Jika dua kejadian A dan B adalah independen, maka B
P A
P AB
P =
Untuk B
P , maka :
A P
B P
B P
A P
B P
AB P
B A
P
= =
=
Dalam bentuk yang sama, jika A dan B adalah dua kejadian independen dan jika A
P ,maka dapat kita ditulis :
B P
A B
P =
2.2 Teori Partisi dan Teorema Bayes
Antara Teorema Bayes dengan teori partisi terdapat hubungan yang sangat erat, hal ini disebabkan untuk membuktikan Teorema Bayes, kita tidak akan terlepas dari penggunaan
teori partisi. Dengan kata lain, teori partisi adalah konsep dasar bagi Teorema Bayes.
2.2.1 Teori Partisi
Andaikan S menyatakan ruang sampel dari beberapa percobaan dan k adalah kejadian
k i
A A ,...,
dalam S sedemikian hingga
k i
A A ,...,
saling asing dan
k i
i
S A
1 =
=
. Sehingga dapat dikatakan kejadian k tersebut membentuk partisi atau bagian dari S. Jika k kejadian
k i
A A ,...,
membentuk sebuah partisi dari S dan jika B adalah kejadian lain dalam S, maka kejadian akan membentuk partisi atau bagian untuk B, seperti gambar dibawah ini.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.3 Partisi Bayes
Dari gambar 2.3 dapat dituliskan,
B A
B A
B A
B
n
∪ ∪
∪ =
...
2 1
2.1 Karena k kejadian dalam persamaan 2.1 diatas adalah disjoint saling asing maka :
2 .
2 ...
1 2
1
∑
=
= ∪
∪ ∪
=
n i
i n
B A
P B
P B
A B
A B
A B
P
Jika A
P maka peluang bersyarat untuk
n i
A B
P A
P BA
P A
P BA
P A
B P
i i
i i
i i
,..., 2
, 1
= =
=
Maka dapat ditulis kembali persamaan 2.2 sebagai berikut :
i n
i i
n i
i
A B
P A
P B
P B
A P
B P
1 1
∑ ∑
= =
= =
Sehingga dapat dituliskan bahwa untuk kejadian
n i
A A ,...,
yang membentuk partisi dari ruang sampel S dan
i
A P
, untuk
n i
,..., 2
, 1
=
, maka untuk kejadian B dan ruang sampel S, berlaku:
i n
i i
A B
P A
P B
P
1
∑
=
=
Yang memiliki persamaan pada teorem 11 sebelumnya.
2.2.2 Teorema Bayes
Teorema Bayes dikemukakan oleh seorang pendeta Presbyterian Inggris pada tahun 1763 yang bernama Teorema Bayes. Teorema Bayes ini kemudian disempurnakan oleh Laplace.
Universitas Sumatera Utara
Teorema Bayes digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peristiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi.
Teorema ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya peristiwa A dengan syarat terjadinya peristiwa B telah terjadi dan probabailitas terjadinya peristiwa B dengan
syarat peristiwa A telah terjadi. Teorema ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi dapat memperbaiki probabilitas.
Sesuai dengan probabilitas subjektif, bila seseorang mengamati kejadian B dan mempunyai keyakinan bahwa ada kemungkinan B akan muncul, maka probabilitas B disebut
probabilitas prior. Setelah ada informasi tambahan bahwa misalnya kejadian A telah muncul, mungkin akan terjadi perubahan terhadap perkiraan semula mengenai kemungkinan B untuk
muncul. Probabilitas untuk B sekarang adalah probabilitas bersyarat akibat A dan disebut sebagai probabilitas posterior. Teorema Bayes merupakan mekanisme untuk memperbaharui
probabilitas dari prior menjadi probabilitas posterior.
Teorema Bayes :
Misalkan kejadian
n i
A A ,...,
membentuk sebuah partisi dari ruang sampel S sedemikian hingga
i
A P
untuk
n i
,..., 2
, 1
=
dan misalkan B adalah suatu kejadian sedemikian hingga
i
B P
n i
,..., 2
, 1
=
maka berlaku rumus :
∑
=
=
n i
i i
i i
i
A B
P A
P A
B P
A P
B A
P
1
Bukti : Dari definisi peluang bersyarat diperoleh,
B P
B A
P B
A P
i i
=
i i
i
A B
P A
P B
A P
=
n i
A B
P A
P BA
P A
P BA
P A
B P
i i
i i
i i
,..., 2
, 1
= =
=
Universitas Sumatera Utara
i n
i i
k i
i i
n i
i n
i i
A P
A B
P BA
P atau
A P
A B
P BA
P
. .
1 1
1 1
∑ ∑
∑
= =
= =
=
=
Menurut aksioma 3, kejadian
n
BA BA
BA BA
,..., ,
3 ,
2 1
adalah saling asing, sehingga dapat diperoleh
{ }
i n
i i
i n
i i
B P
BA P
BA BA
BA P
BA P
=
∪
∪ ∪
=
= =
1 2
1 1
...
Sehingga dapat dibuat dari persamaan diatas menjadi
i n
i i
i n
i i
n i
i
A P
A B
P B
P A
P A
B P
BA P
. .
1 1
1
∑ ∑
∑
= =
=
= =
Maka dapat dibuktikan Teorema Bayes dari rumusan diatas, sebagai berikut :
i n
i i
i i
i i
i
A P
A B
P A
B P
A P
B A
P B
P B
A P
B A
P
.
1
∑
=
= =
2.3 Teori Keputusan
