Aksioma dan Teorema Teori Peluang

Misalkan sebuah peristiwa A dapat terjadi sebanyak x kali diantara n peristiwa yang saling bebas dan masing-masing terjadi dengan kesempatan yang sama. Maka peluang peristiwa A terjadi adalah n x A P = Dimana : P A = Peluang terjadinya peristiwa A x = peristwa x n = jumlah semua kemungkinan

2.1.1 Aksioma dan Teorema

Aksioma 1. Untuk setiap kejadian A, O A P ≥ . Aksioma ini menyatakan bahwa peluang dari setiap kejadian adalah nonnegatif. Aksioma 2. 1 = S P . Aksioma ini menyatakan bahwa jika setiap kejadian pasti untuk terjadi, maka peluang dari kejadian tersebut adalah 1. Aksioma 3. Untuk jumlah kejadian saling asing yang tidak terbatas ,... , , 3 2 1 A A A ∑ ∞ = ∞ = =     1 1 i i i i A P A P  Aksioma ini menyatakan bahwa untuk dua kejadian atau lebih yang saling asing, maka peluang dari suatu kejadian atau lebih yang terjadi adalah jumlah dari masing-masing peluangnya. Teorema 1 Universitas Sumatera Utara = φ P Bukti : Andaikan kejadian ,... , 2 1 A A sedemikian hingga φ = i A untuk i= 1,2,…. Dengan adanya φ φ φ = ∩ , maka kejadian i A adalah kejadian saling asing, untuk i=1,2,… Berdasarkan aksioma 3, diperoleh : 1 1 1 = = =     = ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = i i i i i P A P A P P φ φ  Teorema 2. Untuk kejadian yang saling asing ,... , , 3 2 1 A A A ∑ ∞ = ∞ = =     1 1 i i i i A P A P  Bukti : Andaikan kejadian tak terbatas ,... , , 3 2 1 A A A dimana n A A A A ,... , , 3 2 1 dimana n adalah kejadian yang diberikan dan φ = i A untuk n i . Maka untuk kejadian yang tak tebatas ini adalah saling asing dan   n i i i i A A 1 1 = ∞ = = Melalui aksioma 3,dapat diperoleh : ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = ∞ + = = ∞ = ∞ = = = + = + = =     =     n i i n i i n i i n i i i i i i n i i A P A P A P A P A P A P A P 1 1 1 1 1 1 1   Universitas Sumatera Utara Teorema 3. Untuk setiap kejadian A, A P A P c − = 1 Bukti : Andaikan kejadian A dan c A saling asing dan S A A c = ∪ A P A P A P A P S P untuk A P A P A A P S P c c c c − = + = = + = ∪ = 1 1 1 Teorema 4. Untuk setiap kejadian A, 1 ≤ ≤ A P Bukt i : Dari aksioma 1 diperoleh ≥ A P Jika 1 ≥ A P , maka dari teorema 3 ≤ c A P dimana ≤ c A P berkontradiksi dengan aksioma 1, yang menyatakan peluang setiap kejadian harus nonnegatif, maka 1 ≤ A P sehingga 1 ≤ ≤ A P . Teorema 5. Jika B A ⊂ , maka B P A P ≤ Bukti :Perhatikan gambar dibawah ini : Gambar 2.1 Himpunan c BA A B ∪ = Dari gambar, kejadian B adalah gabungan dari kejadian A dan c BA , sehingga c BA P A P B P + = Dari aksioma1, ≥ c BA P S B B c BA A Universitas Sumatera Utara Maka : B P A P A P B P ≤ ≥ Teorema 6. Untuk dua kejadian A dan B AB P B P A P B A P − + = ∪ Bukti: Perhatikan gambar dibawah ini. Gambar 2.2 Himpunan B A ∪ Dari gambar dapat dituliskan B A AB AB B A c c ∪ ∪ = ∪ Dari teorema 2 di dapat { } B A P AB P AB P B A P B A AB AB P B A P c c c c + + = ∪ ∪ ∪ = ∪ Dari gambar 2.2 juga diperoleh AB P AB P A P c + = Maka AB P B P B A P AB P AB P B P AB P A P AB P c c c − = + = − = Sehingga AB P B P A P AB P B P AB P AB P A P B A P AB P AB P B A P c c − + = − + + − = + + = ∪ Teorema 7. A B Universitas Sumatera Utara Diberikan ruang sampel S, jika S mempunyai N bagian dari kejadian untuk kejadian A dari S. N A N A P = Bukti : Diberikan S = { } ,... , 2 1 s s dimana setiap i s adalah titik sampel dari ekperimen. Untuk titik sampel dari probabilitas N s P i 1 = untuk semua i, N i ≤ ≤ 1 . Sekarang diberikan { } ,... , , 3 2 1 i i i s s s A = adalah mutually ekslusif, maka diperoleh : { } N A N A P N N N A P s P s P s P A P s s s P A P i i i i i i = + + + = + + + = = ... 1 1 1 ... ,... , , 3 2 1 3 2 1 Teorema 8. Jika ,... , , 3 2 1 B B B dari partisi A dari ruang sampel, maka, untuk kejadian S A ⊆ ∑ = ∩ = n i i B A P A P 1 Bukti : Set A dapat dibuat i n i B A A ∩ ∪ = =1 Dan φ φ = ∩ ∩ ∩ = = ∩ j i j i B A B A maka j i B B , Teorema 9. Jika S adalah sampel diskrit dengan elemen kejadian ,... 2 , 1 , = i e i dimana i e mempunyai i e P , maka, untuk kejadian S A ⊆ ∑ = A e i i e P A P ε Bukti : Universitas Sumatera Utara ∑ ∑ ∈ ∈ = ∩ =    ∉ ∈ = ∩ A e i A e i i i i i i i e P e A P A P e jika A e jika e e A φ Teorema 10. Jika n A A A ,... , 2 1 adalah n sembarang dari set S, maka n n n i k j i j i i i n i A A A P A A A P A A P A P A P ∩ ∩ − ∩ ∩ + ∩ − = ∪ − = = ∑ ∑ ∑ ,... 1 ... 2 1 1 1 1 Bukti : ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ + − + + = + = + = + − = + + + = + ∩ ∩ − + ∩ ∩ − ∩ =     ∩     ∩ =         ∩ ∩ ∩ − − ∩ ∩ + ∩ − =     = ∩ − + = ∪ = 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 .... 1 ... .... 1 ... k k k j i k i k i k i k i k i k i i k k k k j i j i i k i i k k k i k i A A A P A A A P A A P A A P A A P A A P A A A P A A A P A A P A P A P B P B A P A P B P A B P A P      Teorema 11. Jika { } n B B B ,..., , 2 1 adalah partisi dari ruang sampel eksperimen dan i B P Untuk n i ,..., 2 , 1 = untuk kejadian A dari S, maka dapat di tulis: i n i i n n B P B A P A P B P B A P B P B A P B B A P A P ∑ = = + + + = 1 2 2 1 1 ... Universitas Sumatera Utara Bukti : Kita mempunyai { } n B B B ,..., , 2 1 adalah mutually exclusive saling bebas, ≠ i B , dimana 1 ≠ i AB sehingga diperoleh n AB AB AB ,..., , 2 1 adalah set dari kejadian mutually exclusive. Sekarang diperoleh n B B B S ∪ ∪ ∪ = ... 2 1 diberikan n AB AB AB AS A ∪ ∪ ∪ = = ... 2 1 Untuk itu, n AB P AB P AB P A P + + + = ... 2 1 Tapi n i B P B A P AB P i i i ,..., 2 , 1 , = = Maka, n n B P B A P B P B A P B B A P A P ... 2 2 1 1 + + + = 2.1.2 Peluang Bersyarat Peluang bersyarat adalah dua kejadian dimana peluang dari kejadian A disebut kejadian sebagai peluang bersyarat kejadian A jika kejadian B telah terjadi. Notasi untuk peluang bersyarat kejadian di atas dituliskan dalam bentuk B A P dan dibaca peluang A bersyarat B. Definisi : Jika A dan B adalah dua kejadian sedemikian hingga B P , maka : B P B A P B A P ∩ = Peluang bersyarat tidak berlaku jika = B P Jika P B = 0 maka P AB tidak dapat terdefinisi. 2.1.3 Peluang Bersyarat untuk Kejadian Independen Universitas Sumatera Utara Jika dua kejadian A dan B adalah independen, maka B P A P AB P = Untuk B P , maka : A P B P B P A P B P AB P B A P = = = Dalam bentuk yang sama, jika A dan B adalah dua kejadian independen dan jika A P ,maka dapat kita ditulis : B P A B P =

2.2 Teori Partisi dan Teorema Bayes