40
1
t t
t t
t
dX u
X u bX dt
a t
dW d
X
. . . 3.5 Persamaan 3.5 dapat disederhanakan menjadi
t t
t t
dt dX
a u b a X u X dW
. . . 3.6 Persamaan 3.6 adalah model portofolio investasi pada dua aset investasi
berbeda yang akan ditentukan besar proporsi kekayaan investor yang diinvestasikan. Keuntungan investasi berisiko berpotensi lebih besar dibanding
dengan keuntungan investasi tidak berisiko maka dapat diasumsikan bahwa nilai b a.
3.2 Proporsi Portofolio Optimal
Setelah kita mengetahui model persamaan dari kekayaan investor, selanjutnya akan ditemukan proporsi dari kekayaan investor yang digunakan untuk investasi
berisiko yaitu u dengan tujuan untuk memperoleh kekayaan investor maksimal yang diperoleh dari keuntungan berinvestasi. Teori kontrol optimal pada
persamaan diferensial stokastik yang telah dijelaskan pada Bab 2 bertujuan untuk memperoleh besarnya u sesuai yang diinginkan.
Model persamaan diferensial stokastik untuk portofolio optimal kembali dituliskan sebagai berikut
t t
t t
dt dX
a u b a X u X dW
. . . 3.7 Akan dimaksimalkan ekspektasi fungsi keuntungan berupa suatu fungsi utilitas
berbentuk fungsi pangkat power function yaitu
y
U x x
. . . 3.8
dengan
x
dan
1 y
. y adalah risk premium. Risk premium merupakan selisih antara rata-rata return dari saham dan return dari menabung di bank.
Persamaan fungsi keuntungannya berbentuk
,
T
J t x E U X
. . . 3.9 Sehingga masalah pemilihan portofolio bagi investor sampai dengan tahun ke- T
dirumuskan sebagai berikut
Universitas Sumatera Utara
41
, max
t, , ,
T
J t x E
F x u dt
K T x
. . . 3.10
Nilai maksimum fungsi keuntungan tersebut dilambangkan dengan
, V t x
berbentuk
, max , V t x
J t x
. . . 3.11 di mana
, V t x
harus memenuhi persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman HJB yaitu
max ,
LV t x
. . . 3.12 Dengan keadaan akhir yang diinginkan adalah
, V t x
U x
. . . 3.13 dengan L adalah operator linier yang mempunyai bentuk
2 2
2
, 1
, 2
, , L
p u
q u
t x
x t x
t x
. . . 3.14
Dari persamaan 3.7 diperoleh
, a u
p t x b a x
dan
, q t x
u x
sehingga persamaan 3.13 menjadi
2 2
2
1 2
a u b
a L
x t
x x
u x
. . . 3.15 atau
2 2
2 2
2
1 2
L x
t x
a u
x u b
a x
. . . 3.16 Kedua ruas dikalikan dengan
, V t x
sehingga persamaannya menjadi
2 2
2 2
2
1 ,
2 V
V V
LV t x x
a u
x b
t x
u a
x
. . . 3.17 Untuk menyederhanakan persamaan 3.17, misalkan
t
V V
t
,
x
V V
x
,
2
xx
V V
x
. . . 3.18
Sehingga persamaan 3.17 menjadi
Universitas Sumatera Utara
42
2 2
2
1 ,
2
t x
xx
a u b
LV t x V
x V a
u V
x
. . .3.19 Persamaan 3.19 diturunkan terhadap u agar diperoleh keadaan maksimal pada
saat
, LV t x
u
. . . 3.20
2 2
2
1 2
xx
t x
x
V V
xV a
a V
u b u
u x
. . . 3.21
sehingga persamaan 3.21 menjadi
2 2
x xx
b x
a V
u x V
. . . 3.22
diperoleh
2
x xx
b a x
V u
V
. . . 3.23
Subtitusikan persamaan 3.23 ke dalam persamaan 3.19
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 ,
2 1
, 2
x x
xx x
t xx
xx x
x t
x xx
xx
b a b a
a b a
x V
V LV t x
V x V
V V
V V
V LV t x
V axV V
x x
b a b a
x V
2 2
2
, 2
x t
x xx
V LV t x
V axV
V b a
x
. . . 3.24
Bentuk akhir dari persamaan 3.24 tersebut harus memenuhi persamaan 3.13 oleh karena itu dimisalkan suatu fungsi
, V t x
sebagai berikut
,
y
V t x f t x
. . . 3.25
Universitas Sumatera Utara
43 Kemudian subtitusi persamaan 3.25 ke persamaan 3.24 dengan memisalkan
2 2
1 2
, ,
, 1
y t
y x
y xx
V V t x
f t x t
V V t x
y f t x x
V V t x
y y f t x
x
.
. . 3.26
diperoleh
2 2
2 2
2 2
2
1 1
2
, 1
1 ,
1 2
, 2
2
y y
y y
y y
y y
y
y f t x LV t x
f t x ax y f t x
y y f t x
f t x a y f t x
y f t x y
y LV t
b a x
b a LV t x
b a x
f t x a y
f t x y
. . . 3.27
Misalkan
2 2
2 1
y a y
y b a
. . . 3.28
Sehingga persamaan 3.27 menjadi
,
y y
LV t x f t x
f t x
. . . 3.29
y y
f t x f t x
. . . 3.30 Persamaan 3.30 dapat diselesaikan sebagai berikut
ln
y y
f t x f t x
f t f t
df t f t
dt df t
dt f t
df t dt
f t f t
t
t
f t e
. . . 3.31
Universitas Sumatera Utara
44 Kemudian persamaan 3.31 disubtitusikan ke persamaan 3.25 diperoleh
,
y t
V t x e
x
. . . 3.32 Subtitusikan
persamaan 3.32
ke persamaan
3.23 dengan
1
,
y t
x
V V t x
ye x
x
dan
2 2
2
, 1
t y
xx
V V t x
y y e
x x
diperoleh
2 1
2
1
t y
t y
ye x
u b a
y y e
x x
. . . 3.33
2 2
1 1
b a y b a y
u y
u y
. . . 3.34
diperoleh proporsi u pada investasi berisiko yang memberikan keuntungan sebesar
2
1 u
a y y
b
. . . 3.35
dimana
1 u
dan
b a
.
3.3 Solusi Model Portofolio Optimal
