∑ ∑
= =
∩ =
= ∩
= ∩
+ +
∩ +
∩ ∩
= ∩
=
n i
i i
i i
i i
i i
i n
i i
i i
i i
B A
P A
B P
A P
B A
P A
B P
A P
B A
P A
B P
A P
B P
ana B
A P
B A
P B
A P
B A
P B
A P
B P
B A
P B
A P
1 1
2 1
dim ...
i i
n i
i i
i
A B
P A
P A
B P
A P
B A
P didapat
maka ;
1
∑
=
=
1.4 Tujuan Penelitian
Menerangkan cara untuk pengambilan keputusan dari beberapa variabletindakan dengan menggunakan Teorema Bayes.
1.5 Kontribusi Penelitian
Dengan diketahuinya cara mendapatkan keputusan terhadap suatu objek yang akan dipilih dengan menggunakan Teorema Bayes, maka dapat diketahui sejauh mana
Teorema Bayes berperan dalam pengambilan keputusan. Dengan berperannya Teorema Bayes dalam pengambilan keputusan diharapkan sebagai dasar pengambilan
keputusan dalam pemecahan masalah pembangunan atau pengembangan kelembagaan.
1.6 Metode Penelitian
Universitas Sumatera Utara
Dalam penelitian ini penulis melakukan studi literatur dengan mengumpulkan bahan yang membahas analisa keputusan pada umumnya.
Adapun langkah-langkah penelitian ini adalah sebagai berikut : Langkah I
: Mengenalkan dan menjabarkan konsep dan teori peluang. Langkah II : Menjelaskan teorema peluang yang merupakan konsep dasar dari
Teorema Bayes. Langkah III : Penjabaran dan penerapan Teorema Bayes dalam pengambilan keputusan
dalam kasus. Langkah IV : Mengambil keputusan berdasarkan hasil yang baik dengan menggunakan
Teorema Bayes.
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Teori Peluang
Universitas Sumatera Utara
Misalkan sebuah peristiwa A dapat terjadi sebanyak x kali diantara n peristiwa yang saling bebas dan masing-masing terjadi dengan kesempatan yang sama. Maka peluang peristiwa A
terjadi adalah
n x
A P
=
Dimana : P A = Peluang terjadinya peristiwa A x = peristwa x
n = jumlah semua kemungkinan
2.1.1 Aksioma dan Teorema
Aksioma 1.
Untuk setiap kejadian A, O
A P
≥ . Aksioma ini menyatakan bahwa peluang dari setiap kejadian adalah nonnegatif.
Aksioma 2.
1 =
S P
. Aksioma ini menyatakan bahwa jika setiap kejadian pasti untuk terjadi, maka peluang dari
kejadian tersebut adalah 1.
Aksioma 3.
Untuk jumlah kejadian saling asing yang tidak terbatas ,...
, ,
3 2
1
A A
A
∑
∞ =
∞ =
=
1 1
i i
i i
A P
A P
Aksioma ini menyatakan bahwa untuk dua kejadian atau lebih yang saling asing, maka peluang dari suatu kejadian atau lebih yang terjadi adalah jumlah dari masing-masing
peluangnya.
Teorema 1
Universitas Sumatera Utara
= φ
P Bukti : Andaikan kejadian
,... ,
2 1
A A
sedemikian hingga φ
=
i
A untuk i= 1,2,….
Dengan adanya φ
φ φ
= ∩
, maka kejadian
i
A adalah kejadian saling asing, untuk i=1,2,… Berdasarkan aksioma 3, diperoleh :
1 1
1
= =
=
=
∑ ∑
∞ =
∞ =
∞ =
i i
i i
i
P A
P A
P P
φ φ
Teorema 2.
Untuk kejadian yang saling asing ,...
, ,
3 2
1
A A
A
∑
∞ =
∞ =
=
1 1
i i
i i
A P
A P
Bukti : Andaikan kejadian tak terbatas ,...
, ,
3 2
1
A A
A dimana
n
A A
A A
,... ,
,
3 2
1
dimana n adalah kejadian yang diberikan dan
φ =
i
A untuk
n i
. Maka untuk kejadian yang tak tebatas ini adalah saling asing dan
n i
i i
i
A A
1 1
= ∞
=
=
Melalui aksioma 3,dapat diperoleh :
∑ ∑
∑ ∑
∑
= =
∞ +
= =
∞ =
∞ =
=
= +
= +
= =
=
n i
i n
i i
n i
i n
i i
i i
i i
n i
i
A P
A P
A P
A P
A P
A P
A P
1 1
1 1
1 1
1
Universitas Sumatera Utara
Teorema 3.
Untuk setiap kejadian A, A
P A
P
c
− = 1
Bukti : Andaikan kejadian A dan
c
A saling asing dan
S A
A
c
= ∪
A P
A P
A P
A P
S P
untuk A
P A
P A
A P
S P
c c
c c
− =
+ =
= +
= ∪
=
1 1
1
Teorema 4.
Untuk setiap kejadian A, 1
≤ ≤ A
P Bukt i : Dari aksioma 1 diperoleh
≥ A
P Jika
1 ≥
A P
, maka dari teorema 3 ≤
c
A P
dimana ≤
c
A P
berkontradiksi dengan aksioma 1, yang menyatakan peluang setiap kejadian harus nonnegatif, maka
1 ≤
A P
sehingga 1
≤ ≤ A
P .
Teorema 5.
Jika
B A
⊂
, maka B
P A
P ≤
Bukti :Perhatikan gambar dibawah ini :
Gambar 2.1 Himpunan
c
BA A
B ∪
= Dari gambar, kejadian B adalah gabungan dari kejadian A dan
c
BA , sehingga
c
BA P
A P
B P
+ =
Dari aksioma1, ≥
c
BA P
S B
B
c
BA A
Universitas Sumatera Utara
Maka :
B P
A P
A P
B P
≤ ≥
Teorema 6.
Untuk dua kejadian A dan B AB
P B
P A
P B
A P
− +
= ∪
Bukti: Perhatikan gambar dibawah ini.
Gambar 2.2 Himpunan B
A ∪
Dari gambar dapat dituliskan B
A AB
AB B
A
c c
∪ ∪
= ∪
Dari teorema 2 di dapat
{ }
B A
P AB
P AB
P B
A P
B A
AB AB
P B
A P
c c
c c
+ +
= ∪
∪ ∪
= ∪
Dari gambar 2.2 juga diperoleh AB
P AB
P A
P
c
+ =
Maka
AB P
B P
B A
P AB
P AB
P B
P AB
P A
P AB
P
c c
c
− =
+ =
− =
Sehingga
AB P
B P
A P
AB P
B P
AB P
AB P
A P
B A
P AB
P AB
P B
A P
c c
− +
= −
+ +
− =
+ +
= ∪
Teorema 7.
A B
Universitas Sumatera Utara
Diberikan ruang sampel S, jika S mempunyai N bagian dari kejadian untuk kejadian A dari S.
N A
N A
P =
Bukti : Diberikan S =
{ }
,... ,
2 1
s s
dimana setiap
i
s adalah titik sampel dari ekperimen. Untuk
titik sampel dari probabilitas
N s
P
i
1 =
untuk semua i, N
i ≤
≤ 1
. Sekarang diberikan
{ }
,... ,
,
3 2
1
i i
i
s s
s A
=
adalah mutually ekslusif, maka diperoleh :
{ }
N A
N A
P N
N N
A P
s P
s P
s P
A P
s s
s P
A P
i i
i i
i i
= +
+ +
= +
+ +
= =
... 1
1 1
... ,...
, ,
3 2
1 3
2 1
Teorema 8.
Jika ,...
, ,
3 2
1
B B
B dari partisi A dari ruang sampel, maka, untuk kejadian
S A
⊆
∑
=
∩ =
n i
i
B A
P A
P
1
Bukti : Set A dapat dibuat
i n
i
B A
A ∩
∪ =
=1
Dan φ
φ
= ∩
∩ ∩
= =
∩
j i
j i
B A
B A
maka j
i B
B ,
Teorema 9.
Jika S adalah sampel diskrit dengan elemen kejadian ,...
2 ,
1 ,
= i
e
i
dimana
i
e mempunyai
i
e P
, maka, untuk kejadian S
A ⊆
∑
=
A e
i
i
e P
A P
ε
Bukti :
Universitas Sumatera Utara
∑ ∑
∈ ∈
= ∩
=
∉ ∈
= ∩
A e
i A
e i
i i
i i
i i
e P
e A
P A
P e
jika A
e jika
e e
A φ
Teorema 10.
Jika
n
A A
A ,...
,
2 1
adalah n sembarang dari set S, maka
n n
n i
k j
i j
i i
i n
i
A A
A P
A A
A P
A A
P A
P A
P ∩
∩ −
∩ ∩
+ ∩
− =
∪
− =
=
∑ ∑
∑
,... 1
...
2 1
1 1
1
Bukti :
∑ ∑
∑ ∑
∑
+ −
+ +
= +
= +
= +
− =
+ +
+ =
+
∩ ∩
− +
∩ ∩
− ∩
=
∩
∩ =
∩ ∩
∩ −
− ∩
∩ +
∩ −
=
=
∩ −
+ =
∪ =
1 2
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
2 1
1 1
1 1
1 1
1
.... 1
... ....
1 ...
k k
k j
i k
i k
i k
i k
i k
i k
i i
k k
k k
j i
j i
i k
i i
k k
k i
k i
A A
A P
A A
A P
A A
P A
A P
A A
P A
A P
A A
A P
A A
A P
A A
P A
P A
P B
P B
A P
A P
B P
A B
P A
P
Teorema 11.
Jika
{ }
n
B B
B ,...,
,
2 1
adalah partisi dari ruang sampel eksperimen dan
i
B P
Untuk
n i
,..., 2
, 1
=
untuk kejadian A dari S, maka dapat di tulis:
i n
i i
n n
B P
B A
P A
P B
P B
A P
B P
B A
P B
B A
P A
P
∑
=
= +
+ +
=
1 2
2 1
1
...
Universitas Sumatera Utara
Bukti : Kita mempunyai
{ }
n
B B
B ,...,
,
2 1
adalah mutually exclusive saling bebas, ≠
i
B , dimana
1
≠
i
AB sehingga
diperoleh
n
AB AB
AB ,...,
,
2 1
adalah set dari kejadian mutually exclusive. Sekarang diperoleh
n
B B
B S
∪ ∪
∪ =
...
2 1
diberikan
n
AB AB
AB AS
A ∪
∪ ∪
= =
...
2 1
Untuk itu,
n
AB P
AB P
AB P
A P
+ +
+ =
...
2 1
Tapi n
i B
P B
A P
AB P
i i
i
,..., 2
, 1
, =
= Maka,
n n
B P
B A
P B
P B
A P
B B
A P
A P
...
2 2
1 1
+ +
+ =
2.1.2 Peluang Bersyarat
Peluang bersyarat adalah dua kejadian dimana peluang dari kejadian A disebut kejadian sebagai peluang bersyarat kejadian A jika kejadian B telah terjadi. Notasi untuk
peluang bersyarat kejadian di atas dituliskan dalam bentuk B
A P
dan dibaca peluang A bersyarat B.
Definisi : Jika A dan B adalah dua kejadian sedemikian hingga B
P , maka :
B P
B A
P B
A P
∩ =
Peluang bersyarat tidak berlaku jika =
B P
Jika P B = 0 maka P AB tidak dapat terdefinisi.
2.1.3 Peluang Bersyarat untuk Kejadian Independen
Universitas Sumatera Utara
Jika dua kejadian A dan B adalah independen, maka B
P A
P AB
P =
Untuk B
P , maka :
A P
B P
B P
A P
B P
AB P
B A
P
= =
=
Dalam bentuk yang sama, jika A dan B adalah dua kejadian independen dan jika A
P ,maka dapat kita ditulis :
B P
A B
P =
2.2 Teori Partisi dan Teorema Bayes
Antara Teorema Bayes dengan teori partisi terdapat hubungan yang sangat erat, hal ini disebabkan untuk membuktikan Teorema Bayes, kita tidak akan terlepas dari penggunaan
teori partisi. Dengan kata lain, teori partisi adalah konsep dasar bagi Teorema Bayes.
2.2.1 Teori Partisi
Andaikan S menyatakan ruang sampel dari beberapa percobaan dan k adalah kejadian
k i
A A ,...,
dalam S sedemikian hingga
k i
A A ,...,
saling asing dan
k i
i
S A
1 =
=
. Sehingga dapat dikatakan kejadian k tersebut membentuk partisi atau bagian dari S. Jika k kejadian
k i
A A ,...,
membentuk sebuah partisi dari S dan jika B adalah kejadian lain dalam S, maka kejadian akan membentuk partisi atau bagian untuk B, seperti gambar dibawah ini.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.3 Partisi Bayes
Dari gambar 2.3 dapat dituliskan,
B A
B A
B A
B
n
∪ ∪
∪ =
...
2 1
2.1 Karena k kejadian dalam persamaan 2.1 diatas adalah disjoint saling asing maka :
2 .
2 ...
1 2
1
∑
=
= ∪
∪ ∪
=
n i
i n
B A
P B
P B
A B
A B
A B
P
Jika A
P maka peluang bersyarat untuk
n i
A B
P A
P BA
P A
P BA
P A
B P
i i
i i
i i
,..., 2
, 1
= =
=
Maka dapat ditulis kembali persamaan 2.2 sebagai berikut :
i n
i i
n i
i
A B
P A
P B
P B
A P
B P
1 1
∑ ∑
= =
= =
Sehingga dapat dituliskan bahwa untuk kejadian
n i
A A ,...,
yang membentuk partisi dari ruang sampel S dan
i
A P
, untuk
n i
,..., 2
, 1
=
, maka untuk kejadian B dan ruang sampel S, berlaku:
i n
i i
A B
P A
P B
P
1
∑
=
=
Yang memiliki persamaan pada teorem 11 sebelumnya.
2.2.2 Teorema Bayes
Teorema Bayes dikemukakan oleh seorang pendeta Presbyterian Inggris pada tahun 1763 yang bernama Teorema Bayes. Teorema Bayes ini kemudian disempurnakan oleh Laplace.
Universitas Sumatera Utara
Teorema Bayes digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peristiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi.
Teorema ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya peristiwa A dengan syarat terjadinya peristiwa B telah terjadi dan probabailitas terjadinya peristiwa B dengan
syarat peristiwa A telah terjadi. Teorema ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi dapat memperbaiki probabilitas.
Sesuai dengan probabilitas subjektif, bila seseorang mengamati kejadian B dan mempunyai keyakinan bahwa ada kemungkinan B akan muncul, maka probabilitas B disebut
probabilitas prior. Setelah ada informasi tambahan bahwa misalnya kejadian A telah muncul, mungkin akan terjadi perubahan terhadap perkiraan semula mengenai kemungkinan B untuk
muncul. Probabilitas untuk B sekarang adalah probabilitas bersyarat akibat A dan disebut sebagai probabilitas posterior. Teorema Bayes merupakan mekanisme untuk memperbaharui
probabilitas dari prior menjadi probabilitas posterior.
Teorema Bayes :
Misalkan kejadian
n i
A A ,...,
membentuk sebuah partisi dari ruang sampel S sedemikian hingga
i
A P
untuk
n i
,..., 2
, 1
=
dan misalkan B adalah suatu kejadian sedemikian hingga
i
B P
n i
,..., 2
, 1
=
maka berlaku rumus :
∑
=
=
n i
i i
i i
i
A B
P A
P A
B P
A P
B A
P
1
Bukti : Dari definisi peluang bersyarat diperoleh,
B P
B A
P B
A P
i i
=
i i
i
A B
P A
P B
A P
=
n i
A B
P A
P BA
P A
P BA
P A
B P
i i
i i
i i
,..., 2
, 1
= =
=
Universitas Sumatera Utara
i n
i i
k i
i i
n i
i n
i i
A P
A B
P BA
P atau
A P
A B
P BA
P
. .
1 1
1 1
∑ ∑
∑
= =
= =
=
=
Menurut aksioma 3, kejadian
n
BA BA
BA BA
,..., ,
3 ,
2 1
adalah saling asing, sehingga dapat diperoleh
{ }
i n
i i
i n
i i
B P
BA P
BA BA
BA P
BA P
=
∪
∪ ∪
=
= =
1 2
1 1
...
Sehingga dapat dibuat dari persamaan diatas menjadi
i n
i i
i n
i i
n i
i
A P
A B
P B
P A
P A
B P
BA P
. .
1 1
1
∑ ∑
∑
= =
=
= =
Maka dapat dibuktikan Teorema Bayes dari rumusan diatas, sebagai berikut :
i n
i i
i i
i i
i
A P
A B
P A
B P
A P
B A
P B
P B
A P
B A
P
.
1
∑
=
= =
2.3 Teori Keputusan
Teori keputusan adalah suatu area studi yang berhubungan dengan para ahli yang tertarik dengan analisis keputusan yang akan memberikan informasi pada pengambilan keputusan.
Teori keputusan dalam matematika dan statistika adalah berhubungan dengan mengidentifikasi ketidakpastian dan masalah lain yang relevan yang memberikan keputusan
dan menghasilkan keputusan yang tepat dan optimal.
Teori keputusan memberikan sejumlah saran bagaimana cara untuk mengestimasi probabilitas yang kompleks dalam keadaan ketidakpastian, yang sebagian besar berasal dari
Teorema Bayes. Teori keputusan dapat berupa normatif atau deskriptif. Teori keputusan normatif adalah teori yang mengarah pada bagaimana harus membuat keputusan jika kita
Universitas Sumatera Utara
ingin memaksimalkan utility yang diharapkan. Sedangkan teori keputusan deskriptif adalah dicapai berdasarkan hasil pengamatan, percobaan, dan biasanya dikuatkan dengan statistik.
2.4 Teknik Pengambilan Keputusan