2.4 Konsep Teori Permainanan
Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai kegitan-kegiatan yang bersifat kompetitif diwarnai dengan suatu keadaan persaingan konflik. Konflik itu dapat
terjadi diantara dua orang pihak atau sejumlah orang grouporganisasi. Kondisi persaingan disebut sebagai suatu permainan apabila kondisi itu memiliki kriteria atau
ciri-ciri seperti: adanya persaingan kepentingan diantara pelaku, setiap pelaku pemain mempunyai sejumlah pilihan yang terbatas ataupun tidak terbatas yang
disebut strategi, aturan permainan dalam mengatur pilihan disebutkan satu-satu dan diketahui oleh semua pemain dan hasil permainan diketahui semua pemain dan
nilainya bersifat numerik. Jadi permainan adalah suatu bentuk persaingan antara dua orangpihak atau antara dua kelompokgrup yang saling berhadapan dan menggunakan
aturan-aturan yang diketahui oleh kedua belah pihak yang saling berhadapan. Teori permainan dipusatkan pada analisis keputusan dalam suasana konflik,
maksudnya bahwa pengambilan keputusan bukan menghadapi berbagai peristiwa yang pasif, melainkan peristiwa yang aktif, yaitu bersaing dengan pengambil
keputusan pemain lainnya yang rasional, tanggap dan bertujuan memenangkan persaingan.
Ide dasar dari teori permainan dalah tingkah laku strategis dari pemain atau pengambil keputusan. Setiap pemain diasumsikan mempunyai suatu seri rencana atau
model tingkah laku dari mana pemain dapat memilih, jika memilih suatu himpunan strategi. Permainan diartikan sebagai gerakan khusus yang harus dipilih dari
himpunan strategi yang ada. Anggapannya bahwa setiap pemain mempunyai kemampuan untuk mengambil keputusan secara bebas dan rasional. Teori ini
menyediakan suatu bahasa untuk memformulasikan, menstrukturkan, menganalisa dan mengerti skenario strategi. Teori ini digunakan untuk pemilihan strategi. Langkah
pertama dalam menggunakan teori permainan adalah menentukan secara eksplisit pemain, strategi-strategi yang ada dan juga menentukan preferensi serta reaksi dari
setiap pemain Fien Zulkarijah, 2004. Pemanfaatan teori ini meliputi berbagai bidang seperti: kemiliteran, bisnis,
sosial, ekonomi dan ekologi. Bentuk dari permainan ini dapat berupa: kampanye pemilihan kepala daerahpresiden, permainan catur, penentuan strategi perang,
penentuan strategi persaingan bisnis atau pemasaran dan lain-lain. Sebagai contoh
Universitas Sumatera Utara
pemanfaatan dalm bidang bisnis dapat dilihat pada perusahaan yang mengeluarkan produk yang fungsi sama tetapi berbeda merk sebut saja perusahaan telekomunikasi
yang mengeluarkan kartu prabayar, seorang direktur atau pihak manajemen akan berusaha untuk mengetahui srategi terbaik atau suatu kombinasi terbaik untuk merebut
pasar yang lebih luas, sementara kompetitornya juga akan melakukan hal yang sama dengan strategi berbeda untuk tetap beratahan. Misalnya seorang direktur dalam
memperkenalkan produknya dengan melakukan promosi melalui televisi, pemberian undian berhadiah. Pada kesempatan yang sama, seorang direktur pemasaran yang lain
juga memperkenalkan produknya yang sejenis dengan melakukan promosi dengan cara yang lain yang dianggap dapat mengantisipasi langkah-langkah yang dilakukan
pesaingnya. Untuk kondisi seperti inilah peranan teori permainan sangat penting dalam menentukan strategi yang terbaik yang akan digunakan perusahaan dalam
merebut pasar.
2.4.1 Unsur-Unsur dan Fungsi Teori Permainan
Ada beberapa hal yang perlu diuraikan dalam menyelesaikan kasus teori permainan sebagai unsur
–unsur dasar teori permainan yaitu:
1.
Matriks pay off adalah suatu tabel berbentuk segi empat dengan elemen- elemennya yang merupakan besarnya nilai pembayaran yang bersesuaian
dengan strategi yang digunakan oleh kedua pihakpemain. 2.
Maximizing player
adalah pemain yang berada di baris dan yang memenangkan memperoleh keuntungan permainan, sedangkan
minimizing player
adalah pemain
yang berada
di kolom
yang menderita
kekalahanmengalami kerugian. 3.
Strategi permainan adalah rangkaian kegiatan atau rencana yang menyeluruh dari seorang pemain, sebagai reaksi atas perilaku pesaing.
4. Aturan-aturan permainan adalah pola dimana para pemain memilih strategi
mereka. 5.
Nilai permainan adalah hasil pay off yang diperkirakan oleh pemain sepanjang rangkaian permainan dimana maing-masing pemain menggunakan strategi
Universitas Sumatera Utara
terbaiknya. Permainan dikatakan adil apabila nilai permainan sama dengan nol dan sebaliknya.
6. Dominan adalah kondisi dimana pemain setiap pay off dalam strategi superior
terhadap setiap pay off yang berhubungan dalam suatu strategi alternatif. Aturan dominasi digunakan untuk mengurangi matriks pay off dan upaya
perhitungan. 7.
Strategi optimal adalah strategi yang menjadikan pemain berada dalam posisi pilihan terbaik atau posisi yang paling menguntungkan tanpa menghiraukan
pesaingnya. 8.
Tujuan dari teori permainan ini adalah untuk mengidentifikasikan strategi atau rencana optimal untuk tiap pemain.
Oleh karena pengambilan keputusan manajerial harus dibuat dalam kerja sama dan persaingan maka konsep teori permainan sangat penting untuk :
1. Mengembangkan suatu kerangka untuk analisis pengambilan keputusan dalam
kondisi persaingan atau kerja sama. 2.
Menguraikan metode kualitatif untuk memilih strategi-strategi yang rasional dalam pencapaian mereka.
3. Memberikan gambaran dan penjelasan fenomena situasi
– situasi persaingan atau konflik seperti tawar-menawar, dan perumusan koalisi.
2.4.2 Karakteristik Model Teori Permainan
Model-model permainan dapat diklasifikasikan berdasarkan: 1.
Jumlah langkah dan pilihan, dibedakan menjadi 2 bagian yaitu: a.
Permainan berhingga, yaitu permainan yang mempunyai sejumlah langkah berhingga dengan setiap langkah memuat sejumlah pilihan strategi.
b. Permainan tak berhingga, yaitu untuk setiap permainan yang selain
permainan berhingga. 2.
Jumlah pemain, suatu permainan dikatakan n orang jika jumlah orang yang bermain sebanyak n. Pemain yang dimaksud bisa individu atau
kelompokgrup. 3.
Jumlah pembayaran, dibagi menjadi 2 bagian yaitu:
Universitas Sumatera Utara
a. Permainan berjumlah nol
zero sum game
, yaitu permainan dengan jumlah kemenangan kedua belah pihak sama dengan nol.
b. Permainan berjumlah tidak nol
non zero sum game
, yaitu permainan dengan total pembayaran dari masing-masing pemain pada akhir suatu
permainan tidak sama dengan nol. Permainan ini dapat dilakukan dua orang atau lebih n orang.
Dalam tugas akhir ini model teori permainan yang akan digunakan adalah permainan berjumlah nol dari dua pemain.
2.4.2.1 Permainan Berjumlah Nol dari Dua Pemain
Permainan berjumlah nol dari dua pemain adalah permainan yang melibatkan dua pemain pihak dimana jumlah nilai permainan kedua pemain sama dengan nol artinya
nilai keuntungan pihak yang menang sama dengan nilai kerugian pihak yang kalah. Berdasarkan strateginya permainan berjumlah nol dari dua pemain ini dibedakan
menjadi 2 bagian yaitu permainan dengan strategi murni dan permainan dengan strategi campuran.
2.4.2.2 Permainan Strategi Murni
Pure Strategy Game
Permainan strategi murni adalah suatu permainan dengan posisi pilihan terbaiknya bagi setiap pemain dicapai dengan memiliki satu strategi tunggal artinya setiap
pemainnya hanya mempunyai tepat satu langkah yang terbaik. Pada permainan strategi murni,permainan dapat diselesaikan dengan kriteria maksimin-minimaks dan
apabila terdapat titik keseimbangan atau titik
equilibrium
atau disebut titik pelana
sadle point
, maka permainan dapat diselesaikan. Teori minimaks pada prinsipnya mengatakan bahwa tiap pemain secara
sepihak mencari tingkat keamanan yang maksimum bagi diri sendiri dan tiap pemain mengetahui bahwa pemain yang lain cukup rasional. Pemain I memilih harga
minimum pada tiap baris kemudian memilih harga maksimum dari harga minimum, cara ini disebut maksimin. Sedangkan teori minimaks menentukan pemain II secara
Universitas Sumatera Utara
sepihak mencari tingkat keamanan maksimum bagi dirinya sendiri yaitu dengan memilih derita terkecil dari antara sejumlah derita maksimum. Persoalan ini dapat
dibentuk dalam satu model matematika sebagai berikut: 1.
Kriteria maksimin Misalkan perolehan minimum dari tiap strategi i yang dipilih oleh pemain
I, sehingga: = min { },j =1,2,3,...n
Strategi optimal untuk pemain I adalah baris yang sesuai dengan harga: Max { }= max [ min {
}] = , i =1,2,3,...m dan j = 1,2,3,...,n 2.
Kriteria minimaks Untuk pemain II, misalkan derita maksimum dari tiap strategi j maka:
= max { }, i = 1,2,3,...m. Strategi optimal untuk pemain II adalah
kolom yang sesuai dengan harga: Min [ max { }] = , i = 1,2,3,...,m dan
j = 1,2,3,...,n Harga permainan minimaks harus lebih besar atau sama dengan harga
maksimin, karena cara minimaks selalu mengambil harga perolehan maksimum dan cara maksimin selalu mengambil harga minimum, jadi: max { } min { } atau
. Oleh karena itu adalah batas bawah dan adalah batas atas dari suatu V yang disebut harga permainan, sehingga:
. Apabila = = , maka harga titik sekutu ini disebut titik pelana
sadle point
. Jadi apabila nilai maximin sama dengan nilai minimaks maka permainan dapat diselesaikan dengan strategi murni dimana titik
keseimbangan atau titik pelana telah tercapai.Namun permainan tanpa titik pelana akan diselesaikan dengan menggunakan strategi campuran.
2.4.2.3 Permainan Dengan Strategi Campuran
Mixed Strategy Game
Jika dalam kriteria maksimin – minimaks tidak ditemukan titik keseimbangan atau
titik pelana maka strategi murni tidak dapat digunakan untuk memperoleh strategi optimal sehingga dilakukan pemecahannya dengan menggunakan strategi campuran.
Agar dapat diperoleh suatu pemecahan permainan yang mempunyai tipe seperti ini, Von Neumann memperkenalkan konsep strategi campuran
Mixed Strategy
.
Universitas Sumatera Utara
Pembahasan strategi campuran mengarah kepada dalil minimaks dari Von Neumann yang menyatakan bahwa kalau himpunan kemungkinan strategi dari
permainan diperluas sampai di luar strategi murni yang mencakup seluruh kemungkinan strategi campuran, selalu ada beberapa strategi campuran untuk pemain
pertama yang minimum pay-off nya akan lebih besar dari nilai maksimin dan selalu ada beberapa strategi campuran untuk pemain kedua yang maksimum pay-off nya
lebih kecil dari nilai minimaks dan dua nilai pay off itu sama Johannes Supranto, 1988.
Beberapa definisi yang berkaitan dengan strategi campuran sebagai berikut Kartono, 1994:
Definisi 1: Diberikan suatu matriks pembayaran yang berukuran mxn dimana pemain
1
mempunyai m strategi i; i=1,2,3,..,m dan pemain
2
mempunyai n strategi j; j=1,2,3,...,n. Misalnya :
=probabilitas pemain
1
memilih strategi ke i. = probabilitas pemain
2
memilih strategi ke j. = nilai pembayaran dalam matriks pembayaran
yang bersesuaian dengan strategi ke i untuk pemain
1
dan strategi ke j untuk pemain
2
.
PII PI
1 2
… 1
2 n
1
1
11 21
…
1 2
2
21 22
…
2
m
1 2
…
Gambar 2.2 Bentuk Matriks Pembayaran Pay off
Definisi 2 Vektor X = [
]; i=1,2,3,..m dari bilangan tak negatif sedemikian rupa sehingga
= 1
1=1
didefinisikan sebagai strategi campuran bagi pemain
1
. Vektor Y= [ ]; j=1,2,3,...,n dari bilangan tak negatif
sedemikian rupa sehingga = 1
1
Universitas Sumatera Utara
didefinisikan sebagai strategi campuran bagi
2
. Berdasarkan definisi 2 ini maka probabilitas
; i=1,2,3,...,m menyusun strategi optimum bagi pemain
1
dan probabilitas ; j=1,2,3,...,n menyusun strategi optimum bagi pemain
2
.
Definisi 3 Nilai harapan matematis atau fungsi pembayaran EX,Y bagi pemain
1
dengan matriks pembayaran A=
didefinisikan sebagai: EX,Y =
=1 =1
= XAY Dimana X = [
1, 2
, … ,
] = vektor baris yang merupakan strategi campuran bagi pemain
1
dan Y = [
1, 2
, … , ] = vektor kolom yang merupakan strategi campuran
bagi pemain
2
. Menurut definisi 3 ini pemain
1
seharusnya memilih X sehingga dapat memaksimumkan nilai harapannya yang terkecil ddan pemain
2
seharusnya memilih Y sehingga dapat meminimumkan nilai harapannya yang terbesar. Dengan
demikian pemain
1
menuju pada , dan pemain
2
menuju pada ,
Definisi 4 Jika
, = , =
0, 0
maka
0, 0
didefinisikan sebagai strategi murni dari permainan itu dengan sebagai strategi
optimum bagi pemain I dan sebagai strategi optimum bagi pemain II dan
0, 0
merupakan nilai permainan. Langkah-langkah dalam teori permainan adalah :
1. Membuat tabel matriks permainan.
2. Mencari nilai terkecil pada setiap baris. Pada setiap baris dipilih pay off yang
nilainya terkecil diantara pay off yang ada. 3.
Mencari nilai terkecil pada setiap kolom. Pada setiap kolom dipilih pay off yang nilainya terbesar diantara pay off yang ada.
4. Menentukan nilai maksimin, yaitu nilai maksimum dari nilai minimum pada
minimum baris. 5.
Menentukan nilai minimaks, yaitu nilai minimum dari nilai maksimum pada maksimum kolom.
Universitas Sumatera Utara
6. Uji optimisasi, yaitu melakukan pemeriksan apakah nilai maksimum sudah
sama dengan nilai minimal. Apabila nilai maksimum sama dengan nilai minimal, maka sudah didapat strategi optimal artinya persoalann selesai
dengan strategi murni. Tetapi apabila nilai maksimin dan nilai minimaks tidak sama, maka strategi belum optimal sehingga peyelesaian harus dilanjutkan
dengan menggunakan strategi campuran. Untuk menyelesaikan suatu permainan berjumlah nol dari dua pemain dengan strategi campuran dapat
digunakan dengan metode Program Linier.
2.4.3 Metode Penyelesaian Permainan dengan Program Linier
Yang dimaksud dengan menyelesaikan permainan adalah usaha mencari strategi optimum dan nilai permainan yang secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut: X
= [
1, 2
, … ,
] dan Y = [
1, 2
, … , ] yang mengoptimumkan nilai harapan
matematis EX,Y =
=1 =1
dengan syarat =
= 1, 0,
=1 1=1
untuk semua X dan Y adalah strategi untuk masing-masing
1
dan
2
. Penyelesaian suatu permainan dengan menggunakan metode program linier akan dihadapkan pada
masalah metode simpleks dualitas. Untuk suatu permainan yang dengan matriks pembayaran yang berukuran besar mxn dan tidak mempunyai titik pelana, maka
program linier menawarkan suatu metode penyelesaian yang efisien. Matriks pembayaran permainan seperti pada gambar 2.2.
Untuk pemain
1
pemain baris Pemain
1
memilih ,
0,
=1
= 1 yang akan menghasilkan
1 ,
2
, … ,
=1 =1
=1
. Hal ini menunjukkan bahwa strategi
campuran optimum
pemain
1
memenuhi:
1 ,
2
, … ,
=1 =1
=1
berdasarkan pembatas: =
1=1
1 dan = 0, i=1,2,3,...,m.
Persoalan ini dapat disajikan ke dalam bentuk program linier sebagai berikut: Bila
=
1 ,
2
, … ,
=1 =1
=1
maka persoalan menjadi:
Universitas Sumatera Utara
Maksimumkan Z=V Kendala: :
, = 1,2,3, … ,
=1
: = 1 ,
=1
untuk semua i V= nilai permainan
Perumusan program linier tersebut dapat disederhanakan dengan membagi n+1 pembatas dengan V. Pembagian ini berlaku untuk V0. Jika V=0 maka pembagian
tidak berlaku. Sebaliknya jika V0 maka pembagian ini juga tidak berlaku namun dapat diubah menjadi V0 dengan menambahkan suatu konstanta positif k pada
semua elemen dalam matriks pembayaran yang akan menjamin nilai permainan untuk matriks yang dimodifikasi lebih besar dari nol. Sebagai pedoman, diambil k harga
mutlak dari elemen terkecil sehingga sebelum merumuskan ke bentuk program linier perlu diperiksa nilai maksimin barisnya karena jika nilai maksimin tersebut negatif
maka ada kemungkinan nilai permainannya negatif atau nol. Dengan demikian matriks pembayaran perlu dimodifikasi dahulu dan sebagai konsekuensinya adalah
bila solusi optimum telah diperoleh maka nilai permainan yang sebenarnya ditentukan dengan mengurangi sebesar k tadi dari nilai permainan yang telah dimodifikasi itu.
Pada umumnya jika nilai maksimin positif maka nilai permainannya lebih besar dari nol terutama yang mempunyai titik pelana. Oleh karena itu di dalam pembentukan
rumusan program linier diasumsikan bahwa V0. Pembatas-pembatas kendala dalam rumusan program linier dia atas menjadi :
1, = 1,2,3, … ,
=1
dan =
1
,
=1
untuk semua i. Bila
= ; = 1,2,3,
… , maka
1
+
2
+ +
=
1
Karena max V = min
1
= min [
1
+
2
+ +
=
1
] maka persoalan di atas bisa ditulis menjadi : Minimumkan z =
1
+
2
+ +
=
1
, berdasarkan pembatas
1, = 1,2,3, … ,
=1
.
1
,
2
,
3
, … ,
Model ini kemudian diselesaikan dengan metode simpleks. Penyelesaian bagi pemain
2
merupakan dual dari pemain
1
. Jadi penyelesaian optimum bagi salah satu dapat memberikan penyelesaian optimum bagi pemain lainnya walaupun penyelesaian
bagi pemain
2
merupakan dual dari penyelasaian
1
dan sebaliknya juga perhitunggan
Universitas Sumatera Utara
penyelesaian pemain
2
dapat dilakukan dengan menggunakan metode simpleks dan penyelesaian pemain
1
denggan menggunakan dual pemain
2
. Berdasarkan penjelasan tersebut maka dapat ditarik langkah-langkah
penyelesaian permainan berjumlah nol dari dua pemain dengan menggunakan metode program linier sebagai berikut :
1. Menentukan persamaan matematis untuk maximizing player, meliputi fungsi
tujuan dan kendala. 2.
Menentukan persamaan matematis untuk minimizing player , meliputi fungsi tujuan dan kendala.
3. Membagi fungsi tujuan dan kendala maximizing player dengan V
4. Membagi fungsi tujuan dan kendala minimizing player dengan V
5. Melakukan perhitungan denggan menggunakan metode simpleks dan sesuai
dengan langkah-langkahnya hingga didapat nilai optimalnya, meliputi maximizing player maupun minimizing player.
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PENGUMPULAN DATA DAN PEMBAHASAN
3.1 Pengumpulan Data Kualitatif
Kategori