28
2 2
2
, ,
, ,
1 ,
, ,
, 2
t t
t t
t t
t t
t t
t t
df t X f t X dt a t X
f t X dt t
X b t X
f t X dW b t X
t X dt X
X
. . . 2.40
atau
2 2
2
, ,
, ,
1 ,
, ,
, 2
t t
t t
t
t t
t t
t t
t
df t X f t X
a t X f t X
t X
b t X t X
dt b t X
f t X dW X
X
. . . 2.41
Persamaan 2.41 kemudian dikenal dengan Lemma Ito yang ditulis secara lengkap sebagai berikut:
Lemma 2.15.1 X. S. Lin, 2006
Misalkan
t
X memenuhi persamaan diferensial stokastik pada persamaan 2.35 dan
,
t
f t X adalah suatu fungsi yang memiliki turunan parsial yang kontinu paling sedikit orde dua dan dapat diturunkan sebanyak dua kali maka
2 2
2
, ,
, ,
1 ,
, ,
, 2
t t
t t
t
t t
t t
t t
t
df t X f t X
a t X f t X
t X
b t X t X
dt b t X
f t X dW X
X
.
2.16 Solusi Persamaan Diferensial Stokastik
Persamaan 2.28 dapat dituliskan ke dalam bentuk persamaan integral sebagai berikut
, ,
t t
t s
s s
X X
a s X ds
b s X dW
, st . . . 2.42
Solusi dari
t
X
dapat diperoleh dengan menggunakan lemma Ito seperti pada subbab 2.14. Berikut diberikan contoh untuk menentukan persamaan diferensial
stokastik.
Contoh 2.16.1 Suatu model dari investasi dari penanaman suatu saham adalah
t t
t t
dX X dt
X dW
. . . . 2.43
Universitas Sumatera Utara
29 Dengan
t
dX adalah perubahan harga saham,
t
X adalah jumlah uang yang diperoleh investasi pada saham,
adalah rata-rata rate of return RoR dan
adalah volatilitas harga saham. Rate of return dihitung dengan rumus
1 1
100 D
P P
RoR P
. . . 2.44 dengan
1
D adalah deviden, P adalah harga saham saat pembelian dan
1
P adalah harga saham saat penjualan. Misalkan t,
ln
t t
f X
X
sehingga
2 2
2
1 1
t, 0,
t, ,
t,
t t
t t
t t
t
f X
f X
f X
t X
X X
X
. . . 2.45 Dengan menggunakan Lemma 2.14.1 diperoleh
2 2
2 2
1 1
1 1
ln 2
t t
t t
t t
t t
d X
X X
dt X
dW X
X X
. . . 2.46 Dengan mengintegralkan persamaan 2.46 diperoleh
2 2
2 2
1 1
1 1
ln .
2
t t
t t
t t
t t
t t
t
d X
X X
dt X
dW X
X X
. . . 2.47 Dari persamaan 2.47 dapat diperoleh hasil sebagai berikut
2
1 ln
ln 2
t t
X X
t t
W
. . . 2.48
2
1 ln
2
t t
X t
t W
X
. . . 2.49
2
1 2
t
t t
W t
X e
X
. . . 2.50 Sehingga solusi dari persamaan diferensial stokastik model investasi pada saham
untuk contoh 2.16.1 adalah
2
1 2
t
t W
t
X X e
. . . . 2.51
Universitas Sumatera Utara
30
2.17 Teori Kontrol Optimal
Teori kontrol optimal untuk sistem yang berbentuk stokastik dengan keadaan sistemnya berbentuk persamaan diferensial stokastik seperti persamaan 2.28
dengan memuat suatu parameter yang mengatur sistem atau kontrol u yang meminimumkan atau memaksimumkan fungsi keuntungan index performance
, , , ,
, x
T t
J t x u E
F s x u K T
. . . 2.52 Index performance merupakan ekspektasi sebuah fungsi karena dalam sistem yang
berbentuk stokastik maka hanya dapat diambil ekspektasi dari suatu nilai. Dalam teori kontrol optimal ini terdapat nilai minimum min atau nilai
maksimum max yang disebut dengan value function yang dilambangkan dengan
, V t x
. Value function tersebut harus harus memenuhi persamaan Hamilton- Jacobi-Bellman yaitu suatu persamaan yang memberikan nilai optimal value
function pada suatu sistem dinamik dengan fungsi keuntungan index performance sebagai berikut
, min , , V t x
J t x u
atau
, max , ,
V t x J t x u
. . . 2.53 Berdasarkan persamaan diferensial stokastik seperti pada persamaan 2.28
dengan fungsi keuntungan pada persamaan 2.52, nilai optimal pada persamaan 2.53 dapat ditulis menjadi
, max
, , ,
T t
V t x E
F s x u ds K T x
. . . 2.54 Dengan kondisi akhir
T, ,
V x
K T x
sehingga persamaan 2.54 berubah menjadi
, max
, , T,
T t
V t x E
F s x u ds V x
. . . 2.55 Misalkan
T t
dt
sehingga dapat diperoleh deret taylor untuk T,
,
t dt
V x
V t dt X
dengan
t
X x
pada saat
t
. Deret Taylor ,
t dt
V t dt X
sebagai berikut
Universitas Sumatera Utara
31
2 2
2 2
2 2
, ,
, ,
1 ,
, 2
1 ,
2
t dt t
t t
t t
t t
t t
t t
t
V t dt X
V t X V t X dt
V t X dX t
X V t X dt
V t X dtdX t
t X V t X dX
X
. . . 2.56
Dengan mensubstitusikan persamaan 2.41 ke persamaan 2.56 dan mengabaikan suku dengan orde yang lebih tinggi diperoleh
2 2
2
, ,
, ,
, ,
, ,
, 1
, ,
, ,
, ,
2 ,
, ,
t dt t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
V t dt X
V t X V t X dt
t V t X
u u
X V t X dt
u u
a t X dt
b t X dW
a t X dt
b t X dW
t X V t X
u a t X
dt b t
u X
X dW
. . . 2.57
Karena
2 dW
dt t
sehingga diperoleh
, ,
2 ,
, ,
, ,
, ,
, 2
1 ,
, 2
2 V t
dt X V t X
V t X dt
t dt
t t
t u
V a t X
dt b t X
dW t
t X u
V t X t
t X
X t
t u
V t X t
t b t X
t t
dt x
. . . 2.58
Persamaan 2.57 ketika
t
X x
pada saat
t
dapat ditulis menjadi
2 2
2
, ,
, ,
, ,
, ,
1 ,
, 2
, ,
t
t dt
V t dt X
V t x V t x dt
t u
V t a t x
dt b t x
d x
u V t x
x x
u V t x dt
x W
b t x
. . . 2.59
Karena
, ,
t dt
V T x V t dt X
sehingga jika persamaan 2.59 disubstitusikan ke persamaan 2.53 diperoleh
Universitas Sumatera Utara
32
2
, ,
, ,
max , ,
, ,
, ,
, ,
2 1
, ,
2 2
T t
V t x E
F s x u ds V t x V t x dt
t u
V a
t x u
V t x x
x u
V t x
dt b t x
dW t
b t t x
x dt
x
. . .
2.60 Persamaan 2.60 dapat ditulis ke dalam bentuk
2 2
2
max t, ,
, ,
, 1
, ,
, ,
, ,
, 2
a t x dt
b t x dW
E F x u dt
V t x dt u
V t x t
x u
V t x u
V t x d x
b t t
t x
x
. . . 2.61
Dengan membagi persamaan 2.60 dengan dt dan menyelesaikan integral dengan teorema nilai rata-rata maka diperoleh
2 2
2
1 , max
t, , ,
, ,
, ,
2 ,
, V t x
F x u V t x
u V t x
a t x b t x u
V t x t
x x
. . . 2.62 atau
2 2
2
1 , max
t, , ,
, ,
2 ,
, a t x
b t V t x
F x u
u u
t t
x V
x x
x
. . . 2.63 Misalkan L merupakan operator linier yang berbentuk
2 2
2
1 ,
, 2
, ,
L u
u t
x x
a t x b
t x
Maka persamaan 2.63 menjadi
, max
t, , ,
V t x F
x u LV t x
. . . 2.64 Persamaan 2.64 diatas adalah persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman
HJB. Persamaan HJB ini digunakan untuk menentukan nilai optimal
, V t x
yang belum diketauhi nilainya. Apabila nilai
, V t x
diketahui maka kontrol u dapat ditentukan.
Universitas Sumatera Utara
33
2.18 Simulasi
