21 interval positif yaitu antara 0 sampai dengan tak terhingga
. Nilai volatilitas yang tinggi menunjukkan bahwa nilai aset berubah dengan sangat cepat.
Salah satu metode untuk mengestimasi volatilitas adalah analisis yang berdasarkan nilai-nilai aset masa lalu kemudian diperoleh sejumlah return
tingkat keuntungan yang diperoleh dari akibat melakukan investasi yang dimajemukkan secara kontinu dan diperoleh estimasi variansnya sebagai berikut:
1
1 ln
1
n t
R r
t n
. . . 2.24
Di mana
t
R
adalah return majemuk secara kontinu dan r menotasikan rata-rata
dari log return John Hull, 2003.
2.12.3 Sifat Markov
Definisi 2.12.3 Sifat Markov adalah sifat nilai harapan suatu variabel random ke-
I dari suatu proses stokastik X
i
dengan syarat semua nilai variabel random yang sebelumnya diketahui hanya bergantung pada nilai variabel random ke- i-1 atau
X
i 1
tetapi nilai harapan tersebut tidak harus sama dengan nilai variabel random ke- i-1. Sifat Markov dinotasikan dengan
E X
i
| X
1
, X
2
,..., X
i 1
E X
i
| X
i 1
. . . . 2.25
2.13 Proses Wiener Gerak brown Baku
2.13.1 Sejarah Gerak Brown
Pada tahun 1827, ahli Botani bernama Robert Brown menggunakan mikroskop mengamati pergerakan yang menarik dari serbuk bunga yang terlarut dalam suatu
cairan di mana partikel-partikel di dalam serbuk bunga tesebut tampak bergerak
Universitas Sumatera Utara
22 acak. Brown menemukan faktor-faktor penting yang mempengaruhi gerakan
partikel tersebut, tetapi tidak mengerti penyebab partikel-partikel berkelakuan seperti itu. Oleh karenanya, gerakan partikel yang acak ini dinamai sebagai gerak
Brown untuk menghargai kontribusi Brown. Penjelasan gerak acak atau gerak Brown ini secara matematis pertama kali
berhasil dirumuskan oleh Thorvald Thiele pada tahun 1880. Kemudian pada tahun 1900 matematikawan Prancis bernama Louis Bachelier menulis tesis doktornya
yang berjudul “Teori Spekulasi”, yang merupakan analisis matematis pertama terhadap pasar saham. Di sisi lain, Bachelier juga menyinggung persoalan gerak
Brown yang dikaitkan dengan pemodelan pasar, yang sama-sama tampak acak. Sedangkan masalah pada saat itu adalah, para ilmuwan masih tidak bisa
menemukan keterkaitan antara rumusan matematis dari konsep keteracakan dengan sumber penyebab gerak Brown, karena sumber gerak Brown itu sendiri
masih tidak diketahui. Permasalahan ini akhirnya dipecahkan oleh Albert Einstein pada 1905 di
dalam 3 makalahnya. Hasil penelitian Einstein ini bersama dengan penelitian lainnya pada tahun 1906 oleh ilmuwan Polandia bernama Marian Smoluchowski
menjadi solusi penjelasan terhadap gerak Brown yang dapat diterima hingga saat ini. Penelitian terhadap gerak Brown ini menjadi salah satu tonggak dimulainya
pengembangan konsep matematis untuk keteracakan serta teori probabilitas.
2.13.2. Symmetric Random Walk
Sebuah koin dilempar atau di-toss berkali-kali dan hasilnya merupakan variabel acak
j
X dengan
1, 2,... j
untuk
j j
1 bila ω =H
-1 bila ω =T
j j
X
. Hasil pelemparan antara
koin pertama dengan pelemparan koin selanjutnya adalah saling bebas sehingga dapat diasumsikan bahwa
1 2
, ,...
X X
saling bebas dan
1 2
P M P B
. Oleh definisi, variabel acak
X
j
memiliki sifat-sifat sebagai berikut: 1.
1 1
[ ] 1.
1. T 1. 1.
2 2
E X P H
P
j
Universitas Sumatera Utara
23 2.
2 2
1 1
var[ ] 1
1 T 1.
1. 1
2 2
X P H
P
j
3. Fungsi Pembangkit Momen dari
X
j
adalah
1 1
. .
. 2
2
j
X u
j u
u u
u
uX
E e e P H
e P T e
e
Definisikan
1 2
: ...
k k
M X
X X
X atau
k k
j j
M X
dengan
X
sehingga proses
k k
M
akan disebut sebagai symmetric random walk. Symmetric random walk
k k
M
memiliki beberapa sifat sebagai berikut: 1.
1 1
k k
k j
j j
j
E M E
X E X
. . . 2.26
2.
1 k
j j
k
Var Var X
M
. . . 2.27 3.
Inkremen dari
k
M adalah saling bebas.
2.13.3 Scaled Symmetric Random Walk
