Metode Pendugaan Parameter ANALISIS DATA LONGITUDINAL
Dengan asumsi , dan sebagai akibatnya V
i
diketahui, maka fungsi log-
kemungkinan, l , menjadi fungsi dari saja, yaitu:
i i
q
i 1
i i
i 2
1
X y
V X
y
Dengan generalized least squares GLS, penduga bagi dapat diperoleh secara analitik sebagai berikut:
i 1
i i
1 i
1 i
ˆ
y V
X X
V X
i i
i
2.2 Penduga di atas memiliki sifat statistik yang diinginkan, yakni merupakan
penduga tak bias linier terbaik BLUE bagi . Pendugaan parameter kovarian dan pengaruh tetap dengan asumsi
tidak diketahui diuraikan sebagai berikut. Pertama untuk menduga dibentuk fungsi profil log-kemungkinan l
ML
, yaitu dengan menggantikan parameter dalam persamaan 2.1 dengan penduganya pada persamaan 2.2, yaitu:
i i
i i
i i
n ML
l r
V r
V
1 2
1 2
1 2
ln 2
ln
sedangkan
i 1
i i
i i
1 i
i i
i i
i
y V
X X
V X
X y
r
1
Pada umumnya pemaksimuman l
ML
terhadap merupakan optimasi tak linier, dengan kendala terhadap sedemikian sehingga persyaratan definit positif
bagi matriks D dan R
i
terpenuhi. Nilai dugaan bagi dapat diperoleh dengan cara iterasi sampai konvergen.
Setelah penduga ML bagi diperoleh melalui proses iterasi, nilai
ˆ
dapat dihitung tanpa iterasi dengan menggunakan persamaan 2.3 dan 2.4 sebagai
berikut:
i i
i i
R Z
D Z
V ˆ
ˆ ˆ
2.3
i 1
i i
i i
1 i
i i
y V
X X
V X
ˆ ˆ
ˆ
1
2.4
Karena V
i
digantikan oleh penduganya
i
V ˆ
, maka
ˆ
pada persamaan 2.4 dikatakan sebagai penduga tak bias linier terbaik empirik Empirical Best Linear
Unbiased EstimatorEBLUE bagi . Ragam bagi
ˆ
merupakan matriks ragam-peragam berdimensi pxp, yaitu:
1
ˆ ˆ
var
i 1
i i
i
X V
X
Karena tidak mempertimbangkan hilangnya derajat bebas sebagai akibat menduga , maka penduga ML bagi
merupakan penduga yang berbias. Untuk mengeliminasi bias ini dikembangkan bentuk alternatif dari metode ML yakni
pendugaan REML. Penduga REML bagi
diperoleh berdasarkan optimasi fungsi log- kemungkinan REML sebagai berikut:
i i
1 i
i i
i i
i i
i p
n REML
l X
V X
r V
r V
ln ln
2 ln
2 1
1 2
1 2
1 2
Deskripsi dan pembandingan berbagai metode pendugaan dalam model linier campuran dapat dijumpai misalnya dalam Searle et al. 1992.
Nilai prediksi bagi pengaruh acak merupakan nilai harapan bersyarat dari pengaruh acak jika nilai peubah respon diketahui, yang dapat dinyatakan sebagai:
ˆ ˆ
ˆ |
ˆ
1
X y
V Z
D y
Y b
b
i i
i i
i i
i i
E
Nilai harapan beryarat di atas merupakan prediktor tak bias linear terbaik empiris Empirical Best Linear Unbiased PredictorEBLUP bagi pengaruh acak
b
i
, karena diperoleh berdasarkan nilai dugaan matriks kovarian
i
V ˆ
. Adapun matriks kovarian bagi prediktor pengaruh acak
i
ˆb adalah:
D Z
V X
X V
X X
V V
Z D
b
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
1 1
1 1
1 i
i i
i i
i i
i i
i i
i
Var