ARCH dan GARCH Model Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity ARCH secara

2.2.4. ARCH dan GARCH Model Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity ARCH secara

spesifik didesain untuk memodelkan dan meramalkan forecast ragam bersyarat conditional variances. Ragam sebagai variabel dependen dependent variable dimodelkan sebagai fungsi dari nilai masa lalu variabel dependen dan variabel independen atau variabel eksogen exogenous variables. Model ARCH pertama kali diperkenalkan oleh Engle dan GARCH Generalized ARCH dipopulerkan oleh Bollerslev. Model ini secara luas digunakan dalam berbagai cabang ekonometrika, khususnya dalam analisis runtun waktu time series pada data-data keuangan Gujarati, 2003. Dalam membangun model ARCH, kita memiliki dua persamaan yang berbeda-yang pertama persamaan untuk rataan bersyarat conditional mean dan yang kedua adalah persamaan untuk ragam bersyarat conditional variance. Model GARCH 1,1 Spesifikasi standar dari model GARCH 1,1 adalah: t t t X Y ε γ + = 2.6 Persamaan rataan yang diberikan pada 2.6 ditulis sebagai fungsi dari variabel eksogen dan bentuk error. Sementara itu, untuk persamaan ragam bersyarat dalam model GARCH 1,1 diberikan dalam persamaan 2.7 berikut ini: 2 1 2 1 2 − − + + = t t t βσ αε ω σ 2.7 2 t σ adalah perkiraan ragam pada periode tertentu yang didasarkan pada informasi dimasa lalu. Kita sebut persamaan tersebut sebagai persamaan ragam bersyarat conditional variance. persamaan conditional variance yang diberikan dalam 2.7 merupakan fungsi dari ketiga bentuk berikut: • Rata-rata yang konstan: ω • Informasi mengenai volatilitas dari periode sebelumnya yang diukur dengan lag residual kuadrat dari persamaan rataan: bentuk ARCH. 2 1 − t ε • Periode terakhir dari ragam yang diramalkan : bentuk GARCH. 2 1 − t σ Nilai 1,1 dalam model GARCH 1,1 menunjukan terdapatnya satu bentuk GARCH dan satu bentuk ARCH. Model ARCH yang biasa merupakan kasus khusus dari persamaan GARCH dimana dalam model ARCH tersebut tidak terdapat lag variance yang diramalkan dalam persamaan ragam bersyaratnya. Model ARCH diestimasi dengan metode kemungkinan maksimum maximum likelihood dengan mengasumsikan bahwa error didistribusikan secara normal. Sebagai contoh, untuk model GARCH 1,1, kontribusi untuk log likelihood dari observasi ke-t adalah: 2 2 2 2 1 log 2 1 2 log 2 1 t t t t x y lt σ γ σ π − − − − = 2.8 dimana 2 1 2 1 1 2 − − − + − + = t t t t x y βσ γ α ω σ 2.9 Persamaan ini sering diinterpretasikan dalam konteks keuangan, dimana para pelaku memprediksi variasi pada periode sekarang dalam bentuk rata-rata jangka panjang konstan, variasi yang diramalkan pada periode terakhir bentuk GARCH, dan informasi mengenai volatilitas yang diamati pada periode sebelumnya bentuk ARCH. Model ARCH-M Selain dapat memasukan variabel eksogen dalam persamaan conditional variance , kita juga dapat memasukan conditional variance atau conditional standar deviation 2 t σ t σ kedalam mean equation, sehingga kita mendapatkan model ARCH-M ARCH-in-mean sebagai berikut: t t t t X Y ε σ γ + + = 2 2.10 Dalam hal ini, persamaan ragam ikut mempengaruhi variabel dependen. Pengestimasian model ARCH-GARCH menggunakan prosedur iterasi yaitu menggunakan parameter pada persamaan ragam, β α dan , untuk mengestimasi parameter pada persamaan mean, . Lalu ini digunakan untuk mengestimasi X X β α dan . Begitu seterusnya sampai mencapai konvergensi. Restriksi parameter yang harus dipenuhi: 1. Syarat supaya ragam positif : 0 ; 2 σ α 0 ; β 0 2. Syarat kestasioneran : α + β 1 Treshold ARCH TARCH TARCH pertama kali diperkenalkan oleh Zakoian, Glosten, Jaganathan, dan Runkle. Spesifikasi untuk conditional variance adalah: 2 2 1 1 1 - t 1 - t 1 2 q - t 2 i - t 1 2 2 .... d u u ....... u p t p t i t − − + + + + + + + = σ ρ σ ρ ϑ γ γ σ σ 2.11 Dimana d adalah variabel dummy. =1 jika 1 - t d . u jika d 0, u 1 1 1 = − − − t t t Dalam model ini, berita baik pada periode t-1 0 dan berita buruk pada periode t-1 0 memiliki efek berbeda terhadap conditional variance pada periode t. Berita baik memiliki efek terhadap 1 - t u 1 - t u γ sedangkan berita buruk memiliki efek terhadap ρ γ + . Efek asimetri terjadi jika ≠ ϑ . Syarat yang harus dipenuhi untuk menjamin kestasioneran dan konvergensi dalam proses iterasi adalah 1 1 1 + ρ γ . Exponential GARCH EGARCH Ciri dari kebanyakan data-data time series yang tidak mampu didekati oleh model ARCH dan GARCH adalah asymmetry effect , atau yang lebih dikenal dengan ”leverage effect”. Dalam konteks analisis time series data-data keuangan, asymmetry effect mengacu kepada karakteristik time series harga aset yang tidak diharapkan menurun akan cenderung meningkatkan volatilitas daripada yang tidak diharapkan meningkat dengan besaran yang sama atau, ”berita buruk” cenderung meningkatkan volatilitas daripada ”berita baik”. Ide mengenai asymmetry effect ini diperkenalkan oleh Black 1976, French, et al 1987, Nelson 1991 dan Schwert 1990. Model ARCH dan GARCH tidak mampu menangkap pengaruh asimetri ini sejak lag dari error dikuadratkan dalam persamaan ragam bersyarat, akibatnya error positif memiliki dampak yang sama terhadap ragam bersyarat dengan error negatif. Model yang secara spesifik didesain untuk menangkap asymmetry effect adalah exponential GARCH EGARCH, model yang dikembangkan oleh Nelson 1991. Dalam model EGARCH Logaritma natural dari persamaan ragam bersyarat dibiarkan bervariasi sepanjang waktu sebagai fungsi dari lag error term. Model EGARCH p,q untuk ragam bersyarat dapat kita tulis: [ ] [ ] 1 1 In 2 1 1 1 1 − − − + − + = t t t h u f L L h α β ω 2.12 dimana 2 1 1 1 2 1 1 1 1 - t 2 1 1 1 − − − − − − Ε − + = t t t t t t h u h u u h u f γ θ 2.13 dan dan L L β α adalah − p order lag polynomials , berturut-turut; Dengan menulis ulang persamaan 2.13 agar lebih mudah untuk melihat kaitan dengan model GARCH konvensional, kita dapat menulis model EGARCH 1,1 sebagai berikut: . ....... , ....... . 2 2 1 2 2 1 p p q q L L L L L L L L β β β β α α α α + + + = + + + = 1 1 2 1 1 1 1 In 1 In − − − + + + = t t t t h h u f L h β α δ 2.14 yang terlihat serupa dengan model GARCH 1,1. Bagaimanapun, dengan menggunakan logaritma natural dari ragam bersyarat sebagai variabel dependen, dalam model EGARCH ragam bersyarat akan selalu positif bahkan jika nilai parameternya negatif, sehingga menghilangkan kebutuhan untuk merestriksi parameter untuk menjamin ke non-negatifan Harris dan Sollis, 2003.

2.2.5. Moving Average MA