representasi kontur ketika tidak ada kendala yang terbentuk pada perubahan
p
x dan
p
y
1 2 p
p p
t x
y
. Elemen pertama komponen Fourier d.c. component pada barisan Fourier
dapat ditulis sebagai berikut :
2 2
1 1
1
1 2
K p
p p
p p
p p
p
x A
t t
t t
T t
2 2
1 1
1
1 2
K p
p p
p p
p p
p
y C
t t
t t
T t
dengan
1 1
1 1
p p
p p
j j
j j
p
x x
t t
1 1
1 1
p p
p p
j j
j j
p
y y
t t
dan
1 1
Sehingga dapat disimpulkan bahwa tujuan utama dari analisis Elliptical Fourier adalah
melakukan tahapan untuk mengaproksimasi edge tertutup sebagai jumlah harmonik eliptik. Untuk setiap harmonik dapat digunakan 4 koefisien Fourier a
i
, b
i
, c
i
dan d
i
, dan untuk mengidentifikasi kontur tertutup K elemen dapat diperoleh dengan menggunakan
N harmonik Khul dan Giadina 1982.
2.8 Sifat-sifat Ekspansi Fourier Kontur Tertutup
Penggalan truncated pendekatan Fourier untuk kontur tertutup dapat ditulis sebagai berikut :
1 N
n n
x t A
X
dan
1 N
n n
y t C
Y
Dimana komponen proyeksi X
n
2 2
cos sin
n
n n
n t n t
X t a
b T
T
2
2 cos
sin
n
n n
n t n t
Y t c
d T
T
Persamaan ini ditunjukkan oleh Khul 1982 bahwa titik X
N
,Y
N
semuanya memiliki eliptik loci sekumpulan titik-titik dengan sifat-sifat yang sama, dan
pendekatan Fourier untuk kontur asli dapat dilihat sebagai penambahan pada fase tertentu yang berhubungan dengan perputaran phasor, yang ditentukan dengan
proyeksi. Setiap vektor pemutar phasor yang berotasi memiliki locus eliptik dan berotasi lebih cepat daripada harmonik pertama terhadap banyaknya harmonik.
Y λ
V U
harmonik X
Titik awal asal, t=0 Gambar 2.10 Pendekatan elliptik pada suatu kontur
Pada gambar 2.10 diilustrasikan suatu contoh kedudukan locus elliptik X
1
,Y
1
untuk chain code tertentu. Elliptik loci yang sama pada titik X
n
,Y
n
akan dihasilkan tanpa memperhatikan titik awal kontur, akan tetapi phasor akan
memberikan arah yang berbeda untuk mendekati aproksimasi kontur. Pendekatan ini tidak ditunjukkan dengan memperkenalkan operator perputaran
yang menghubungkan koefisien Fourier a
n
, b
n
, c
n
dan d
n
n ≥ 1 pada titik awal
terhadap koefisien a
n
, b
n
, c
n
dan d
n
untuk titik awal yang memindahkan unit
di sekeliling kontur, dan dengan membandingkan loci X
n
, Y
n
pada dua titik awal. Perbedaan pada titik awal yang ditunjukkan pada bidang proyeksi sebagai
pergeseran phasor yakni titik awal memindahkan unit pada arah rotasi di
sekeliling kontur dari titik awal asli yang telah diproyeksikan untuk n ≥ 1.
2 2
cos sin
N
n n
n n
X t
a t
b t
T T
Titik awal berubah
λ unit, t
= 0
1
2 3
ψ
2 2
cos sin
N
n n
n n
Y t c
t d
t T
T
dengan
t t
Setelah memperluas X
n
dan Y
n
serta menggabungkannya, maka diperoleh : 2
2 cos
sin
n n
n
n t n t
X t a
b T
T
2
2 cos
sin
n n
n
n t n t
Y t c
d T
T
dengan
2 2
cos sin
2 2
sin cos
n n
n n
n n
n n
n n
a c
a c
T T
n n
b d
b d
T T
Koefisien a
n
, b
n
, c
n
dan d
n
benar untuk daerah t t
=0 yang ditempatkan pada titik awal pengganti.
Kedudukan loci elliptik untuk titik X
n
,Y
n
ditunjukkan dengan menghapus keterkaitan dependensi pada fungsi sinus dan kosinus untuk
menghasilkan persamaan berikut :
2 2
2 2
2 2
2 1
n n
n n
n n
n n
n n n
n n
n n n
d c X
a b Y
X Y a c b d
a d b c
Dengan cara yang sama dapat diperoleh loci eliptik untuk proyeksi
n
X dan
n
Y :
n n
X t X t
n n
Y t Y t
2 2
2 2
2 2
2 1
n n
n n
n n
n n n n
n n
n n
n n
d c X
a b Y
X Y a c b d
a d b c
Sehingga loci elliptik yang sama dihasilkan untuk titik awal yang berbeda.
Perputaran sumbu koordinat X,Y searah jarum jam melalui derajat ke
dalam sumbu U,V dipenuhi dengan operasi perputaran berikut : cos
sin sin
cos U
X V
Y
Pengaruh rotasi di sekitar sumbu axial pada koefisien Fourier a
n
, b
n
, c
n
dan d
n
tampak ketika proyeksi
n
X ,
n
Y yang diekspresikan dalam bentuk matriks berikut :
2 cos
2 sin
n n
n n
n n
nt X
a b
T Y
c d
nt T
Selanjutnya, proyeksi pada sumbu U,V u
n
,v
n
adalah : 2
cos cos
sin cos
sin sin
cos sin
cos 2
sin
n n
n n
n n
n n
nt u
X a
b T
v Y
c d
nt T
dan merotasikan koefisien Fourier a
n
, b
n
, c
n
dan d
n
pada sekitar sumbu, yang didefinisikan sebagai :
cos sin
sin cos
n n
n n
n n
n n
a b
a b
c d
b c
Pengaruh kombinasi pada rotasi axial dan penggantian titik awal pada koefisien a
n
, b
n
, c
n
dan d
n
dari titik awal pertamanya dinotasikan dengan matriks sebagai berikut :
2 2
cos sin
cos sin
sin cos
2 2
sin cos
n n
n n
n n
n n
n n
a c
a c
T T
n n
b d
b d
T T
2.9 Fitur Fourier Elliptik
