19
2 3
1
,
, ,
...,
t t
t tn
X X
X X
independen. Proses dikatakan mempunyai kenaikan stasioner jika
t s t
X X
mempunyai distribusi yang sama untuk semua t.
Contoh 2.12.2
t
X p
qt
dengan p dan q adalah masing-masing variabel acak maka
X
t
yang merupakan jumlahan p dan q adalah kumpulan variabel acak sehingga
X
t
merupakan proses stokastik.
2.12.2 Data Deret Waktu
Data deret waktu merupakan sekumpulan observasi yang terurut dalam waktu dengan jarak interval sama Box dan Jenkins, 1970. Data deret waktu disebut
proses stokastik dikarenakan data saling berkaitan dalam rentang waktu yang sama Wei, 2006. Saat ini data deret waktu keuangan financial prices dapat diperoleh
dengan mudah, misalnya harga saham dan nilai kurs sehingga dapat dibangun model peluang terbaik yang dapat digunakan untuk memprediksi harganilai di
masa yang akan datang. Data dari harga aset menghasilkan deret waktu. Deret waktu adalah proses stokastik yang menggunakan waktu integer didalam
prosesnya. Pemodelan portofolio dapat dimulai dengan mendefinisikan imbal hasil
return dan volatilitas volatility sebagai statistik. Distribusi return dan volatilitas yang tepat dapat memberi gambaran perilaku data deret waktu.
Pemodelan return pada dasarnya adalah pemodelan volatilitas. Proses atau model stokastik untuk harga tidak dapat dibangun dengan mudah.
a. Model Stokastik Return
Pada awalnya, sejumlah n+1 nilai aset yang harus diketahui baik melalui publikasi finansial atau database komputer. Harga-harga tersebut kemudian
digunakan untuk menghitung sejumlah return tingkat keuntungan yang diperoleh dari akibat melakukan investasi yang dimajemukkan secara kontinu sebagai
berikut:
Universitas Sumatera Utara
20
1 t
t
V Rt
V
. . . 2.22
Di mana
t
V
dan
1 t
V
menotasikan nilai aset pada waktu ke-t dan t-1.
Proses stokastik adalah barisan return acak dengan distribusi
probabilitas yang ditentukan oleh vektor parameter . Model stokastik untuk
return dapat dituliskan sebagai berikut:
t t
t
R
. . . 2.22b di mana
t
: Volatilitas harga
t
: Proses wiener berdistribusi normal Sedangkan Rate of Return adalah tingkat pengembalian atau tingkat bunga
yang diterima investor atas investasi tanpa amortisasi untuk menghitung tingkat pengembalian atas investasi.
Tinggi rendahnya tingkat keuntungan yang diterima portofolio dipengaruhi oleh tingkat keuntungan investasi tidak berisiko risk free rate dan risk premiun
dari investasi berisiko dengan tujuan utuk mengurangi risiko pada aset portofolio yang dapat ditulis dalam persamaan sebagai berikut:
R R
Risk Premium p
f
. . . 2.23 di mana
Rp
: Rate of Return.
Rf
: Risk Free Rate. John Hull, 2003
b. Model Stokastik Volatilitas
Volatilitas adalah besarnya nilai fluktuasi sebuah aset. Volatilitas adalah variansistandar deviasi bersyarat dan sering diartikan sebagai suatu ukuran yang
menyatakan sebaran data relatif terhadap meannya. Volatilitas menyatakan risiko dan merupakan ukuran risiko paling sederhana dan setiap ukuran risiko adalah
fungsi dari volatilitas. Semakin besar volatilitas aset, maka semakin besar kemungkinan mengalami keuntungan atau kerugian. Nilai volatilitas berada pada
Universitas Sumatera Utara
21 interval positif yaitu antara 0 sampai dengan tak terhingga
. Nilai volatilitas yang tinggi menunjukkan bahwa nilai aset berubah dengan sangat cepat.
Salah satu metode untuk mengestimasi volatilitas adalah analisis yang berdasarkan nilai-nilai aset masa lalu kemudian diperoleh sejumlah return
tingkat keuntungan yang diperoleh dari akibat melakukan investasi yang dimajemukkan secara kontinu dan diperoleh estimasi variansnya sebagai berikut:
1
1 ln
1
n t
R r
t n
. . . 2.24
Di mana
t
R
adalah return majemuk secara kontinu dan r menotasikan rata-rata
dari log return John Hull, 2003.
2.12.3 Sifat Markov
