Pendugaan Parameter Model Dasar bagi Model Bersama

menjadi perhatian adalah pemodelan pengaruh kovariat Z i dan trajektori dari kovariat longitudinal W i terhadap peubah respon Y i . Diasumsikan W ij mengikuti model pengaruh acak sebagai berikut Laird dan Ware 1982: ij i ij ij W b X sedangkan X ij adalah vektor kovariat berdimensi qx1, b i adalah vektor pengaruh acak yang menyebar N , , dan ij adalah galat intra-subyek yang menyebar N0, 2 . Jika X ij = 1, t ij , komponen b 0i dan b 1i dari b i dapat diinterpretasikan sebagai nilai baseline dan laju perubahan X terhadap Y bagi subyek ke-i Zhang dan Lin 1999. Sebaran bersyarat Y i |b i diasumsikan berasal dari sebaran keluarga eksponen McCullagh dan Nelder 1989 dengan nilaitengah EY i |b i = i dan ragam | 1 i i i i a Y Var b , dimana adalah parameter dispersi, a i merupakan pembobot prior, dan . adalah fungsi ragam. Pengaruh dari W i , Z i terhadap Y i dimodelkan melalui b i , Z i menggunakan model linier terampat: 2 i 1 i b Z i g 3.2 sedangkan g. adalah fungsi hubung. Lebih lanjut diasumsikan bahwa Y i dan W i bebas bersyarat terhadap b i . Dalam hal ini inferensi terutama ditujukan terhadap parameter regresi = , 1, 2 . Sebaran bersyarat dari Y i |W i mengikuti model linier campuran terampat Breslow dan Clayton 1993, yakni: i i g a b Z 2 i 1 i ˆ dimana , ~ 2 2 A a i i N , sedangkan 1 i 2 1 i | X X Σ W a A i i i Var . Karena koefisien regresi 2 ada dalam pengaruh tetap maupun komponen ragam, maka metode-metode pendugaan yang dikembangkan untuk model linier campuran terampat, misalnya metode Penalized Quasi Likelihood PQL dari Breslow dan Clayton 1993 tidak dapat diterapkan secara langsung Zhang Lin 1999. Berdasarkan Model Berbagi Parameter, hubungan antara W i dan Y i dimodelkan melalui fungsi kepekatan bersama fw i ,y i . Dengan asumsi Y i |b i dan W i |b i saling bebas, serta W ij |b i , j=1,2,…,n i saling bebas, maka: 3.3 Misalkan , , 2 Σ . Fungsi kemungkinan dan log-kemungkinan bagi = , adalah: 3.4 dan 3.5 Untuk peubah kontinu yang menyebar normal, maka g. merupakan fungsi hubung identitas, sehingga 2 i 1 i b Z i atau i i b Y 2 i 1 i Z . Jika i ~ N0, 2 , maka bersyarat pada b i , Y i akan menyebar normal dengan nilaitengah 2 i 1 i i | b Z b i Y E dan ragam 2 i | b i Y Var . Dengan demikian secara lengkap fungsi log-kemungkinan bagi = , dapat dituliskan sebagai: i i i i ij m j n i i d y w g lo y l i b b b b Z X w Θ } exp 2 1 exp 2 1 exp 2 1 { , | 1 2 1 2 2 i 1 i 2 1 2 ij 2 1 1 1 i 1 2 2 2 3.6 Selanjutnya penduga parameter joint model dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log-kemungkinan di atas terhadap parameter = , . Bentuk fungsi log-kemungkinan di atas memerlukan teknik integrasi numerik, yang umum digunakan misalnya Gaussian Quadrature atau Monte Carlo Song et al. 2002; Henderson et al. 2000. Rizopoulos et al. 2009 menggunakan menggunakan pendekatan Fully Exponential Laplace FELA untuk mengatasi beban komputasi akibat membesarnya dimensi integrasi dengan semakin besarnya i i i i i m j i i i i i i i i i i i d f y f w f d f y f f d f y f d y f y f i b b b b b b b b w b b b w b b w w | | | | | , , , , ij 1 i i i i i i n i m j i i i i i i n i m j i i i i i i i i d f y f w f y d f y f w f y L 1 1 ij i 1 1 ij i | | log , | | | , | b b b b w Θ b b b b w Θ l dimensi pengaruh acak. Algoritma EM juga sering dijadikan pilihan untuk memaksimumkan pendekatan fungsi log-kemungkinan, dimana pengaruh acak diperlakukan sebagai data hilang, misalnya dapat dijumpai dalam Li 2007 atau Li 2009. Pemaksimuman secara langsung terhadap fungsi log-kemungkinan, misalnya algoritma quasi-Newton seringkali memerlukan komputasi yang mirip dengan algoritma EM, sehingga pendekatan optimisasi hibrid yang dimulai dengan algoritma EM dilanjutkan dengan pemaksimuman langsung dapat digunakan dengan lebih mudah.

3.4. Penerapan pada Data Kasus HIVAIDS

Sebagai aplikasi model, akan dilakukan pemodelan bersama data longitudinal submodel-1 sebagai peubah penjelas beserta kovariat lainnya dan data biner sebagai peubah respon primer submodel-2. Data longitudinal dimodelkan sebagai model linier campuran, sedangkan data biner dimodelkan dengan model linier terampat. Kedua model tersebut dihubungkan melalui pengaruh acak yang sama.

3.4.1. Deskripsi Data

Data yang digunakan merupakan hasil suatu percobaan klinis untuk membandingkan kemanjuran dan keamanan dua jenis obat antiretroviral dalam menangani pasien-pasien yang gagal atau tidak toleran terhadap terapi zidovudine AZT. Percobaan melibatkan n = 467 pasien terinfeksi HIV yang terdiagnosa sebagai penderita AIDS atau memiliki jumlah sel CD4 + ≤ 300 per ml 3 darah. Pasien dibagi secara acak untuk menerima salah satu dari dua jenis obat, yaitu didanosine ddI atau zalzitabine ddC. Banyaknya sel CD4 + dicatat pada saat terlibat dalam studi t = 0, dan kunjungan pada bulan ke 2, 6, 12 dan 18, sehingga maks m i = 5. Data ini juga digunakan oleh Guo dan Carlin 2004 untuk pemodelan bersama data longitudinal dan data daya tahan hidup waktu sampai terjadinya kematian dari penderita HIV. Karena data longitudinal sangat menjulur ke kanan, dilakukan transformasi data sebelum analisis berikutnya. Transformasi akar dipilih untuk mengurangi kemenjuluran pola sebaran sekaligus untuk CD4 + menstabilkan ragam, juga karena datanya merupakan data cacahan. Peubah respon biner pada submodel-2 adalah terjadinya kematian pasien pada saat penelitian Death = 1, NoDeath = 0, sedangkan peubah penjelasnya adalah Drug ddI = 1, ddC = 0, Gender male = 1, female = -1, PrevOI AIDS diagnosis at study entry = 1, no AIDS diagnosis = -1, dan Stratum AZT failure = 1, AZT intolerance = -1. Untuk submodel-1, sebagai peubah responnya adalah banyaknya sel CD4 + pada t = 0, 2, 6, 12, dan 18 bulan, sedangkan peubah penjelasnya sama dengan di atas ditambah pengaruh waktu. Ukuran contoh pada kelima titik waktu menurun dengan cepat berkaitan dengan terjadinya kematian, drop-out, atau ketidakhadiran pada saat kunjungan. Penurunan drastis jumlah pasien terjadi pada bulan ke-18. Pada Gambar 3.1 disajikan jumlah pasien pada lima titik waktu untuk pasien penerima kedua jenis obat. Gambar 3.1. Banyaknya pasien pada lima titik waktu pengamatan

3.4.2. Pemodelan

Data longitudinal hasil transformasi akar banyaknya sel CD4 + dalam submodel-1 selanjutnya dimodelkan sebagai model linier campuran dengan persamaan sebagai berikut: i ij ij i i i i i ij ij ij m j i Time b b Stratum evOI Gender Drug Time Time w , , 2 , 1 467 , , 2 , 1 , Pr 1 51 41 31 21 11 01   50 100 150 200 250 2 6 12 18 237 186 157 123 15 230 182 153 103 22 Ju m lah p asi e n Waktu pengamatan bulan ddC ddI