Dengan demikian,
kebalikan dari
penjumlahan adalah
pengurangan, sedangkan kebalikan dari perkalian adalah pembagian. Operasi penjumlahan merupakan operasi penggabungan dua bilangan
bulat, operasi pengurangan adalah operasi pemisahan dua bilangan bulat, operasi perkalian merupakan operasi penjumlahan berulang dan operasi
pembagian merupakan operasi pengurangan berulang. Oleh karena itu, penelitian akan menjelaskan operasi
penjumlahan dan operasi pengurangan sebagai operasi yang saling berkebalikan. Selanjutnya,
penelitian akan menjelaskan operasi perkalian dan pembagian sebagai perulangan operasi penjumlahan dan pengurangan.
G. Alat Peraga Kartu Hitung
Alat peraga merupakan media untuk mempermudah siswa memahami suatu materi. Materi dipresentasikan secara lebih konkret. Pada
penelitian ini, materi yang dibahas adalah materi operasi hitung bilangan bulat dengan alat peraga kartu hitung. Dengan demikian, alat peraga kartu
hitung bertujuan untuk mempermudah siswa memahami materi operasi hitung bilangan bulat.
Kartu hitung pada penelitian ini terdiri dari 2 macam, kartu hitung bertanda “ + ” dan kartu hitung bertanda “ − ”. Kartu hitung bertanda “ + ”
bernilai 1, sedangkan kartu hi tung bertanda “ − ” bernilai −1. Berikut
gambaran kartu hitung penelitian ini.
Gambar 2.1. Gambaran Kartu Hitung
1. Operasi penjumlahan menggunakan kartu hitung
a. Dua bilangan sama tanda
Cara penjumlahan dua bilangan bulat adalah dengan cara menggabungkan kartu-kartu pada suku pertama dengan kartu-
kartu pada suku kedua. Contoh: 3 + 2
Gambar 2.2. Operasi hitung 3 + 2 menggunakan kartu hitung
+ +
+ +
+
3 +
2 =
+ +
+
+ +
5
+ −
Kartu Bernilai 1 Kartu Bernilai
−1
Contoh: −3 + −2
Gambar 2.3. Operasi hitung −3 + −2 menggunakan kartu hitung
b. Dua bilangan beda tanda
Contoh: − +
Gambar 2.4. Operasi hitung −3 + 2 menggunakan kartu
hitung
−3 +
-2 =
-5
− −
− −
− −
− −
− −
−3 +
2 =
-1
− −
− +
+ −
−3 +
2 =
-1
− −
− +
+ −
− −
+ +
Contoh: + −
Gambar 2.5. Operasi hitung 3 + −2 menggunakan kartu hitung
2. Operasi pengurangan menggunakan kartu hitung
Pada sub bab Bilangan Bulat, aturan operasi hitung dalam pengurangan sudah dijelaskan bahwa pengurangan merupakan
kebalikan dari
penjumlahan. Dengan
demikian, operasi
pengurangan dilakukan
dengan cara
mengubah bentuk
pengurangan ke dalam bentuk penjumlahan atau dapat dilakukan dengan cara memisah kartu sebanyak kartu pada suku kedua dan
memiliki tanda yang sama dengan suku kedua. Cara tersebut hanya berlaku bila kedua bilangan memuat tanda yang sama. Bila kedua
3 +
-2 =
1
+ +
+ −
− +
3 +
-2 =
1
+ +
+ −
− +
+
+ −
−
bilangan memuat tanda yang berbeda, maka tanpa mengubah esensi, kartu suku pertama ditambahkan kartu nol sampai memuat
kartu yang dimiliki kartu pada suku kedua. Sehingga diperoleh proses sebagai berikut.
a. Dua bilangan sama tanda
Contoh: − = + −
Gambar 2.6. Operasi hitung − menggunakan kartu
hitung
Contoh: − − − = − +
Gambar 2.7. Operasi hitung − − − menggunakan
kartu hitung
−3 −
−2 =
-1
− −
− −
− −
3 −
2 =
1
+ +
+ +
+ +
b. Dua bilangan beda tanda
Contoh: − −
Gambar 2.8. Operasi hitung − − menggunakan kartu
hitung
−3 −
2 =
− −
− +
+
− −
− −
−
-5 −3
+ -2
=
− −
− +
+
− −
+ +
Contoh: − −
Gambar 2.9. Operasi hitung − − menggunakan kartu
hitung
3. Operasi perkalian menggunakan kartu hitung
Aturan pada operasi perkalian serupa dengan aturan pada operasi penjumlahan. Pada operasi perkalian, langkah awal yang dilakukan
adalah menyiapkan kartu sebanyak suku kedua dan dilakukan sebanyak suku pertama. Bila suku pertama bertanda negatif, maka
semua kartu dibalik. Kemudian, kartu yang sudah disiapkan
+ +
+ −
−
3 −
= −2
+ +
+ −
−
3 −
= −2
+ +
− −
+ +
+
+ +
5
dioperasikan dengan
aturan penjumlahan,
yaitu dengan
penggabungan. Berikut proses penggunaan kartu hitung dalam operasi perkalian.
a. Dua bilangan sama tanda
Contoh: ×
Gambar 2.10. Operasi hitung × menggunakan kartu
hitung
Contoh: − × − = |− | × |− |
= × = + +
+ +
+ +
2 +
2 =
+ +
+
+ +
6 +
+ +
2
+
Gambar 2.11. Operasi hitung − × − menggunakan
kartu hitung
b. Dua bilangan beda tanda
Contoh: − × = − |− | × | |
= − × = − + +
= − + − + −
+ +
+ +
2 +
2 =
+ +
+
+ +
6 +
+ +
2
+ −
− −
−
-2 -2
− −
-2 Karena
− × − memiliki suku
pertama bertanda negatif, maka semua
kartu dibalik
Gambar 2.12. Operasi hitung − × menggunakan kartu
hitung
Contoh: × − = − | | × |− |
= − × = − + +
= − + − + −
+ +
+ +
2 2
+ +
2 Karena
− × memiliki suku
pertama bertanda negatif, maka semua
kartu dibalik
− −
− −
-2 +
-2 =
− −
−
− −
-6 +
− −
-2
−
Gambar 2.13. Operasi hitung × − menggunakan
kartu hitung
4. Operasi pembagian menggunakan kartu hitung
Operasi pembagian dan operasi perkalian memiliki hubungan yang serupa dan berkaitan dengan operasi pengurangan dan operasi
penjumlahan. Operasi pengurangan merupakan kebalikan dari operasi penjumlahan, begitu pula dengan operasi pembagian yang
berkebalikan dengan operasi perkalian. Dalam kartu hitung, operasi pembagian dilakukan dengan pemisahan kartu yang
berulang sebagai langkah awal. Bila kartu pada suku kedua bertanda negatif, maka semua kartu dibalik. Hasil dari operasi
pembagian adalah banyaknya pengambilan yang terjadi dan tanda yang terakhir didapat. Dengan demikian diperoleh peragaan
operasi pembagian sebagai berikut.
− −
− −
-2 +
-2 =
− −
−
− −
-6 +
− −
-2
−
a. Dua bilangan sama tanda
Contoh: ∶ =
= × −
× =
− + +
= = + +
Gambar 2.14. Operasi hitung � ∶ menggunakan kartu
hitung
Contoh: − ∶ − = ÷
− ∶ − = − = × −
− = − + − + − = + +
+ +
+
+ +
6
+
= 2
+ +
+ +
− 2
+ +
− 2
Karena terdapat tiga kali pengambilan kartu dan kartu terakhir yang didapat bertanda positif, maka
∶ =
Gambar 2.15. Operasi hitung – � ∶ − menggunakan
kartu hitung
b. Dua bilangan beda tanda
Contoh: − ∶ = − ∶
− ∶ = − − = − ×
− = − × − = − + +
− = − + − + −
− −
−
− −
-6
−
: 2
− −
= Karena kartu pada suku
kedua bertanda negatif, maka tanpa mengubah
esensi,
semua kartu
dibalik.
+ +
+
+ +
6
+
= 2
+ +
+ +
+ 2
+ +
+ 2
Karena terdapat tiga kali pengambilan kartu dan tanda terakhir yang didapat pada kartu suku pertama
adalah tanda bertanda positif, maka − : − =
Gambar 2.16. Operasi hitung – � ∶ menggunakan kartu
hitung
Contoh: ∶ − = − ∶
= − × − = − − × −
= − − − − − −
− −
− −
: 2
+ +
-6 =
− −
Karena terdapat tiga kali pengambilan kartu dan tanda terakhir yang didapat pada kartu suku pertama
adalah tanda bertanda negatif, maka − ∶ = −
− −
− −
-2 =
-2 +
− −
−
− −
-6 +
− −
-2
−
Gambar 2.17. Operasi hitung � ∶ − menggunakan kartu
hitung
H. Kerangka Berpikir
