1 p
p i
i
t t
Selanjutnya T akan mengidentifikasi panjang dan t
p
menyatakan panjang p
elemen dari rantai. Misalkan
i
x dan
i
y adalah proyeksi dari u
j
pada sumbu X dan Y, dengan nilai-nilainya adalah sebagai berikut :
6 2
i i
i
x sign
u sign
u
4
i i
i
y sign
u sign u
dimana 1
0, 1
jika sign
jika jika
Elemen generik p dari rantai Freeman yang memproyeksikan semua elemen 1..p pada
sumbu X dan Y dapat ditulis sebagai :
1 p
p i
i
x x
1 p
p i
i
y y
Pada citra image baru akan dilakukan evaluasi koefisien eliptikal dari analisis Fourier.
Gambar 2.9 Diagram skema kontur daun. Lingkaran pada kontur menunjukkan titik chain code pada kontur dari citra
digital.
2.7 Elliptical Fourier Descriptors
Elliptical Fourier descriptors merupakan suatu representasi parametrik
dari kontur tertutup berbasis ellips yang bergerak secara harmonik Khul, 1982.
Untuk menghasilkan Elliptical Fourier descriptors suatu kurva dibutuhkan ekspansi Fourier suatu kurva. Ekspansi Fourier dapat dilakukan dengan
menggunakan bentuk komplek atau trigonometri. Pada penelitian ini, ekspansi Fourier didasarkan pada representasi trigonometri yang merujuk pada hasil
penelitian Kuhl dan Giardina. Ekspansi Fourier untuk proyeksi x dan y dari chain code pada kontur
tertutup didefinisikan sebagai berikut Kuhl dan Giardina 1982 :
1
2 2
cos sin
n n
n
n t n t
x t A
a b
T T
dan
1
2 2
cos sin
n n
n
n t n t
y t C
c d
T T
dimana : 1
T
A x t dt
T
2 2
cos
T n
n t a
x t dt
T T
2 2
sin
T n
n t b
x t dt
T T
Koefisien harmonik berkaitan dengan n harmonik ke-n, yakni a
n
dan b
n
yang dengan mudah ditemukan karena xt merupakan potongan linier dan kontinu terhadap waktu. Turunan derivation koefisien pada fungsi xt dapat
ditulis sebagai x t
yang terdiri dari barisan potongan konstan turunan
p p
x t
yang digabungkan dalam interval waktu
1 p
p
t t
t
untuk nilai p dalam rentang
1 p
K . Turunan terhadap waktu ini adalah periodik dengan periode T dan
dapat direpresentasikan dengan barisan Fourier berikut :
1
2 2
cos sin
n n
n
n t n t
x t T
T
dengan :
2 2
cos
T n
n t x t
dt T
T
2 2
sin
T n
n t x t
dt T
T
Selanjutnya,
1
1
2 2
cos
p p
t K
p n
p p t
x n t
dt T
t T
1 1
2 2
2 sin
sin
K p
p p
p p
x n t
n t T
t T
T
dan
1
1
2 2
sin
p p
t K
p n
p p t
x n t
dt T
t T
1 1
2 2
2 cos
cos
K p
p p
p p
x n t
n t T
t T
T
Namun x t
juga dapat dihasilkan secara langsung dari definisinya sebagai :
1
2 2
2 2
sin cos
n n
n n t
n n t
x t a
T T
T T
Setelah menyamakan koefisien dari dua ekspresi
x t
, diperoleh :
1 2
2 1
2 2
cos cos
2
K p
p p
n p
p
x n t
n t T
a n
t T
T
1 2
2 1
2 2
sin sin
2
K p
p p
n p
p
x n t
n t T
b n
t T
T
Dengan menggunakan cara yang sama seperti ekspansi barisan Fourier proyeksi x, dapat diperoleh ekspansi barisan Fourier proyeksi y dari chain code kontur
lengkap sebagai berikut :
1 2
2 1
2 2
cos cos
2
K p
p p
n p
p
y n t
n t T
c n
t T
T
1 2
2 1
2 2
sin sin
2
K p
p p
n p
p
y n t
n t T
d n
t T
T
Keterpakaian ekspresi koefisien Fourier memperluas metode chain code yang dikembangkan oleh Freeman yang sesuai dengan beberapa potongan linier
representasi kontur ketika tidak ada kendala yang terbentuk pada perubahan
p
x dan
p
y
1 2 p
p p
t x
y
. Elemen pertama komponen Fourier d.c. component pada barisan Fourier
dapat ditulis sebagai berikut :
2 2
1 1
1
1 2
K p
p p
p p
p p
p
x A
t t
t t
T t
2 2
1 1
1
1 2
K p
p p
p p
p p
p
y C
t t
t t
T t
dengan
1 1
1 1
p p
p p
j j
j j
p
x x
t t
1 1
1 1
p p
p p
j j
j j
p
y y
t t
dan
1 1
Sehingga dapat disimpulkan bahwa tujuan utama dari analisis Elliptical Fourier adalah
melakukan tahapan untuk mengaproksimasi edge tertutup sebagai jumlah harmonik eliptik. Untuk setiap harmonik dapat digunakan 4 koefisien Fourier a
i
, b
i
, c
i
dan d
i
, dan untuk mengidentifikasi kontur tertutup K elemen dapat diperoleh dengan menggunakan
N harmonik Khul dan Giadina 1982.
2.8 Sifat-sifat Ekspansi Fourier Kontur Tertutup
