan arah vektor
a
.
a
2
a
3
a a
b
c
=
a
+
b
a
b
c
=
a
+
b
Pak Sukani. Http:okemat.blogspot.com
©2013 |
All Right Reserved 52
R =
cos .
2
2 1
2 2
2 1
P P
P P
Sifat-sifat perkalian vektor dengan skalar : 1. m .
a
=
a
. m 2. m .
–
a
= –m .
a
3. a
. m
= a
. m
4. m . a + b = m
a
+ m b 5. m + n .
a
= m
a
+ n
a
d. Resultan dua vektor
P
1
R
P
2
e. Perkalian skalar dua vektor
Perkalian skalar dua vektor adalah perkalian dua vektor dengan bentuk perkalian titik dot product dan hasilnya skalar.
Hasil kali vektor
a
dengan vektor b ditulis
a
. b dibaca a dot b adalah :
a
. b = a . b . cos 0
o
≤ ≤ 180
o
a = besar panjang vektor
a
a =
2 2
2 1
a a
b = besar panjang vektor b b =
2 2
2 1
b b
= sudut yang dibentuk oleh vektor
a
dan b
f. Panjang vektor
Jika
a
= a
1
i + a
2
j + a
3
k maka panjang vektor a adalah : a =
2 3
2 2
2 1
a a
a
Pak Sukani. Http:okemat.blogspot.com
©2013 |
All Right Reserved 53
g. Perbandingan vektor
Misalkan titik P membagi garis Ab dengan perbandingan AP : PB = m : n dengan a dan
b
vektor posisi titik A dan B. Vektor posisi titik P adalah : A
m p =
n m
1 . n a + m
b
a P
p n O
b
B Koordinat titik P adalah :
x
p
=
n m
mx nx
2 1
; y
p
=
n m
my ny
2 1
; z
p
=
n m
mz nz
2 1
h. Perkalian skalar dua vektor
