Metode Pendugaan Parameter ANALISIS DATA LONGITUDINAL

Dengan asumsi , dan sebagai akibatnya V i diketahui, maka fungsi log- kemungkinan, l , menjadi fungsi dari saja, yaitu: i i q i 1 i i i 2 1 X y V X y Dengan generalized least squares GLS, penduga bagi dapat diperoleh secara analitik sebagai berikut: i 1 i i 1 i 1 i ˆ y V X X V X i i i 2.2 Penduga di atas memiliki sifat statistik yang diinginkan, yakni merupakan penduga tak bias linier terbaik BLUE bagi . Pendugaan parameter kovarian dan pengaruh tetap dengan asumsi tidak diketahui diuraikan sebagai berikut. Pertama untuk menduga dibentuk fungsi profil log-kemungkinan l ML , yaitu dengan menggantikan parameter dalam persamaan 2.1 dengan penduganya pada persamaan 2.2, yaitu: i i i i i i n ML l r V r V 1 2 1 2 1 2 ln 2 ln sedangkan i 1 i i i i 1 i i i i i i y V X X V X X y r 1 Pada umumnya pemaksimuman l ML terhadap merupakan optimasi tak linier, dengan kendala terhadap sedemikian sehingga persyaratan definit positif bagi matriks D dan R i terpenuhi. Nilai dugaan bagi dapat diperoleh dengan cara iterasi sampai konvergen. Setelah penduga ML bagi diperoleh melalui proses iterasi, nilai ˆ dapat dihitung tanpa iterasi dengan menggunakan persamaan 2.3 dan 2.4 sebagai berikut: i i i i R Z D Z V ˆ ˆ ˆ 2.3 i 1 i i i i 1 i i i y V X X V X ˆ ˆ ˆ 1 2.4 Karena V i digantikan oleh penduganya i V ˆ , maka ˆ pada persamaan 2.4 dikatakan sebagai penduga tak bias linier terbaik empirik Empirical Best Linear Unbiased EstimatorEBLUE bagi . Ragam bagi ˆ merupakan matriks ragam-peragam berdimensi pxp, yaitu: 1 ˆ ˆ var i 1 i i i X V X Karena tidak mempertimbangkan hilangnya derajat bebas sebagai akibat menduga , maka penduga ML bagi merupakan penduga yang berbias. Untuk mengeliminasi bias ini dikembangkan bentuk alternatif dari metode ML yakni pendugaan REML. Penduga REML bagi diperoleh berdasarkan optimasi fungsi log- kemungkinan REML sebagai berikut: i i 1 i i i i i i i i p n REML l X V X r V r V ln ln 2 ln 2 1 1 2 1 2 1 2 Deskripsi dan pembandingan berbagai metode pendugaan dalam model linier campuran dapat dijumpai misalnya dalam Searle et al. 1992. Nilai prediksi bagi pengaruh acak merupakan nilai harapan bersyarat dari pengaruh acak jika nilai peubah respon diketahui, yang dapat dinyatakan sebagai: ˆ ˆ ˆ | ˆ 1 X y V Z D y Y b b i i i i i i i i E Nilai harapan beryarat di atas merupakan prediktor tak bias linear terbaik empiris Empirical Best Linear Unbiased PredictorEBLUP bagi pengaruh acak b i , karena diperoleh berdasarkan nilai dugaan matriks kovarian i V ˆ . Adapun matriks kovarian bagi prediktor pengaruh acak i ˆb adalah: D Z V X X V X X V V Z D b ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 1 1 1 i i i i i i i i i i i i Var

2.3. Pengujian Hipotesis dan Pembandingan Model Tersarang

Hipotesis dari dua model yang memiliki hubungan tersarang dapat dibuat menjadi suatu formula. Model reference model penuh merupakan model yang lebih umum yang mencakup kedua hipotesis H dan Ha, sedangkan model yang hanya mencakup H disebut model nested model tersarang. Model penuh mengandung semua parameter yang diuji sedangkan model tersarang hanya mengandung sebagian dari parameter tersebut. Uji yang digunakan untuk membandingkan kedua model tersebut adalah Likelihood Ratio Tests LRTs. LRTs merupakan suatu uji yang membandingkan nilai fungsi likelihood untuk kedua model dengan persamaan: -2log penuh tersarang L L = -2 log L tersarang – -2logL penuh ~ 2 df sedangkan: L tersarang = nilai fungsi likelihood pada model tersarang L penuh = nilai fungsi likelihood pada model penuh df = selisih banyaknya parameter antara model penuh dan model tersarang LRTs juga dapat digunakan untuk menguji hipotesis parameter acak dan tetap di dalam model. Pengujian parameter tetap dalam model menggunakan pendugaan ML, sedangkan dalam pengujian parameter acak digunakan pendugaan REML. Statistik ujinya adalah selisih -2 MLREML log likelihood antara model penuh dan model tersarang seperti dinyatakan dalam persamaan di atas.

2.4. Penerapan terhadap Data Kasus HIVAIDS

Data yang digunakan untuk analisis data longitudinal merupakan hasil suatu percobaan klinis untuk membandingkan kemanjuran dan keamanan dua jenis obat antiretroviral dalam menangani pasien-pasien yang gagal atau tidak toleran terhadap terapi zidovudine AZT. Percobaan melibatkan n = 467 pasien terinfeksi HIV yang terdiagnosa sebagai penderita AIDS atau memiliki jumlah sel CD4 + ≤ 300 per ml 3 darah. Pasien dibagi secara acak untuk menerima salah satu dari dua jenis obat, yaitu didanosine ddI atau zalzitabine ddC. Banyaknya sel CD4 + dicatat pada saat terlibat dalam studi t = 0, dan kunjungan pada bulan ke 2, 6, 12 dan 18, sehingga maks m i = 5. Data ini digunakan oleh Guo dan Carlin 2004 untuk pemodelan bersama data longitudinal dan data daya tahan hidup waktu sampai terjadinya kematian dari penderita HIV. Data diambil dari http:www.biostat.umn.edu~bradsoftware.html . Peubah penjelasnya adalah Drug ddI = 1, ddC = 0, Gender male = 1, female = -1, PrevOI AIDS diagnosis at study entry = 1, no AIDS diagnosis = -1, dan Stratum AZT failure = 1, AZT intolerance = -1.