9
3. Fungsi utilitas
Secara umum, utilitas mengukur besarnya kepuasan yang dirasakan dari sebuah objek. Ukuran ini dinyatakan dalam indeks utilitas utility index.
Jadi dapat disimpulkan bahwa penentuan indeks utilitas dipengaruhi oleh karakteristik individu.
Pemilihan portofolio untuk model utilitas yang diharapkan dilakukan dengan menganalisis utilitas dari setiap hasil yang mungkin diperoleh
investor. Objek yang dijadikan bahan pembahasan dari fungsi utilitas yang diharapkan adalah kekayaan wealth sehingga fungsi utilitas merupakan
fungsi kekayaan yang dilambangkan dengan Uw. Pilihan investasi pada aset berisiko didorong oleh adanya premium
yang dinilai sebanding dengan risiko yang dihadapi. Investor hanya mempertimbangkan terhadap pilihan investasi di bebas risiko dan investasi
yang memiliki risk premium positif. Risk premium adalah selisih antara rata- rata return investasi berisiko dengan rata-rata return investasi tidak berisiko
sehingga fungsi utilitas merupakan fungsi keuntungan pada portofolio. Pada kasus investor yang selalu berusaha menghindari risiko terdapat berbagai
macam fungsi utilitas yaitu: a
Utilitas Kuadratik Quadratic Utility b
Utilitas Eksponensial Eksponensial Utility c
Utilitas Pangkat Power Utility
2.4 Turunan
Definisi 2.4.1. Turunan fungsi f dari x atau fx adalah
f x h f x
f x
h
. Selanjutnya jika U dan V adalah fungsi-fungsi dari x yang dapat didiferensialkan
maka
d dV
dU UV
U V
dx dx
dx
. . . . 2.1
Universitas Sumatera Utara
10
Teorema 2.4.2 Verbeg, Purcell dan Rigdon, 2010
Misalkan y = fu dan u = gx. Jika g terdiferensiasikan di u = gx, maka fungsi komposit
, f
g
yang didefinisikan oleh
f g
x f g x
, akan didiferensialkan di x sehingga
x
f g
x D
f g x f
g x g x
. . . 2.2
Definisi 2.4.3. Turunan Parsial
, Z
f x y
suatu fungsi dengan variabel x dan y dikatakan turunan pasial 1.
Jika x berubah tetapi y tetap maka turunan parsial terhadap x adalah
, ,
, lim
x
Z f x
x y f x y
f x y x
x x
. . . 2.3 2.
Jika y berubah tetapi x tetap maka turunan parsial terhadap y adalah
. . . 2.4
Andaikan
, Z
f x y
fungsi kontinu pada variabel x dan y dengan turunan parsial terhadap x adalah
Z x
dan turunan parsial ke y adalah
Z y
Kartono, 1994. Jika x, y merupakan fungsi yang dapat didiferensialkan dengan
, x
g t y
h t
pada suatu variabel t maka Z merupakan fungsi dari t dan
Z t
disebut turunan total dari Z dengan memperhatikan
Z Z
x Z
y t
x t
y t
. . . . 2.5
2.5 Integral
Integral merupakan kebalikan dari diferensial atau anti diferensial. Integral ada dua jenis yaitu
1. Integral tak tentu yaitu integral yang tidak memiliki batas-batas integral.
, ,
, lim
y
Z f x y
y f x y
f x y y
y y
Universitas Sumatera Utara
11
Definisi 2.5.1. Fungsi F disebut anti turunan dari fungsi f dinotasikan
dengan Af atau F x dx
bila
F x f x
. Lebih lengkap dituliskan sebagai berikut: Jika
d F x c dF x
F x
maka
, F x dx
dF x F x c
dimana
. c
2. Integral tentu yang diambil pada suatu daerah atau interval tertentu.
Definisi 2.5.2. Suatu fungsi fx yang kontinu pada interval
a x
b
maka
1
lim
n k
k n
k
b a
f x dx f x
x
. . . 2.6a
|
b b
a a
dF x dx F x
F b F a
. . . 2.6b
Definisi 2.5.3. Jika Fx = Ux.Vx fungsi yang kontinu pada interval [a, b]
maka
b b
b a
a a
U x dV x dF x dx
V x dU x
. . . 2.7a atau
b b
a a
U x dV x F b
F a V x dU x
. . . 2.7b Selain dari kedua jenis integral tersebut terdapat juga integral parsial. Di
dalam diferensial diketahui bahwa jika U dan V adalah fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan maka
d UV Udv
Vdu
apabila kedua ruas diintegralkan diperoleh
UV UdV
VdU
. . . 2.8
UdV UV
VdU
. . . 2.9 Integral parsial yang sering juga dikenal dengan integral by part memiliki
sifat umum sebagai berikut a.
Peranan dalam memilih
dV
diutamakan yang lebih mudah diintegralkan. b.
VdU
sebaiknya tidak lebih sulit dari pada
UdV
.
2.6 Pendiferensialan Integral
