Pendugaan Parameter Model Dasar bagi Model Bersama
menjadi perhatian adalah pemodelan pengaruh kovariat Z
i
dan trajektori dari
kovariat longitudinal W
i
terhadap peubah respon Y
i
. Diasumsikan W
ij
mengikuti model pengaruh acak sebagai berikut Laird dan Ware 1982:
ij i
ij ij
W b
X sedangkan X
ij
adalah vektor kovariat berdimensi qx1, b
i
adalah vektor pengaruh acak yang menyebar N , , dan
ij
adalah galat intra-subyek yang menyebar N0,
2
. Jika X
ij
= 1, t
ij
, komponen b
0i
dan b
1i
dari b
i
dapat diinterpretasikan sebagai nilai baseline dan laju perubahan X terhadap Y bagi subyek ke-i Zhang
dan Lin 1999. Sebaran bersyarat Y
i
|b
i
diasumsikan berasal dari sebaran keluarga eksponen McCullagh dan Nelder 1989 dengan nilaitengah EY
i
|b
i
=
i
dan ragam
|
1 i
i i
i
a Y
Var b
, dimana adalah parameter dispersi, a
i
merupakan
pembobot prior, dan . adalah fungsi ragam. Pengaruh dari W
i
, Z
i
terhadap Y
i
dimodelkan melalui b
i
, Z
i
menggunakan model linier terampat:
2 i
1 i
b Z
i
g
3.2 sedangkan g. adalah fungsi hubung. Lebih lanjut diasumsikan bahwa Y
i
dan W
i
bebas bersyarat terhadap b
i
. Dalam hal ini inferensi terutama ditujukan terhadap parameter regresi =
,
1, 2
. Sebaran bersyarat dari Y
i
|W
i
mengikuti model linier campuran terampat Breslow dan Clayton 1993, yakni:
i i
g a
b Z
2 i
1 i
ˆ dimana
, ~
2 2
A a
i i
N
, sedangkan
1 i
2 1
i
| X
X Σ
W a
A
i i
i
Var
. Karena koefisien regresi
2
ada dalam pengaruh tetap maupun komponen ragam, maka metode-metode pendugaan yang dikembangkan untuk model linier campuran
terampat, misalnya metode Penalized Quasi Likelihood PQL dari Breslow dan Clayton 1993 tidak dapat diterapkan secara langsung Zhang Lin 1999.
Berdasarkan Model Berbagi Parameter, hubungan antara W
i
dan Y
i
dimodelkan melalui fungsi kepekatan bersama fw
i
,y
i
. Dengan asumsi Y
i
|b
i
dan
W
i
|b
i
saling bebas, serta W
ij
|b
i
, j=1,2,…,n
i
saling bebas, maka:
3.3
Misalkan
, ,
2
Σ
. Fungsi kemungkinan dan log-kemungkinan bagi = , adalah:
3.4 dan
3.5
Untuk peubah kontinu yang menyebar normal, maka g. merupakan fungsi hubung identitas, sehingga
2 i
1 i
b Z
i
atau
i i
b Y
2 i
1 i
Z
. Jika
i
~ N0,
2
, maka bersyarat pada b
i
, Y
i
akan menyebar normal dengan nilaitengah
2 i
1 i
i
| b
Z b
i
Y E
dan ragam
2 i
|
b
i
Y Var
. Dengan demikian secara lengkap fungsi log-kemungkinan bagi
= ,
dapat dituliskan sebagai:
i i
i i
ij m
j n
i i
d y
w g
lo y
l
i
b b
b b
Z X
w Θ
} exp
2 1
exp 2
1 exp
2 1
{ ,
|
1 2
1 2
2 i
1 i
2 1
2 ij
2 1
1 1
i
1 2
2 2
3.6
Selanjutnya penduga parameter joint model dapat diperoleh dengan
memaksimumkan fungsi log-kemungkinan di atas terhadap parameter = , .
Bentuk fungsi log-kemungkinan di atas memerlukan teknik integrasi numerik, yang umum digunakan misalnya Gaussian Quadrature atau Monte Carlo Song et
al. 2002; Henderson et al. 2000. Rizopoulos et al. 2009 menggunakan menggunakan pendekatan Fully Exponential Laplace FELA untuk mengatasi
beban komputasi akibat membesarnya dimensi integrasi dengan semakin besarnya
i i
i i
i m
j i
i i
i i
i i
i i
i i
d f
y f
w f
d f
y f
f d
f y
f d
y f
y f
i
b b
b b
b b
b b
w b
b b
w b
b w
w
| |
| |
| ,
, ,
,
ij 1
i i
i i
i i
n i
m j
i i
i i
i i
n i
m j
i i
i i
i i
i i
d f
y f
w f
y d
f y
f w
f y
L
1 1
ij i
1 1
ij i
| |
log ,
| |
| ,
|
b b
b b
w Θ
b b
b b
w Θ
l
dimensi pengaruh acak. Algoritma EM juga sering dijadikan pilihan untuk memaksimumkan pendekatan fungsi log-kemungkinan, dimana pengaruh acak
diperlakukan sebagai data hilang, misalnya dapat dijumpai dalam Li 2007 atau Li 2009. Pemaksimuman secara langsung terhadap fungsi log-kemungkinan,
misalnya algoritma quasi-Newton seringkali memerlukan komputasi yang mirip dengan algoritma EM, sehingga pendekatan optimisasi hibrid yang dimulai
dengan algoritma EM dilanjutkan dengan pemaksimuman langsung dapat digunakan dengan lebih mudah.