bersyarat dibiarkan bervariasi sepanjang waktu sebagai fungsi dari lag error term. Model EGARCH p,q untuk ragam bersyarat dapat kita tulis:
[ ] [
]
1 1
In
2 1
1 1
1 −
− −
+ −
+ =
t t
t
h u
f L
L h
α β
ω 2.12
dimana
2 1
1 1
2 1
1 1
1 -
t 2
1 1
1 −
− −
− −
−
Ε −
+ =
t t
t t
t t
h u
h u
u h
u f
γ θ
2.13 dan
dan L
L
β α
adalah −
p order lag polynomials
, berturut-turut; Dengan
menulis ulang persamaan 2.13 agar lebih mudah untuk melihat kaitan dengan model GARCH konvensional, kita dapat menulis model EGARCH 1,1 sebagai
berikut: .
....... ,
.......
. 2
2 1
2 2
1 p
p q
q
L L
L L
L L
L L
β β
β β
α α
α α
+ +
+ =
+ +
+ =
1 1
2 1
1 1
1
In 1
In
− −
−
+ +
+ =
t t
t t
h h
u f
L h
β α
δ 2.14
yang terlihat serupa dengan model GARCH 1,1. Bagaimanapun, dengan menggunakan logaritma natural dari ragam bersyarat sebagai variabel dependen,
dalam model EGARCH ragam bersyarat akan selalu positif bahkan jika nilai parameternya negatif, sehingga menghilangkan kebutuhan untuk merestriksi
parameter untuk menjamin ke non-negatifan Harris dan Sollis, 2003.
2.2.5. Moving Average MA
Misalkan Y dimodelkan sebagai berikut:
1 1
−
+ +
=
t t
t
Y μ
β μ
β μ
2.15 dimana
μ adalah konstan dan
t
μ
merupakan error stokastik yang mengikuti proses white-noise. Disini,Y pada waktu t adalah sama dengan konstan ditambah
rata-rata bergerak moving average error saat ini dan masa lalu. Jadi, dalam kasus ini, kita katakan bahwaY mengikuti moving average ordo satu atau proses
MA1. Tetapi jikaY dimodelkan sebagai berikut:
2 1
− t
μ
2 1
−
+ +
+ =
t t
t
Y μ
β β
μ β
μ 2.16
maka Y dikatakan mengikuti proses moving average ordo dua atau MA2. Oleh karena itu, secara umum proses moving average mengikuti persamaan berikut:
q t
q t
t t
t
Y
− −
−
+ +
+ +
+ =
μ β
μ β
μ β
μ β
μ ........
2 2
1 1
2.17 dimana ordo moving average adalah sebanyak . Proses moving average secara
sederhana merupakan kombinasi linear dari bentuk error yang white-noise. q
Masalah serial korelasi autokorelasi dapat diselesaikan secara memuaskan jika diasumsikan error mengikuti skema autoregresif derajat pertama,
yaitu:
t t
t
ε ρμ
μ
+ =
−1
2.18 dimana
ρ 1dan
t
ε
mengikuti asumsi OLS dengan nilai yang diharapkan sama dengan nol, ragam konstan dan tidak ada autokorelasi. Untuk melihat hal ini,
perhatikan model dua-variabel berikut:
t t
t
X Y
μ β
β
+ +
=
1
2.19 jika 2.19 berlaku pada saat , juga akan berlaku pada saat
t 1
− t
. Jadi,
1 1
1 1
− −
−
+ +
=
t t
t
X Y
μ β
β
2.20 dengan mengalikan 2.20 dengan
ρ pada kedua sisinya, maka diperoleh
1 1
1 1
− −
−
+ +
=
t t
t
X Y
ρμ ρβ
ρβ ρ
2.21 dengan mengurangkan 2.21 dari 2.19 memberikan
1
1 1
1 1
1 −
− −
− +
− +
− =
−
t t
t t
t t
X X
Y Y
ρμ μ
ρβ β
ρ β
ρ
t t
t
X X
ε ρ
β ρ
β
+ −
+ −
=
−
1
1 1
2.22 dimana
t
ε
diperoleh dari 2.18. Karena
t
ε
memenuhi semua asumsi OLS, maka 2.22 dapat diduga dengan OLS dan memperoleh dugaan yang memiliki sifat
optimum. Regresi 2.22 dikenal sebagai persamaan perbedaan yang digeneralisasikan. Persamaan tadi menyangkut peregresian
, tidak dalam bentuk asli tetapi dalam bentuk perbedaan, yang diperoleh dengan menggunakan
suatu proporsi X
Y atas
ρ
=
dari nilai suatu variabel dalam periode waktu sebelumnya dari nilainya dalam periode saat ini Gujarati, 2003.
2.2.6. Maximum Likelihood
