25 Ini adalah fungsi pembangkit momen dari variabel acak yang berdistribusi normal
dengan mean 0 dan varians t. ■
Untuk n
, proses
n
W t akan konvergen menjadi proses
W t
yang memenuhi beberapa sifat-sifat. Selanjutnya proses ini akan dinotasikan dengan
t
W yang sering sebagai proses Wiener.
Definisi 2.13.5 Proses Wiener adalah suatu proses stokastik variabel acak kontinu
continuous-time stochastic process
t
W ,
x
yang memenuhi sifat-sifat berikut :
1 W
2
t
W berdistribusi normal N0,1 artinya memiliki mean 0 dan Varians
2 t
. 3
2 1
3 2
1
, ,...,
n n
t t
t t
t t
W W W
W W
W
saling indenpenden untuk
1 2
3
...
n
t t
t t
2.14 Persamaan Diferensial Stokastik
Persamaan Diferensial Stokastik PDS adalah suatu persamaan diferensial yang salah satu atau lebih nilai-nilai parameternya adalah proses stokastik stochastic
processes dan menghasilkan solusi stokastik berupa sebuah model. Persamaan ini merupakan modifikasi dari Persamaan Diferensial Biasa yang variabel atau
parameternya acak dan tidak pasti Oksendal, 2003. Persamaan Diferensial Stokastik dituliskan dalam bentuk sebagai berikut
, X
x . . . 2.29
di mana : proses Stokastik
: proses Wiener baku berdistribusi N0,1 t : jangka waktu investasi
: suku determinisik atau sering disebut koefisien drift : suku stokastik atau sering disebut koefisien diffusion
Universitas Sumatera Utara
26 Pada bentuk 2.29, koefisien drift berfungsi untuk memodelkan
kecenderungan dominan pada grafik solusi suatu PDS atau sebagai penentu arah dari solusi suatu PDS sedangkan koefisien diffusion merepresentasikan fluktuasi
dari kurva dan proses Wiener merepresentasikan noise gangguan pada sistem.
Persamaan Diferensial Stokastik juga merupakan persamaan integral stokastik yang terdiri dari integral biasa integral Riemann-Steljess dan integral
stokastik integral Ito. Persamaan Diferensial Stokastik biasanya digunakan untuk model fenomena yang beragam seperti fluktuasi harga saham Hartanto, 2013
2.15 Lemma Ito
Lemma Ito adalah metode yang digunakan untuk mencari solusi integral stokastik. Lemma Ito adalah analogi dari aturan rantai yang ditemui dalam turunan
biasa pada persamaan diferensial biasa. Untuk memahami aturan rantai pada fungsi stokastik terlebih dahulu dipahami mengenai aturan rantai untuk fungsi
deterministik yang telah dibahas pada bagian 2.4. Misalkan f dan g fungsi deterministik yang diferensiabel di x maka aturan
rantai untuk diferensiasinya adalah
f g x f g x
g x
. . . 2.30 Persamaan 2.30 ditulis dalam bentuk diferensial menjadi
d f g f g dg
yang mana fungsi tersebut juga diferensiabel dalam t biasa ditulis sebagai uraian Taylor
2
1 ...
2 f g t
dg t f g t
f g t dg t
f g t dg t
. . . 2.31 disini
dg t g t dt
g t
adalah kenaikan dari g di [t, t+dt]. Orde dua dan orde yang lebih tinggi dari ekspansi taylor ini dapat diabaikan untuk dt yang kecil.
Uraian taylor 2.31 diterapkan untuk kasus yang lebih umum. Misalkan ,
t
f t X memiliki turunan parsial yang kontinu paling sedikit orde dua maka uraian taylor 2.31 menjadi
2 1
2 11
2 ,
12 22
1 ,X
,X ,X
,X ,X
2 2
,X ,X
t t
t t
t t
t t
t t
t dt
f t d f t
f t dt
f t dX
f t
dt f
t dtdX
f t dX
. . . 2.32
Universitas Sumatera Utara
27
di mana
1 2
1 2
,
, ,
i i
x t x X
f t X f x x
x
, i =1,2,
. . . 3.33
dan
1 2
1 2
,
, ,
i j i
j
x t x X
f t X f x x
x x
, i, j =1,2.
. . . 3.34 Persamaan 2.31 dapat ditulis menjadi
2 2
2 2
2 2
1 ,
, ,
, 2
1 ,
, 2
t t
t t
t t
t t
t t
t t
df t X f t X dt
f t X dX t X dt
t X
t f t X dtdX
t X dX t X
X
. . . 2.35
Misalkan persamaan diferensial stokastik berbentuk . . . 2.36
Dengan mensubtitusikan 2.35 ke persamaan 2.36 dapat diperoleh
2 2
2 2
2 2
, ,
, ,
, 1
, ,
, 2
1 ,
, ,
, 2
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
df t X f t X dt
f t X a t X dt
b t X dW t
X f t X dt
f t X dt a t X dt t
t X b t X dW
t X a t X dt
b t X dW X
. . . 2.37
atau dapat ditulis menjadi
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
, ,
, ,
1 ,
, ,
2 ,
, ,
, 1
, ,
2 , ,
, 2
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t
df t X f t X dt a t X
f t X dt t
X b t X
f t X dW t X dt
X t
a t X f t X dt
b t X f t X dW
t X t X
t X a t X
dt a t X b t X dtdW
b t X d W
X
. . . 2.38
Dengan mengabaikan suku dengan orde yang lebih tinggi, persamaan 2.38 menjadi
2 2
2 2
, ,
, ,
, ,
1 ,
, 2
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t
df t X f t X
dt a t X
f t X dt
t X
b t X f t X
dW X
b t X t X
dW X
. . . 2.39
Karena
2 t
dW dt
maka persamaan 2.39 menjadi
Universitas Sumatera Utara
28
2 2
2
, ,
, ,
1 ,
, ,
, 2
t t
t t
t t
t t
t t
t t
df t X f t X dt a t X
f t X dt t
X b t X
f t X dW b t X
t X dt X
X
. . . 2.40
atau
2 2
2
, ,
, ,
1 ,
, ,
, 2
t t
t t
t
t t
t t
t t
t
df t X f t X
a t X f t X
t X
b t X t X
dt b t X
f t X dW X
X
. . . 2.41
Persamaan 2.41 kemudian dikenal dengan Lemma Ito yang ditulis secara lengkap sebagai berikut:
Lemma 2.15.1 X. S. Lin, 2006
Misalkan
t
X memenuhi persamaan diferensial stokastik pada persamaan 2.35 dan
,
t
f t X adalah suatu fungsi yang memiliki turunan parsial yang kontinu paling sedikit orde dua dan dapat diturunkan sebanyak dua kali maka
2 2
2
, ,
, ,
1 ,
, ,
, 2
t t
t t
t
t t
t t
t t
t
df t X f t X
a t X f t X
t X
b t X t X
dt b t X
f t X dW X
X
.
2.16 Solusi Persamaan Diferensial Stokastik
