Pemodelan Penerapan pada Data Kasus HIVAIDS

sedangkan , ~ , 2 1 Σ b N b b i i dan , ~ 2 N ij Pada persamaan di atas, , , , , , 51 41 31 21 11 01 merupakan parameter efek tetap, sedangkan , 1 i i b b b merupakan parameter efek acak untuk pasien ke- i. Dalam hal ini i b merupakan intersep acak untuk subyek ke-i, dan i b 1 adalah laju perubahan peubah respon per satuan waktu untuk pasien ke-i. Adapun ij merupakan galat intra-subyek yang diasumsikan menyebar normal dengan ragam yang sama. Selanjutnya peubah respon primer terjadi atau tidak terjadinya kematian dalam masa studi untuk pasien ke-i dalam submodel-2 dimodelkan sebagai model linier terampat untuk respon biner regresi logistik dengan persamaan berikut: Pr exp 1 Pr exp | 1 1 2 1 42 32 22 12 02 1 2 1 42 32 22 12 02 i i i i i i i i i i i b b Stratum evOI Gender Drug b b Stratum evOI Gender Drug y P b Pada persamaan di atas, 1 dan 2 merupakan koefisien yang menghubungkan kovariat longitudinal banyaknya sel CD4 + dengan peubah respon primer biner. Yang menjadi perhatian utama dalam pemodelan bersama adalah apakah hasil pengukuran longitudinal berhubungan dengan peubah respon primer yang menjadi perhatian. Dalam pemodelan bersama, adanya hubungan tersebut ditunjukkan oleh hasil uji terhadap parameter 1 dan 2 dalam submodel-2. Hasil pemodelan bersama antara submodel-1 dan submodel-2 disajikan pada Tabel 3.1. Pada Tabel 3.1 terlihat bahwa kedua parameter 1 dan 2 berbeda nyata dengan nol pada α = 5, artinya baik jumlah sel CD4 + awal dari pasien pada saat masuk dalam studi maupun laju perubahannya per satuan waktu berpengaruh terhadap peluang kematian pasien. Nilai dugaan untuk 1 sebesar -0.2726 dengan selang kepercayaan 95 sebesar -0.3624, -0.1828. Tanda negatif menunjukkan semakin banyak jumlah sel CD4 + awal dari pasien maka peluang terjadinya kematian pada pasien semakin rendah, dan sebaliknya. Adapun nilai dugaan bagi parameter 2 sebesar -3.9857 dengan selang kepercayaan 95 sebesar -7.2904, - 0.6810, yang mengindikasikan bahwa semakin besar laju penurunan jumlah sel CD4 + pasien per bulan, maka peluang kematian pasien akan semakin tinggi. Tabel 3.1. Nilai dugaan parameter model bersama beserta hasil uji dan SK 95 Parameter Nilai Dugaan Galat Baku t Nilai-p SK 95 Submodel-1 Intercept β 01 8.0164 0.3520 22.77 .0001 7.3246 8.7082 Time β 11 -0.1880 0.02163 -8.69 .0001 -0.2305 -0.1455 Time x Drug β 21 0.01981 0.02929 0.68 0.4991 -0.03774 0.07736 Gender β 31 -0.1367 0.3263 -0.42 0.6756 -0.7779 0.5046 PrevOI β 41 -2.3410 0.2397 -9.77 .0001 -2.8119 -1.8700 Stratum β 51 -0.1349 0.2365 -0.57 0.5686 -0.5996 0.3297 σ 2 bo 15.8739 1.1669 13.60 .0001 13.5809 18.1670 σ bo,b1 -0.09188 0.06193 -1.48 0.1386 -0.2136 0.02982 σ 2 b1 0.02913 0.005972 4.88 .0001 0.01739 0.04086 σ 2 3.0501 0.1691 18.04 .0001 2.7178 3.3823 Submodel-2 Intercept β 02 -1.0535 0.2829 -3.72 0.0002 -1.6094 -0.4975 Drug β 12 0.4914 0.2377 2.07 0.0393 0.02421 0.9586 Gender β 22 -0.1625 0.2182 -0.74 0.4569 -0.5913 0.2663 PrevOI β 32 0.9807 0.1845 5.32 .0001 0.6182 1.3432 Stratum β 42 0.1996 0.1446 1.38 0.1680 -0.08448 0.4838 1 -0.2726 0.04571 -5.96 .0001 -0.3624 -0.1828 2 -3.9857 1.6817 -2.37 0.0182 -7.2904 -0.6810 Peubah bebas yang berpengaruh nyata pada α = 5 pada submodel-1 adalah Time dan PrevOI dengan koefisien bertanda negatif, artinya banyaknya sel CD4 + makin menurun seiring bertambahnya waktu, dan pasien yang pada saat masuk dalam studi sudah teridentifikasi sebagai penderita HIV rata-rata jumlah sel CD4 + -nya lebih rendah dibandingkan yang tidak terdignosis AIDS. Walaupun secara grafis terlihat ada interaksi antara jenis obat dan waktu pengamatan, namun setelah diuji interaksi tersebut tidak nyata. Untuk kelompok obat ddI, nilai dugaan koefien regresinya untuk Time sebesar -0.1880 + 0.01981 = -0.16819 yang tidak berbeda nyata dengan kelompok ddC yaitu sebesar -0.1880. Peubah jenis kelamin Gender dan Stratum juga tidak nyata pengaruhnya terhadap respon, artinya tidak ada perbedaan rata-rata jumlah sel CD4 + antara pasien lelaki dan perempuan, demikian pula tidak ada perbedaan antara pasien yang gagal dan tidak toleran terhadap terapi zidovudine AZT dalam rata-rata jumlah sel CD4 + -nya. Ragam intersep yang nyata pada α = 5 dengan nilai dugaan ragam sebesar 15.8739 menunjukkan adanya keragaman jumlah sel CD4 + antar pasien sewaktu masuk dalam studi, dengan keragaman berkisar antara 13.5809 - 18.1670 pada taraf kepercayaan 95. Ragam slope juga nyata dengan nilai dugaan sebesar 0.02913, artinya laju penurunan jumlah sel CD4 + per bulan bervariasi antar pasien dengan keragaman berkisar 0.01739 - 0.04086 pada taraf kepercayaan 95 . Terdapat korelasi negatif antara intersep dan slope, yang ditunjukkan oleh nilai koragam antara intersep dan slope sebesar -0.0918, dengan kata lain korelasinya sebesar r = - 0.315. Namun hasil pengujian tidak nyata pada α = 5, yang berarti penurunan jumlah sel CD4 + antar pasien tidak dipengaruhi oleh jumlah sel CD4 + yang dimiliki sebelumnya sewaktu masuk dalam studi. Selain itu diperoleh ragam jumlah sel CD4 + antar waktu untuk setiap pasien sebesar berkisar antara 2.7178 - 3.3823 pada taraf kepercayaan 95. Nilai dugaan titik untuk keragaman dalam pasien tersebut sebesar 3.0501. Peuba h bebas yang berpengaruh nyata pada α = 5 terhadap respon primer terjadi atau tidak terjadinya kematian pasien pada submodel-2 adalah Drug dan PrevOI, sedangkan peubah Gender dan Stratum tidak nyata. Nilai dugaan untuk koefisien Drug sebesar 0.4914 dengan selang kepercayaan 95 yaitu 0.0242, 0.9586. Nilai positif ini menunjukkan bahwa peluang kematian pasien yang menggunakan obat ddI lebih tinggi dibandingkan pasien yang menerima obat ddC. Nilai dugaan parameter PrevOI sebesar 0.9807 dan selang kepercayaan 95-nya 0.6182, 1.3432. Tanda positif menunjukkan pasien yang terdiagnosis AIDS pada awal studi mempunyai peluang kematian yang lebih tinggi dibandingkan yang tidak terdiagnosis AIDS. Adapun jenis kelamin Lelaki vs Perempuan dan status AZT gagal vs tidak toleran tidak mempengaruhi peluang terjadinya kematian pasien. Karena submodel-2 merupakan model regresi logistik, maka untuk interpretasinya akan lebih informatif jika menggunakan rasio odds. Nilai dugaan rasio odds untuk Drug sebesar exp0.4914 = 1.635 dengan selang kepercayaan 95 yaitu 1.026, 2.065, artinya dalam populasi kematian pasien terjadi antara 1.026 - 2.065 kali lebih sering di antara penerima obat ddI dibandingkan ddC. Demikian pula nilai dugaan rasio odds untuk PrevOI sebesar exp0.9807 = 2.666 dengan selang kepercayaan 95 yaitu 1.857, 3.828, dengan kata lain pasien yang terdiagnosis AIDS pada awal studi memiliki resiko kematian antara 1.857 - 3.828 kali dibandingkan pasien yang tidak terdiagnosis AIDS.

4. PENDEKATAN KEKAR ATAS DASAR SEBARAN t

4.1. Sebaran Peubah Ganda t

Suatu vektor peubah acak Y berdimensi-p dikatakan mengikuti sebaran peubah ganda t dengan vektor lokasi , matriks skala , dan derajat bebas , dilambangkan sebagai Y ~ t p , , , jika fungsi kepekatan peluangnya Lange et al. 1989: 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 | | , | p p p p μ y Ψ μ y Γ Γ Γ Ψ Ψ μ, y f 4.1 sedangkan adalah fungsi gamma. Selanjutnya jika Y|u ~ N p , u untuk U ~ 2 , sedangkan bilangan real positif, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut:

1. Y ~ t

p , , 2. EY = untuk 1, dan CovY = -2 untuk 2 3. u|Y ~ 2 2 p , sedangkan 1 2 μ y Ψ μ y 4. 2 ~ F p, Sebaran peubah ganda t akan mendekati sebaran normal ganda dengan matriks kovarian jika . Tinjauan lebih luas mengenai dasar teori dan karakterisasi sebaran peubah ganda t dapat dilihat dalam Kotz dan Nadarajah 2004. Untuk p = 1, = 0, dan = 1, jadi Y ~ t 1

0, 1, , maka persamaan 4.1

merupakan fungsi kepekatan peluang dari sebaran t-student peubah tunggal dengan derajat bebas , dan Y ~ N 1 0,1 jika . Grafik fungsi kepekatan peluang sebaran t-student untuk derajat bebas 3, 4, dan 5 serta sebaran normal dapat dilihat pada Gambar 4.1.

4.2. Model Bersama Atas Dasar Sebaran t

4.2.1. Pendekatan Kekar untuk Pengaruh Acak

Formulasi model bersama berbasis sebaran t pada dasarnya mirip dengan formulasi model bersama berbasis sebaran normal. Pada submodel-1, hasil pengukuran longitudinal dilambangkan sebagai , , 1 i i im i W W  W , dimana W ij diasumsikan mengikuti model pengaruh acak sebagai berikut: , ~ dan , ~ W 2 i ij ij N ij p i ij Ψ , b b X t sedangkan X ij adalah vektor kovariat berdimensi qx1, b i dan ij diasumsikan saling bebas. Pada model di atas parameter merupakan derajat bebas dari sebaran t. Pada prakteknya parameter ini seringkali ditetapkan untuk penyederhanaan dan mengurangi beban komputasi. Misalnya Li 2009 menetapk an = 3 atau 4 berdasark an pengalam an. Gambar 4.1. Fungsi kepekatan peluang normal dan t-student dengan derajat bebas 3, 4, dan 5 Pada submodel-2, peubah respon primer dilambangkan sebagai Y i , dimana sebaran bersyarat Y i |b i diasumsikan berasal dari sebaran keluarga eksponen dengan nilaitengah EY i |b i = i dan ragam | 1 i i i i a Y Var b , sedangkan adalah parameter dispersi, a i merupakan pembobot prior, dan . adalah fungsi ragam. Pengaruh dari W i dan vektor kovariat lain Z i terhadap Y i dimodelkan melalui b i , Z i menggunakan model linier terampat pada persamaan 3.2. Hubungan antara W i dan peubah respon primer Y i dimodelkan melalui fungsi kepekatan bersama fw i ,y i . Dengan asumsi Y i |b i dan W i |b i saling bebas, serta W ij |b i , j=1,2,…,n i saling bebas, maka fungsi kepekatan bersama bagi W i dan Y i dapat dinyatakan sebagai persamaan 3.3, sedangkan fungsi kemungkinan dan log-kemungkinannya masing-masing dinyatakan dalam persamaan 3.4 dan 3.5. 10 -10 -20 -30 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 Data D e n s it y normal t-db3 t-db4 t-db5 Variable Histogram of normal; t-db3; t-db4; t-db5