Pengaruh rotasi di sekitar sumbu axial pada koefisien Fourier a
n
, b
n
, c
n
dan d
n
tampak ketika proyeksi
n
X ,
n
Y yang diekspresikan dalam bentuk matriks berikut :
2 cos
2 sin
n n
n n
n n
nt X
a b
T Y
c d
nt T
Selanjutnya, proyeksi pada sumbu U,V u
n
,v
n
adalah : 2
cos cos
sin cos
sin sin
cos sin
cos 2
sin
n n
n n
n n
n n
nt u
X a
b T
v Y
c d
nt T
dan merotasikan koefisien Fourier a
n
, b
n
, c
n
dan d
n
pada sekitar sumbu, yang didefinisikan sebagai :
cos sin
sin cos
n n
n n
n n
n n
a b
a b
c d
b c
Pengaruh kombinasi pada rotasi axial dan penggantian titik awal pada koefisien a
n
, b
n
, c
n
dan d
n
dari titik awal pertamanya dinotasikan dengan matriks sebagai berikut :
2 2
cos sin
cos sin
sin cos
2 2
sin cos
n n
n n
n n
n n
n n
a c
a c
T T
n n
b d
b d
T T
2.9 Fitur Fourier Elliptik
Koefisien Fourier a
n
, b
n
, c
n
dan d
n
1 ≤ n ≤ N dari pendekatan Fourier
pada kontur tertutup digunakan sebagai klasifikasi kontur. Sifat-sifat bentuk kontur harus dispesifikasikan sebab koefisien yang dihasilkan beragam menurut
titik awal penelusuran kontur berdasarkan chain code Freeman dan rotasi spasial, besaran, translasi kontur serta prosedur normalisasi yang konsisten hanya
didasarkan pada intrinsik. Perputaran phasor memberikan basis model normalisasi yang sangat baik bila locus kedudukan phasor harmonik pertamanya adalah
elliptik, yang menghasilkan dua klasifikasi sederhana yang bersesuaian dengan posisi pada setiap akhir sumbu mayor ellips.
2.10 Klasifikasi untuk Elliptik Locus Harmonik Pertama
Klasifikasi kontur dihasilkan melalui 2 tahap proses. Pertama, phasor harmonik pertama diputar hingga phasor berimpit dengan sumbu semi-mayor dari
lokusnya. Kemudian sumbu koordinat X,Y pada kontur dengan arah asal diputar ke sumbu koordinat U,V yang baru, didefinisikan dengan sumbu mayor dan minor
dari ellips, sehingga sumbu X positif bersamaan dengan sumbu semimayor dilokasikan pada putaran phasor. Eksistensi dari dua klasifikasi yang mungkin
dengan mudah dapat diverifikasi dengan mengkonstruksi diagram penambahan phasor kontur untuk kombinasi perputaran yang berbeda dan dengan mengamati
penambahan phasor pada setiap sumbu semimayor yang selalu berarah dengan cara yang sama pada sumbu koordinat U,V. Untuk menentukan hubungan antara
dua klasifikasi, klasifikasi diasosiasikan dengan sumbu semimayor yang dihasilkan melalui titik awal dan putaran angular spasial
1
dan
1
radian, dimana
1 1
2 T
dan
1
merupakan penganti titik awal. Kemudian untuk klasifikasi sumbu semimayor 1
≤ n ≤ N adalah :
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
cos sin
cos sin
sin cos
sin cos
n n
n n
n n
n n
n n
a b
a b
n n
c d
c d
Klasifikasi untuk sumbu semimayor lainnya dihasilkan dengan perputaran
selanjutnya dengan titik awal dan sudut spasial melalui radian sebagai berikut :
1 1
1 1
2 2
1 1
1 1
2 2
cos sin
cos sin
sin cos
sin cos
n n
n n
n n
n n
n n
a b
a b
n n
c d
c d
=
1 1
1 1
1 1
1 1
cos sin
cos sin
1 sin
cos sin
cos
n n
n n
n
n n
a b
n n
c d
=
1 1
1 1
1
n n
n n
n
a b
c d
Selanjutnya, harmonik ganjil dari dua klasifikasi tetap sama untuk semua n, tetapi
harmonik genap tidak termasuk bias A dan C
berubah tanda.
Titik awal, sudut rotasi θ
1
ditentukan dari titik x
1
,y
1
dengan lokus elliptik berikut:
1 1
1
cos sin
x a
b
1 1
1
cos sin
y c
d
dengan
2 t T
, selanjutnya dengan menurunkan besaran
phasor harmonik pertama
2 2 1 2
1 1
E x
y
dan turunannya sama dengan nol, maka akan dihasilkan :
1 1 1 1
1 2
2 2
2 1
1 1
1
2 1
arctan 2
a b c d
a c
b d
Ekspresi sudut rotasi ini mengalokasikan sumbu semimayor pertama
sehingga berpindah dari titik awal pada arah rotasi kontur. Hal ini dapat dibuktikan dengan mensubstitusikan nilai
1
pada turunan kedua E dan kuantitas negatif akan selalu dihasilkan, yakni 0
≤ θ
1
≤ . Rotasi spasial
1
ditentukan dari koefisien Fourier
1
a dan
1
c yang benar dari titik awal pengganti
θ
1
radian.
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
cos sin
sin cos
a c
a c
b d
b d
Dan titik
1
x ,
1
y dengan lokus elliptiknya adalah :
1 1
1
2 2
cos sin
x t a
t b
t T
T
1 1
1
2 2
cos sin
y t c
t d
t T
T
Karena t
= 0 ketika phasor harmonik pertama berhimpit align dengan sumbu semimayor, maka
1
dihasilkan sebagai :
1 1
1
arctan y
x
=
1 1
arctan c
a
,
1
2
Selanjutnya besar semimayor adalah :
2 2 1 2
1 1
E x
y
2 2 1 2
1 1
a c
Klasifikasi dapat dibuat secara bebas dari ukuran dengan membagi setiap koefisien dengan besaran sumbu semimayor, dan bebas dari translasi dengan
mengabaikan bias A dan C
.
1 1
1 1
cos sin
1 sin
cos
n n
n n
n n
n n
a b
a c
E c
d b
d
2.12 Keputusan Pengenalan