89
15
dimana, X = X
t
fungsi dari transform matriks X
t1
, X
t2
, … , X
tp T
dan t = 1, … , n,
mewakili fungsi ruang i = 1, … , p dan fungsi waktu t, sehingga rata-rata waktu
pada ruang i, ̅
dihitung dengan persamaan sebagai berikut:
16
atau dalam bentuk matriks rata-rata waktu klimatologi,
17
dimana 1
n
= 1, …, 1
T
adalah matriks indentitas bernilai satu. Anomali data dari rata-rata klimatologi pada t,sk, dengan
t = 1, …, n dan k = 1, … , p dihitung dengan persamaan sebagai berikut:
18 atau dalam bentuk matriks,
19 dimana I
n
matriks identitas dari n x n dan H adalah pusat matriks pada orde ke n. Tahapan selanjutnya adalah perhitungan matriks covariant dengan menggunakan
persamaan sebagai berikut: 20
90
dimana covariant dari S
ij
, dan i , j = 1, … , p, antara data deret waktu pada semua
titik grid Si, Sj, dihitung dengan persamaan sebagai berikut:
21
Pada perhitungan analisis EOF bertujuan mencari kombinasi antar titik di dalam ruang dari deret waktu dimana korelasi antar kombinasi tersebut memiliki nilai
korelasi ter kecil yang dihitung dari nilai maksimum variance u = u
1
, … , u
p T
dengan Xu memiliki variabilitas maksimum, dalam notasi matematis yaitu sebagai berikut:
22 dengan,
23 Solusi untuk mencari keragaman terbesar dengan menggunakan persamaan
eigenvalue yaitu sebagai berikut: 24
Jika k adalah mode ke-k eigenvector u
k
dari S, maka hubungan dengan eigenvalue , dengan
k = 1, … , p dapat dijabarkan dengan persamaan sebagai berikut:
25
sehingga eigenvalue ≥
≥ … ≥ dan biasanya eigenvalue dibuat kedalam
nilai variance dihitung dengan persamaan sebagai berikut:
26
91
Anomali dari X pada Mode ke-k EOF u
k
= u
k1
, u
k2
, … , u
kp T
dapat diubah
kedalam bentuk persamaan a
k
= Xu
k
dari Mode ke-k koefisien ekspansi dengan a
tk
pada t = 1, …, n dihitung dengan persamaan sebagai berikut:
27
Persamaan 20 dan 24 dipecah dengan menggunakan metode Singular Value Decomposition SVD, sehingga Persamaan 24 menjadi sebagai berikut:
28 dimana
2
= Diag ,
, … , nilai yang diurutkan berdasarkan urutan Mode
ke-r dari matriks diagonal, sehingga matriks data anomali X koefisien ekspansi menjadi,
29
dan hasil dekomposisi data spasial dari waktu ke-t adalah
30
3.4.1.2 Penapisan
Koefisien ekspansi hasil analisis EOF data SPL dari data asimilasi GFDL ditapis untuk menghilangkan sinyal frekuensi tinggi yang masih memiliki
kemungkinan mengganggu sinyal dari siklus tahunan Muson dan siklus antar tahunan DM dan ENSO. Fenomena sinyal frekuensi tinggi yang dapat menjadi
bias interaksi antara Muson, DM dan ENSO pada area penelitian adalah MJO dengan siklus 30-50 hari Wang dan Xu, 1997; Lawrence dan Webster, 2002,
sedangkan sinyal frekuensi rendah dibawah siklus tahunan dan antar tahunan selain DM dan ENSO tetap dipertahankan karena didalam dinamika proses
92
interaksi Muson, DM dan ENSO masih terdapat kemungkinan untuk berasosiasi, seperti TBO Wu dan Kirtman, 2004; Li et al., 2006; Meehl dan Arblaster, 2011
dan PDO Roy et al., 2003; Yoon dan Yeh, 2010. Penapisan ini digunakan untuk menghilangkan sinyal data deret waktu
dengan frekuensi tinggi dibawah 6 bulan yaitu dengan pemotongan frekuensi fc sebesar 12 siklus per tahun dari data bulanan koefisien ekspansi EOF, sehingga
dapat mempertegas sinyal data yang berasal dari pengaruh muson, DM dan ENSO. Metode penapisan yang digunakan adalah dengan pembobotan dari
Lanchoz filter Emery dan Thomson, 2001. Data koefisien ekspansi X
t
ditapis dengan pembobotan Lanchoz sehingga menghasilkan data deret waktu koefisien
ekspansi yang baru Y
t
, dengan menggunakan persamaan sebagai berikut:
∑ 31
dengan persamaan fungsi pembobotan Lanchoz W
k
,yaitu sebagai berikut:
32
dimana : k
= n, - n+1, … , -1, 0, 1, … , m-1, m
n, m = jumlah cakupan data sebelum dan sesudah X
t
f
c
= pemotongan frekuensi penapisan f
N
= frekuensi Nyquist
3.4.1.3 Komposit
Analisis komposit dilakukan untuk mengkaji variabilitas parameter P pada waktu ke-t dari arus, SPL, kedalaman lapisan tercampur, tekanan udara, suhu
udara, angin, RH, OLR, curah hujan, Q
L
, Q
S
+Q
L
dan P –E pada fase positif Mode
ke-n EOF data SPL dimana nilai simpangan baku
n
koefisien ekspansi EOF
93
data SPL pada saat waktu t K
n,t
diatas satu kali simpangan baku positif dan fase negatif pada saat dibawah satu kali simpangan baku negatif. Metode analisis
komposit ini mengikuti pendekatan analisis seperti yang dilakukan oleh Hendon et al. 2009, Kao dan Yu 2009, Kim et al. 2009, Kug et al. 2009 dan Yu dan
Kim 2010. Secara matematis dapat dijabarkan sebagai berikut: Fase Positif jika,
̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ pada t dimana K
n,t
n
33 Fase negatif jika,
̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ pada t dimana K
n,t
-
n
34 Dengan banyaknya data j dan simpangan baku koefisien ekspansi Mode ke-n,
√
∑ ̅̅̅̅̅
35
3.4.1.4 Densitas Spektral
Data deret waktu koefisien ekspansi EOF SPL data asimilasi GFDL memiliki sinyal dari beragam siklus fenomena hasil dekomposisi spasial EOF
pada lokasi penelitian. Oleh karena itu, untuk mengetahui siklus dominan dari data deret waktu koefisien ekspansi EOF yang mencerminkan pola osilasi spasial
pada lokasi penelitian maka data deret waktu koefisien ekspansi EOF ini dihitung energi densitas spektralnya dengan menggunakan Fast Fourier Transform FFT.
Analisis densitas spektral akan memperlihatkan osilasi pola spasial SPL pada lokasi penelitian dari Mode dominan EOF tertentu, memiliki variabilitas
yang dominan dipengaruhi oleh Muson, DM atau ENSO. Data bulanan SPL tidak ditapis sebelum melakukan analisis EOF karena diharapkan sinyal siklus Muson,
DM dan ENSO serta sinyal siklus fenomena lainnya ikut terbawa dalam koefisien ekspansi EOF, sehingga tidak mengubah pola spasial SPL hasil dekomposisi
spasial EOF. Energi densitas spektral melalui FFT Bendat dan Piersol, 1971 dihitung dengan menggunakan persamaan sebagai berikut:
94
1
2 1
exp
N t
k
N kt
h f
X
36
Nilai energi densitas spektral S
x
dari data deret waktu koefisien ekspansi EOF hasil analisis FFT, dihitung dengan persamaan sebagai berikut:
2
2
k x
f X
N h
S
37
dimana : Xf
k
= data deret waktu koefisien ekspansi EOF SPL X
t
h = interval data SPL sebesar satu bulan
N = data bulanan SPL dari tahun 1979-2007 sebanyak 348 bulan
f
k
= frekuensi ke-k i
= bilangan imaginer
3.4.1.5 Transformasi Wavelet Kontinyu
Analisis transformasi wavelet bertujuan melokalisasi perubahan waktu t
dan frekuensi
dari data deret waktu kedalam fungsi frekuensi terhadap waktu, sehingga dapat diketahui perubahan waktu dan frekuensi secara bersamaan
Torrence dan Compo, 1998. Data deret waktu koefisien ekspansi EOF SPL dianalisis dengan tranformasi wavelet untuk mengetahui waktu terjadinya siklus
yang dominan pada selang kepercayaan 95. Salah satu fungsi wavelet yang sering digunakan adalah fungsi transformasi Morlet atau biasa disebut continuous
wavelet transform transformasi wavelet kontinyu atau CWT, dengan persamaannya adalah sebagai berikut:
38 dimana
adalah frekuensi tanpa unit dan
adalah waktu tanpa unit. Analisis wavelet pada prinsipnya merupakan bandpass filter yang dikelompokkan kedalam
data deret waktu dengan skala s, sehingga = s.t dan dinormalkan kedalam
satuan energi. Data deret waktu koefisien ekspansi EOF SPL X
n
, n=1, … , N
