Misalkan sebuah peristiwa A dapat terjadi sebanyak x kali diantara n peristiwa yang saling bebas dan masing-masing terjadi dengan kesempatan yang sama. Maka peluang peristiwa A
terjadi adalah
n x
A P
=
Dimana : P A = Peluang terjadinya peristiwa A x = peristwa x
n = jumlah semua kemungkinan
2.1.1 Aksioma dan Teorema
Aksioma 1.
Untuk setiap kejadian A, O
A P
≥ . Aksioma ini menyatakan bahwa peluang dari setiap kejadian adalah nonnegatif.
Aksioma 2.
1 =
S P
. Aksioma ini menyatakan bahwa jika setiap kejadian pasti untuk terjadi, maka peluang dari
kejadian tersebut adalah 1.
Aksioma 3.
Untuk jumlah kejadian saling asing yang tidak terbatas ,...
, ,
3 2
1
A A
A
∑
∞ =
∞ =
=
1 1
i i
i i
A P
A P
Aksioma ini menyatakan bahwa untuk dua kejadian atau lebih yang saling asing, maka peluang dari suatu kejadian atau lebih yang terjadi adalah jumlah dari masing-masing
peluangnya.
Teorema 1
Universitas Sumatera Utara
= φ
P Bukti : Andaikan kejadian
,... ,
2 1
A A
sedemikian hingga φ
=
i
A untuk i= 1,2,….
Dengan adanya φ
φ φ
= ∩
, maka kejadian
i
A adalah kejadian saling asing, untuk i=1,2,… Berdasarkan aksioma 3, diperoleh :
1 1
1
= =
=
=
∑ ∑
∞ =
∞ =
∞ =
i i
i i
i
P A
P A
P P
φ φ
Teorema 2.
Untuk kejadian yang saling asing ,...
, ,
3 2
1
A A
A
∑
∞ =
∞ =
=
1 1
i i
i i
A P
A P
Bukti : Andaikan kejadian tak terbatas ,...
, ,
3 2
1
A A
A dimana
n
A A
A A
,... ,
,
3 2
1
dimana n adalah kejadian yang diberikan dan
φ =
i
A untuk
n i
. Maka untuk kejadian yang tak tebatas ini adalah saling asing dan
n i
i i
i
A A
1 1
= ∞
=
=
Melalui aksioma 3,dapat diperoleh :
∑ ∑
∑ ∑
∑
= =
∞ +
= =
∞ =
∞ =
=
= +
= +
= =
=
n i
i n
i i
n i
i n
i i
i i
i i
n i
i
A P
A P
A P
A P
A P
A P
A P
1 1
1 1
1 1
1
Universitas Sumatera Utara
Teorema 3.
Untuk setiap kejadian A, A
P A
P
c
− = 1
Bukti : Andaikan kejadian A dan
c
A saling asing dan
S A
A
c
= ∪
A P
A P
A P
A P
S P
untuk A
P A
P A
A P
S P
c c
c c
− =
+ =
= +
= ∪
=
1 1
1
Teorema 4.
Untuk setiap kejadian A, 1
≤ ≤ A
P Bukt i : Dari aksioma 1 diperoleh
≥ A
P Jika
1 ≥
A P
, maka dari teorema 3 ≤
c
A P
dimana ≤
c
A P
berkontradiksi dengan aksioma 1, yang menyatakan peluang setiap kejadian harus nonnegatif, maka
1 ≤
A P
sehingga 1
≤ ≤ A
P .
Teorema 5.
Jika
B A
⊂
, maka B
P A
P ≤
Bukti :Perhatikan gambar dibawah ini :
Gambar 2.1 Himpunan
c
BA A
B ∪
= Dari gambar, kejadian B adalah gabungan dari kejadian A dan
c
BA , sehingga
c
BA P
A P
B P
+ =
Dari aksioma1, ≥
c
BA P
S B
B
c
BA A
Universitas Sumatera Utara
Maka :
B P
A P
A P
B P
≤ ≥
Teorema 6.
Untuk dua kejadian A dan B AB
P B
P A
P B
A P
− +
= ∪
Bukti: Perhatikan gambar dibawah ini.
Gambar 2.2 Himpunan B
A ∪
Dari gambar dapat dituliskan B
A AB
AB B
A
c c
∪ ∪
= ∪
Dari teorema 2 di dapat
{ }
B A
P AB
P AB
P B
A P
B A
AB AB
P B
A P
c c
c c
+ +
= ∪
∪ ∪
= ∪
Dari gambar 2.2 juga diperoleh AB
P AB
P A
P
c
+ =
Maka
AB P
B P
B A
P AB
P AB
P B
P AB
P A
P AB
P
c c
c
− =
+ =
− =
Sehingga
AB P
B P
A P
AB P
B P
AB P
AB P
A P
B A
P AB
P AB
P B
A P
c c
− +
= −
+ +
− =
+ +
= ∪
Teorema 7.
A B
Universitas Sumatera Utara
Diberikan ruang sampel S, jika S mempunyai N bagian dari kejadian untuk kejadian A dari S.
N A
N A
P =
Bukti : Diberikan S =
{ }
,... ,
2 1
s s
dimana setiap
i
s adalah titik sampel dari ekperimen. Untuk
titik sampel dari probabilitas
N s
P
i
1 =
untuk semua i, N
i ≤
≤ 1
. Sekarang diberikan
{ }
,... ,
,
3 2
1
i i
i
s s
s A
=
adalah mutually ekslusif, maka diperoleh :
{ }
N A
N A
P N
N N
A P
s P
s P
s P
A P
s s
s P
A P
i i
i i
i i
= +
+ +
= +
+ +
= =
... 1
1 1
... ,...
, ,
3 2
1 3
2 1
Teorema 8.
Jika ,...
, ,
3 2
1
B B
B dari partisi A dari ruang sampel, maka, untuk kejadian
S A
⊆
∑
=
∩ =
n i
i
B A
P A
P
1
Bukti : Set A dapat dibuat
i n
i
B A
A ∩
∪ =
=1
Dan φ
φ
= ∩
∩ ∩
= =
∩
j i
j i
B A
B A
maka j
i B
B ,
Teorema 9.
Jika S adalah sampel diskrit dengan elemen kejadian ,...
2 ,
1 ,
= i
e
i
dimana
i
e mempunyai
i
e P
, maka, untuk kejadian S
A ⊆
∑
=
A e
i
i
e P
A P
ε
Bukti :
Universitas Sumatera Utara
∑ ∑
∈ ∈
= ∩
=
∉ ∈
= ∩
A e
i A
e i
i i
i i
i i
e P
e A
P A
P e
jika A
e jika
e e
A φ
Teorema 10.
Jika
n
A A
A ,...
,
2 1
adalah n sembarang dari set S, maka
n n
n i
k j
i j
i i
i n
i
A A
A P
A A
A P
A A
P A
P A
P ∩
∩ −
∩ ∩
+ ∩
− =
∪
− =
=
∑ ∑
∑
,... 1
...
2 1
1 1
1
Bukti :
∑ ∑
∑ ∑
∑
+ −
+ +
= +
= +
= +
− =
+ +
+ =
+
∩ ∩
− +
∩ ∩
− ∩
=
∩
∩ =
∩ ∩
∩ −
− ∩
∩ +
∩ −
=
=
∩ −
+ =
∪ =
1 2
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
2 1
1 1
1 1
1 1
1
.... 1
... ....
1 ...
k k
k j
i k
i k
i k
i k
i k
i k
i i
k k
k k
j i
j i
i k
i i
k k
k i
k i
A A
A P
A A
A P
A A
P A
A P
A A
P A
A P
A A
A P
A A
A P
A A
P A
P A
P B
P B
A P
A P
B P
A B
P A
P
Teorema 11.
Jika
{ }
n
B B
B ,...,
,
2 1
adalah partisi dari ruang sampel eksperimen dan
i
B P
Untuk
n i
,..., 2
, 1
=
untuk kejadian A dari S, maka dapat di tulis:
i n
i i
n n
B P
B A
P A
P B
P B
A P
B P
B A
P B
B A
P A
P
∑
=
= +
+ +
=
1 2
2 1
1
...
Universitas Sumatera Utara
Bukti : Kita mempunyai
{ }
n
B B
B ,...,
,
2 1
adalah mutually exclusive saling bebas, ≠
i
B , dimana
1
≠
i
AB sehingga
diperoleh
n
AB AB
AB ,...,
,
2 1
adalah set dari kejadian mutually exclusive. Sekarang diperoleh
n
B B
B S
∪ ∪
∪ =
...
2 1
diberikan
n
AB AB
AB AS
A ∪
∪ ∪
= =
...
2 1
Untuk itu,
n
AB P
AB P
AB P
A P
+ +
+ =
...
2 1
Tapi n
i B
P B
A P
AB P
i i
i
,..., 2
, 1
, =
= Maka,
n n
B P
B A
P B
P B
A P
B B
A P
A P
...
2 2
1 1
+ +
+ =
2.1.2 Peluang Bersyarat
Peluang bersyarat adalah dua kejadian dimana peluang dari kejadian A disebut kejadian sebagai peluang bersyarat kejadian A jika kejadian B telah terjadi. Notasi untuk
peluang bersyarat kejadian di atas dituliskan dalam bentuk B
A P
dan dibaca peluang A bersyarat B.
Definisi : Jika A dan B adalah dua kejadian sedemikian hingga B
P , maka :
B P
B A
P B
A P
∩ =
Peluang bersyarat tidak berlaku jika =
B P
Jika P B = 0 maka P AB tidak dapat terdefinisi.
2.1.3 Peluang Bersyarat untuk Kejadian Independen
Universitas Sumatera Utara
Jika dua kejadian A dan B adalah independen, maka B
P A
P AB
P =
Untuk B
P , maka :
A P
B P
B P
A P
B P
AB P
B A
P
= =
=
Dalam bentuk yang sama, jika A dan B adalah dua kejadian independen dan jika A
P ,maka dapat kita ditulis :
B P
A B
P =
2.2 Teori Partisi dan Teorema Bayes