Model Optimisasi Portofolio Investasi

BAB 3 PORTOFOLIO OPTIMAL

Pada bab ini akan dibahas mengenai portofolio investasi yang optimal. Dalam menetukan portofolio investasi optimal ini akan ditentukan proporsi dari kekayaan investor pada investasi pada aset berisiko dan aset tidak berisiko dengan menggunakan teori-teori yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya. Sebelumnya dimodelkan suatu portofolio investasi di mana model portofolio investasi yang dibentuk dengan persamaan diferensial stokastik diselesaikan dengan lemma Ito. Selanjutnya ditentukan proporsi optimal dari portofolio investasi dengan teori kontrol optimal. Dengan proporsi optimal ini diharapkan investor dapat memperoleh hasil yang maksimal saat berinvestasi. Pada penentuan portofolio optimal ini, investor bersifat menghindari risiko atau risk averse sehingga digunakan fungsi utilitas yang telah dibahas pada bab sebelumnya. Pada tulisan ini solusi dari model portofolio optimal akan digunakan pada simulasi yang akan dibahas pada bab selanjutnya.

3.1 Model Optimisasi Portofolio Investasi

a. Model Investasi pada aset tidak berisiko Investasi keuangan yang ditanamkan digolongkan ke dalam dua jenis yaitu investasi pada aset berisiko dan investasi pada aset tidak berisiko. Aset tidak berisiko adalah aset yang tingkat return di masa depan dapat diprediksikan saat ini. Aset tidak berisiko mempunyai return rendah tetapi bukan tetapi tidak memiliki risiko Engels, 2004. Model investasi pada aset tidak beresiko adalah model eksponensial dengan waktu kontinu dimana tidak terdapat faktor acak kepastian. Contoh investasi pada aset tidak berisiko adalah menabung uang di bank dengan memperoleh return dari bunga bank. Misalkan sejumlah uang ditabung di bank dan mendapatkan bunga sebesar r dalam per tahun. Misalkan St menyatakan jumlah tabungan saat t. Bunga Universitas Sumatera Utara 36 dari tabungan itu juga ditabung dan mendapatkan bunga yang sama, yaitu r. Hal ini disebut dengan istilah bunga berbunga compound interest. Setiap bank memiliki aturan tentang bunga yang berbeda-beda yang dihitung bulanan, mingguan dan bahkan harian. Dalam selang waktu , besar tabungan St menjadi St + yang dapat dituliskan sebagai berikut: S t t S t rS t t      sehingga besarnya bunga tetap adalah S t t S t rS t t      . Jadi S t t S t rS t t      . Diasumsikan bahwa tabungan berbunga secara kontinu sehingga jika diambil limit untuk t   , maka lim t S t t S t rS t t        berubah menjadi dS r S dt  atau dS r dt S  . Misalkan saat awal investasi dalan bentuk tabungan S S  , maka solusi persamaan diferensial biasa diperoleh rt S t S e  . Sehingga model persamaan investasi pada aset tidak beresiko dalam bentuk tabungan dapat ditulis dalam bentuk t t dS aS dt  . . . 3.1 di mana t S : jumlah uang yang ditabung pada saat waktu t. a : bunga bank. b. Model Investasi pada aset berisiko Aset beresiko adalah aset-aset yang tingkat return aktualnya di masa depan masih mengandung ketidakpastian. Model untuk investasi berisiko merupakan model investasi tidak berisiko ditambahkan faktor acak dalam hal ini fluktuasi harga saham yang berubah-ubah dan menjadikannya tidak pasti. Menurut Ruey 2002 mengenai hipotesis efisiensi pasar bahwa harga saham merupakan gerak random. Hipotesis efisiensi pasar ini dipengaruhi oleh dua faktor yaitu keadaan saham pada waktu lalu yang berpengaruh pada harga saham saat ini dan respon saham terhadap informasi baru tentang saham. Berdasarkan kedua faktor ini dapat dikatakan bahwa perubahan harga saham mengikuti proses Markov. Proses Markov merupakan proses stokastik Universitas Sumatera Utara 37 dimana hanya harga saat ini yang berpengaruh untuk memprediksi harga yang akan datang. Harga saham dilambangkan dengan S dan waktu dilambangkan oleh t. Perubahan harga saham dinyatakan dS pada interval waktu dt. Model umum return dari aset dinyatakan dengan dS S yang terdiri atas dua bagian. Bagian pertama adalah bagian deterministik yang dilambangkan dengan  dt . Ukuran dari rata-rata pertumbuhan harga saham atau lebih dikenal sebagai drift ditunjukkan sebagai  . Sedangkan bagian kedua merupakan model perubahan harga saham secara random yang disebabkan oleh faktor eksternal. Faktor eksternal dilambangkan dengan t dW  . Nilai  didefinisikan sebagai volatilitas dari saham yang digunakan untuk mengukur standar deviasi dari return dan dapat dinyatakan sebagai fungsi dari S dan t. Nilai  dan  dapat diestimasi menggunakan harga saham pada hari sebelumnya H. Mete Soner, 2004. Model harga saham yang dipengaruhi oleh nilai dan dengan masing- masing bergantung pada S dan t dirumuskan sebagai berikut t dS dt dW S     dengan  : return nilai ekspektasi tingkat suku bunga saham.  : volatilitas saham yang merupakan standar deviasi dari return. t dW : gerak Brown atau proses Wiener. Volatilitas harga saham dapat dikatakan sebagai ketidakpastian dan resiko kepemilikan suatu aset dari investasi berisiko atau sering diartikan sebagai standar deviasi dari perubahan harga aset dalam suatu saham. Jika volatilitasnya nol  0 dan  konstan maka model menjadi dS dt S   t S S t dS dt S t S S e       Universitas Sumatera Utara 38 Model harga saham dengan volatilitas nol dan tingkat suku bunga saham konstan ini serupa dengan model investasi tidak berisiko dalam bentuk tabungan. Sehingga dalam dibentuk portofolio gabungan antara investasi aset tidak berisiko dan berisiko di mana portofolio gabungan tersebut merupakan penjumlahan dari model tabungan dan harga saham. c. Model portofolio Merton Diawal tahun 1969, P. A. Samuelson telah terlebih dahulu mengembangkan sebuah model pemilihan portofolio tetapi didalam waktu diskrit dengan distribusi peluang. Kemudian Merton 1970 meneliti masalah penggabungan portofolio optimal dengan adanya konsumsi yang dikeluarkan oleh investor sebagai sebuah model dengan waktu kontinu. Di mana pendapatankekayaan investor bersumber dari return setiap aset yang diinvestasikan. Return atau percepatan pergerakan harga growth rate dari portofolio inilah merupakan parameter stokastik. Portofolio optimal yang dimodelkan oleh Merton adalah portofolio dengan banyak aset multi asset dimana rata-rata rate of return dihasilkan dari sebuah proses Wiener. Dalam kasus biasa model waktu kontinu yang pasti certain continuous-time model, persamaaan kekayaan adalah sebuah persamaan diferensial. Tetapi adanya faktor ketidakpastian yang direpresentasikan dengan variabel acak menyebabkan persamaan kekayaan tersebut menjadi persamaan diferensial stokastik. Model portfolio Merton ini adalah model dari jumlah keuntungan yang diperoleh investor apabila seorang investor memiliki sejumlah kekayaan dan investor tersebut menggunakan uangnya untuk diinvestasikan pada aset berisiko, aset tidak berisiko dan dihitung juga pemakaian konsumsi oleh investor. Dalam tulisannya, Merton menggabungkan kedua model aset tersebut dengan obligasi sebagai aset tidak berisiko sedangkan saham sebagai aset berisiko. Tetapi dalam tulisan ini model aset tidak berisiko Merton dalam bentuk obligasi diganti dalam bentuk tabungan di bank dan konsumsi dari investor tidak disertakan dalam Universitas Sumatera Utara 39 pembentukan portofolio yang bertujuan untuk membatasi pembahasan portofolio optimal yang dibentuk. Seorang investor memiliki sejumlah kekayaannya dan ingin membagi kekayaannya untuk dinvestasikan di kedua aset investasi dalam bentuk portofolio tanpa menghitung pemakaian konsumsi oleh investor. Dengan menggabungkan kedua model tersebut diharapkan akan diperoleh model jumlah keuntungan kekayaan investor. Kembali dituliskan model persamaan investasi pada aset tidak beresiko dalam bentuk tabungan dapat ditulis dalam bentuk t t dS aS dt  . . . 3.1 di mana t S : jumlah uang yang ditabung pada saat waktu t. a : bunga bank. Sementara model persamaan investasi berisiko pada saat waktu t dituliskan dalam bentuk 1 1 1 t t t t dS bS dt S dW    . . . . 3.2 di mana b : return nilai ekspektasi tingkat suku bunga saham.  : volatilitas harga saham. 1 t S : jumlah uang diperoleh dari berinvestasi di saham. Misalkan u merupakan proporsi kekayaan investor pada investasi berisiko sehingga 1-u merupakan proporsi kekayaan investor pada investasi tidak berisiko. Persamaan kekayaan investor tersebut dapat dituliskan menjadi 1 1 t t t d S u dS u dS    . . . 3.3 atau       1 1 1 t t t t t dS u u b S dt aS t dW d S      . . . 3.4 Persamaan yang diinginkan adalah persamaan kekayaan investor pada aset berisiko dan tidak berisiko sehingga selanjutnya 1 , , t t t S S S diganti dengan kekayaan investor pada saat t waktu dilambangkan dengan t X yang dapat ditulis sebagai berikut: Universitas Sumatera Utara 40      1 t t t t t dX u X u bX dt a t dW d X      . . . 3.5 Persamaan 3.5 dapat disederhanakan menjadi     t t t t dt dX a u b a X u X dW      . . . 3.6 Persamaan 3.6 adalah model portofolio investasi pada dua aset investasi berbeda yang akan ditentukan besar proporsi kekayaan investor yang diinvestasikan. Keuntungan investasi berisiko berpotensi lebih besar dibanding dengan keuntungan investasi tidak berisiko maka dapat diasumsikan bahwa nilai b a.

3.2 Proporsi Portofolio Optimal