d. Apakah perubahan yang ditunjukkan oleh siswa dapat
diyakini sebagai akibat dari proses pengajaran? Dengan demikian, hasil belajar adalah kemampuan yang dimiliki
siswa setelah mengikuti pembelajaran matematika materi operasi hitung bilangan bulat dan diperoleh melalui kegiatan evaluasi pembelajaran.
Penelitian ini dapat dikatakan berhasil bila pembelajaran dapat memenuhi kriteria keberhasilan pengajaran yang juga dikenal sebagai indikator hasil
belajar.
F. Operasi Hitung Bilangan Bulat
Menurut Kamus Pintar Matematika, himpunan bilangan bulat merupakan sebuah bentuk himpunan yang terdiri atas himpunan bilangan
bulat negatif, bilangan nol dan bilangan bulat positif. Dengan himpunan bilangan bulat negatif yaitu {..., −3, −2, −1}, bilangan nol yaitu {0} dan
himpunan bilangan bulat positif yaitu {1, 2, 3, ...}, maka himpunan bilangan bulat yaitu {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}. Dalam matematika,
lambang himpunan bilangan bulat yang telah disepakati adalah ℤ, maka
dapat ditulis ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}. Dengan demikian, bilangan
bulat merupakan anggota dari himpunan bilangan bulat yang dilambangkan dengan
ℤ dan ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}. Untuk memahami operasi hitung bilangan bulat, perlu mengetahui
operasi hitung bilangan cacah. Himpunan bilangan cacah merupakan himpunan bilangan bulat positif dan bilangan nol. Berikut operasi hitung
bilangan cacah menurut Suwarsono 2008.
a. Operasi Penjumlahan Bilangan Cacah
Operasi penjumlahan memiliki lambang +. Misalkan =
, =
,
A
dan
B
dua himpunan saling asing, maka + =
. Dengan demikian diperoleh sifat-sifat operasi penjumlahan bilangan cacah sebagai berikut.
1 Tertutup
Untuk setiap
a
dan
b
bilangan cacah, maka berlaku + adalah bilangan cacah.
2 Komutatif
Untuk setiap
a
dan
b
bilangan cacah, maka berlaku + = +
.
3 Asosiatif
Untuk setiap
a, b
dan
c
bilangan cacah, maka berlaku +
+ = + + .
4 Ada elemen identitas
Ada bilangan cacah
c
yang untuk setiap bilangan cacah
a
, berlaku
+ = + = dengan
c = 0
. b.
Operasi Pengurangan Bilangan Cacah Operasi pengurangan memiliki lambang
−. − = jika dan hanya jika
+ = dengan
a, b
dan
c
sebarang bilangan cacah. c.
Operasi Perkalian Bilangan Cacah Operasi perkalian memiliki lambang ×. Misalkan
= ,
= ,
A dan
B dua
himpunan berhingga,
maka
× = × . Perkalian juga dapat dipahami sebagai
penjumlahan berulang
b
sebanyak
a
suku, yaitu
× = + + ⋯ + . Dengan demikian diperoleh sifat-sifat operasi perkalian bilangan cacah sebagai berikut.
1 Tertutup
Untuk setiap
a
dan
b
bilangan cacah, maka berlaku × adalah bilangan cacah.
2 Komutatif
Untuk setiap
a
dan
b
bilangan cacah, maka berlaku × = ×
.
3 Asosiatif
Untuk setiap
a, b
dan
c
bilangan cacah, maka berlaku ×
× = × × .
4 Ada elemen identitas
Ada bilangan cacah
c
yang untuk setiap bilangan cacah
a
, berlaku
+ = + = dengan = . 5
Distribusi Perkalian Terhadap Penjumlahan Untuk setiap
a, b
dan
c
bilangan cacah, berlaku ×
+ =
× +
× dan +
× = ×
+ × .
d. Operasi Pembagian Bilangan Cacah
Operasi pembagian memiliki lambang :. ∶ = jika dan hanya
jika × = dengan
a, b
dan
c
sebarang bilangan cacah.
Dari operasi hitung bilangan cacah, maka berikut operasi hitung bilangan bulat menurut Suwarsono 2008.
a. Operasi Penjumlahan Bilangan Bulat
Operasi penjumlahan dilambangkan dengan lambang +. Untuk setiap
p
dan
q
sebarang bilangan cacah, maka: 1
+ = , jika
= ,
= ,
= ∅ 2
− + − = − + 3
+ − = − + = − , jika
p q
. 4
− + = + − = − − , jika
p q
. b.
Operasi Pengurangan Bilangan Bulat Operasi pengurangan dilambangkan dengan lambang −. − =
jika dan hanya jika + = dengan
a, b
dan
c
sebarang bilangan bulat.
c. Operasi Perkalian Bilangan Bulat
Operasi perkalian dilambangkan dengan lambang ×. Untuk setiap
p
dan
q
sebarang bilangan cacah, maka: 1
× = , jika
= ,
= 2
− × − = × 3
− × = × − = − × d.
Operasi Pembagian Bilangan Bulat Operasi pembagian memiliki lambang :.
∶ = jika dan hanya jika
× = dengan
a, b
dan
c
sebarang bilangan bulat.
Menurut Yoppy Wahyu Purnomo 2014, operasi hitung bilangan memiliki beberapa sifat sebagai berikut.
1. Operasi Penjumlahan Bilangan Bulat
Operasi penjumlahan memiliki lambang “+” dengan sifat
operasi sebagai berikut.
a. Tertutup
Sifat ini menunjukkan bahwa setiap penjumlahan dua bilangan bulat selalu menghasilkan bilangan bulat.
Misal
a
,
b
, dan
c
merupakan bilangan bulat, maka
+ = .
b. Identitas
Sembarang bilangan bulat dijumlahkan dengan 0 sama dengan bilangan itu sendiri. Jadi, 0 merupakan
bilangan tunggal sebagai identitas terhadap penjumlahan. Misal
a
bilangan bulat, maka
+ = dan + = .
c. Komutatif
Penjumlahan dua bilangan bulat memperoleh hasil yang sama meskipun bilangan tersebut ditukar posisinya.
Misal
a
dan
b
merupakan bilangan bulat, maka + = + .
d. Asosiatif
Misal
a
,
b
, dan
c
merupakan bilangan bulat, maka +
+ = + + .
e. Invers
Setiap
a
bilangan bulat memiliki bilangan tunggal, yakni
–
a
yang jika dijumlahkan menghasilkan identitas. + − = dan − + = , dengan –
a
disebut sebagai aditif dari
a
. Sifat ini menyatakan bahwa setiap bilangan bulat dijumlahkan dengan lawannya menghasilkan
nol. Akibatnya, sifat ini melahirkan sebuah teorema yang disebut dengan
additive cancellation
, yakni menghilangkan
penjumlahan yang sama.
2. Operasi Pengurangan Bilangan Bulat
Operasi pengurangan memiliki lambang “−” dengan sifat
operasi sebagai berikut.
a. Tertutup
Sifat ini menunjukkan bahwa setiap pengurangan dua bilangan bulat selalu menghasilkan bilangan bulat.
Misal
a
,
b
, dan
c
merupakan bilangan bulat, maka
− = .
3. Operasi Perkalian Bilangan Bulat
Operasi perkalian memiliki lambang “×” dengan sifat
operasi sebagai berikut.
a. Tertutup
Sifat ini menunjukkan bahwa setiap perkalian dua bilangan bulat selalu menghasilkan bilangan bulat. Misal
a
dan
b
bilangan bulat, maka × = , dengan
c
pasti
bilangan bulat.
b. Identitas
Sembarang bilangan bulat dikalikan dengan 1 sama dengan bilangan bulat itu sendiri. Jadi, 1 merupakan
bilangan tunggal sebagai identitas terhadap perkalian. Misal,
a
sembarang bilangan bulat maka × = dan ×
= . c.
Komutatif
Perkalian dua bilangan bulat memperoleh hasil yang sama meskipun bilangan tersebut ditukar posisinya. Misal
a
dan
b
bilangan bulat, maka
× = × .
d. Asosiatif
Misal
a
,
b
, dan
c
bilangan bulat, maka berlaku ×
× = × × .
4. Operasi Pembagian Bilangan Bulat
Operasi pembagian memil iki lambang “:” dengan sifat
operasi sebagai berikut.
a. Tidak Tertutup
Sifat ini menunjukkan bahwa setiap perkalian dua bilangan bulat tidak selalu menghasilkan bilangan bulat.
Misal
a
dan
b
bilangan bulat, maka ∶ = , dengan
c
tidak selalu bilangan bulat.
Dengan demikian,
kebalikan dari
penjumlahan adalah
pengurangan, sedangkan kebalikan dari perkalian adalah pembagian. Operasi penjumlahan merupakan operasi penggabungan dua bilangan
bulat, operasi pengurangan adalah operasi pemisahan dua bilangan bulat, operasi perkalian merupakan operasi penjumlahan berulang dan operasi
pembagian merupakan operasi pengurangan berulang. Oleh karena itu, penelitian akan menjelaskan operasi
penjumlahan dan operasi pengurangan sebagai operasi yang saling berkebalikan. Selanjutnya,
penelitian akan menjelaskan operasi perkalian dan pembagian sebagai perulangan operasi penjumlahan dan pengurangan.
G. Alat Peraga Kartu Hitung
