Beberapa Pendekatan Model Bersama

Misalkan Y 1 dan Y 2 adalah dua hasil yang diukur pada sebuah subyek yang akan dimodelkan secara bersama, dimana salah satu atau keduanya dikumpulkan secara longitudinal. Berikut ini akan dijelaskan beberapa pendekatan yang dapat digunakan: Model Marginal Berganda Multivariate Marginal Models. Pendekatan ini berusaha menspesifikasi secara langsung fungsi kepekatan bersama fy 1 ,y 2 dari Y 1 ,Y 2 . Pendekatan ini memerlukan asumsi mengenai asosiasi marginal di antara elemen-elemen yang diukur secara longitudinal dalam vektor Y 1 dan Y 2 , serta asumsi mengenai sifat alamiah dari asosiasi antara elemen-elemen Y 1 dan Y 2 . Khususnya jika Y 1 dan Y 2 berbeda tipe misalnya kontinu dan diskret, kontinu dan survival danatau banyak data tak lengkap, pendekatan ini menjadi tidak praktis. Terlebih lagi perluasan menjadi lebih dari dua dimensi akan memerlukan asumsi terhadap struktur matriks kovarian yang lebih besar dan asosiasi ordo tinggi. Model Bersyarat Conditional Models. Salah satu cara untuk menghindari spesifikasi langsung dari sebaran bersama bagi Y 1 ,Y 2 adalah dengan cara faktorisasi fungsi kepekatan bersama sebagai hasil kali fungsi kepekatan marginal dan bersyarat sebagai berikut: fy 1 ,y 2 = fy 1 |y 2 fy 2 = fy 2 |y 1 fy 1 Model Berbagi Parameter Shared Parameter Models. Pendekatan ini merupakan pendekatan yang paling populer, dengan berdasarkan ide bahwa pengaruh acak dapat digunakan untk membangkitkan struktur asosiasi bagi model longitudinal peubah ganda, seperti halnya antar pengukuran berulang dalam suatu hasil spesifik. Misalkan b adalah vektor pengaruh acak yang dimiliki bersama oleh model bagi Y 1 dan Y 2 , yang diasumsikan saling bebas dengan bersyarat pada b. Maka fungsi kepekatan bersama bagi Y 1 ,Y 2 dapat dinyatakan sebagai: b b b y b y b b b y , y y , y d f f f d f f f | | | 2 1 2 1 2 1 3.1 Dalam hal ini, fb adalah fungsi kepekatan peluang dari pengaruh acak, yang umumnya diasumsikan normal. Pengaruh acak b adalah parameter bersama yang menginduksi korelasi antara Y 1 dan Y 2 melalui ketergantungan bersama terhadap b . Jika b diketahui, Y 1 dan Y 2 saling bebas, dapat diinterpretasikan sebagai refleksi kepercayaan bahwa segugus karakteristik dasar yang sama dari individu berpengaruh atas kedua proses hasil. Keuntungan dari pendekatan ini adalah Y 1 dan Y 2 tidak harus bertipe sama. Demikian pula parameter dalam model bersama mempunyai interpretasi yang sama seperti dalam masing-masing model peubah tunggalnya. Perluasan lebih dari dua hasil juga dapat dilakukan secara langsung, karena dimensi dari integral dalam persamaan 3.1 tidak meningkat, tidak menambah beban komputasi. Model Pengaruh Acak Random Effect Models. Kelemahan dari Model Berbagi Parameter adalah model ini dapat berimplikasi asumsi yang sangat kuat mengenai asosiasi antar hasil yang dimodelkan, suatu fenomena yang khususnya terlihat jelas bila Y 1 dan Y 2 keduanya pengukuran longitudinal dari dua hasil. Hal ini memotivasi munculnya Model Pengaruh Acak Bersama Joint Random-Effects Models yang lebih fleksibel terhadap pola korelasi antara kedua hasil, walaupun kompleksitas model menjadi lebih besar. Dalam model pengaruh acak bersama, model bagi Y 1 dan Y 2 diperbolehkan bergantung pada pengaruh acak yang berbeda, b 1 dan b 2 , yang keduanya berkorelasi. Vektor pengaruh acak b = b 1 ,b 2 diasumsikan saling bebas dengan galat intra-subyek dari kedua model, menyebar normal ganda dengan nilaitengah vektor nol dan matriks ragam-peragam G. Unsur di luar diagonal matriks G, yaitu G 12 yang tidak nol menentukan struktur asosiasi antar hasil, yaitu Corb 1 ,b 2 = 2 1 12 b b Var Var G . Model Berbagi Parameter merupakan kasus khusus dari Model Pengaruh Acak dengan membatasi korelasi antara b 1 dan b 2 sama dengan 1. Metode-metode Berdasarkan Pereduksian Dimensi. Dalam kasus-kasus lebih dari dua hasil yang akan dimodelkan secara simultan, beberapa dari pendekatan di atas tidak layak; mencakup kesulitan numerik; atau dilandasi asumsi yang sangat ekstrim, seringkali tidak realistis mengenai struktur hubungan antar hasil. Karenanya beberapa metode diajukan berdasarkan pereduksian dimensi. Ide umumnya adalah menggunakan analisis faktor atau analisis komponen utama untuk mereduksi dimensi vektor respon, kemudian faktor utamanya dianalisis lebih lanjut menggunakan model-model longitudinal yang klasik. Kelemahan dari pendekatan semacam ini adalah keterbatasan kesimpulan terhadap faktor utama saja, tidak membolehkan kesimpulan mengenai aspek-aspek peubah asal. Selain itu teknik ini tidak dapat diterapkan terhadap kasus pengukuran berulang dengan banyak data tak lengkap, atau pengamatan-pengamatan dilakukan pada waktu yang berbeda-beda antar subyek.

3.2. Pendugaan Parameter

Atas dasar Model Berbagi Parameter, beberapa metode pendugaan parameter model bersama diajukan oleh beberapa penulis, sekaligus pembandingan sifat-sifat statistikanya. Dengan memandang sebagai masalah galat pengukuran, untuk mereduksi bias Wang et al. 2000 mengajukan beberapa metode pendugaan yaitu kalibrasi regresi RC, pseudo-expected estimating equation, dan refined RC. Tanpa mengaitkan dengan masalah pengukuran, Zhang dan Lin 1999 melakukan studi simulasi pembandingan performa lima prosedur pendugaan, yakni pendugaan dua tahap, Best Linear Unbiased Predictor BLUP, kuasi-kemungkinan quasi-likelihood, kemungkinan bersyarat, dan kemungkinan maksimum. Dalam literatur tentang galat pengukuran, penduga dua tahap dapat dipandang sebagai penduga naive , sedangkan penduga BLUP dapat dipandang sebagai penduga kalibrasi regresi. Akhir-akhir ini banyak juga diterapkan metode pendugaan Bayes untuk model bersama, misalnya oleh Guo dan Carlin 2004, Horrocks dan Heuvel 2009, serta Ryu et al. 2009.

3.3. Model Dasar bagi Model Bersama

Model bersama yang diuraikan di sini adalah Model Berbagi Parameter yang mengasumsikan bahwa proses longitudinal dan proses respon primer diinduksi oleh pengaruh acak b i yang sama. Untuk model dasar ini, diasumsikan pengaruh acak dan galat intra-subyek keduanya menyebar normal. Misalkan Y i adalah peubah respon dari subyek ke- i, i = 1,2,…,n pada model regresi primer, Z i adalah vektor kovariat berdimensi px1, dan , , W 1 i i im i W  W adalah kovariat longitudinal yang diukur pada m i titik waktu , , 1 i im i t t  . Yang menjadi perhatian adalah pemodelan pengaruh kovariat Z i dan trajektori dari kovariat longitudinal W i terhadap peubah respon Y i . Diasumsikan W ij mengikuti model pengaruh acak sebagai berikut Laird dan Ware 1982: ij i ij ij W b X sedangkan X ij adalah vektor kovariat berdimensi qx1, b i adalah vektor pengaruh acak yang menyebar N , , dan ij adalah galat intra-subyek yang menyebar N0, 2 . Jika X ij = 1, t ij , komponen b 0i dan b 1i dari b i dapat diinterpretasikan sebagai nilai baseline dan laju perubahan X terhadap Y bagi subyek ke-i Zhang dan Lin 1999. Sebaran bersyarat Y i |b i diasumsikan berasal dari sebaran keluarga eksponen McCullagh dan Nelder 1989 dengan nilaitengah EY i |b i = i dan ragam | 1 i i i i a Y Var b , dimana adalah parameter dispersi, a i merupakan pembobot prior, dan . adalah fungsi ragam. Pengaruh dari W i , Z i terhadap Y i dimodelkan melalui b i , Z i menggunakan model linier terampat: 2 i 1 i b Z i g 3.2 sedangkan g. adalah fungsi hubung. Lebih lanjut diasumsikan bahwa Y i dan W i bebas bersyarat terhadap b i . Dalam hal ini inferensi terutama ditujukan terhadap parameter regresi = , 1, 2 . Sebaran bersyarat dari Y i |W i mengikuti model linier campuran terampat Breslow dan Clayton 1993, yakni: i i g a b Z 2 i 1 i ˆ dimana , ~ 2 2 A a i i N , sedangkan 1 i 2 1 i | X X Σ W a A i i i Var . Karena koefisien regresi 2 ada dalam pengaruh tetap maupun komponen ragam, maka metode-metode pendugaan yang dikembangkan untuk model linier campuran terampat, misalnya metode Penalized Quasi Likelihood PQL dari Breslow dan Clayton 1993 tidak dapat diterapkan secara langsung Zhang Lin 1999. Berdasarkan Model Berbagi Parameter, hubungan antara W i dan Y i dimodelkan melalui fungsi kepekatan bersama fw i ,y i . Dengan asumsi Y i |b i dan W i |b i saling bebas, serta W ij |b i , j=1,2,…,n i saling bebas, maka: