Dalam hal ini
, ,
Y
1 i
i
im i
Y
Y
adalah vektor peubah respon dari subyek ke-i, n = total banyaknya subyek, dan m
i
= banyaknya deret data longitudinal dari subyek
ke-i. Adapun X
i
dan Z
i
adalah matriks rancangan masing-masing berdimensi m
i
x p dan m
i
x q yang bersesuaian dengan vektor pengaruh tetap
px1
dan vektor
pengaruh acak b
iqx1
, sedangkan
i
merupakan vektor galat intra-subyek
berdimensi m
i
x 1.
Pada model di atas, diasumsikan bahwa q vektor pengaruh acak b
i
menyebar
normal ganda dengan nilaitengah 0 dan matriks kovarian D, yakni b
i
~ N0,D.
Demikian pula
i
~ N0,R
i
, serta b
i
dan
i
saling bebas. Hal ini berimplikasi
sebaran marginal dari Y
i
adalah normal dengan nilaitengah EY
i
= X
i
dan
matriks kovarian V
i
= Z
i
DZ
i
+ R
i
. Matriks D dan R
i
keduanya merupakan matriks simetrik definit positif.
2.2. Metode Pendugaan Parameter
Metode pendugaan yang umum digunakan untuk menduga parameter dalam model linier campuran adalah metode kemungkinan maksimum maximum
likelihoodML atau metode kemungkinan maksimum berkendala restricted maximum likelihoodREML.
Jika adalah parameter pengaruh tetap, dan adalah parameter kovarian, fungsi kepekatan peluang normal ganda bagi Y
i
, fy
i
| , adalah:
] exp[
2 ,
|
2 1
2 1
2
X y
V X
y V
y
i i
1 i
i i
i i
i n
f
Fungsi kemungkinannya dapat dituliskan sebagai:
i i
i 1
i i
i i
i i
i n
f L
] exp[
2 ,
| ,
2 1
2 1
2
X y
V X
y V
y
Dengan demikian fungsi log-kemungkinannya adalah:
i i
i 1
i i
i i
i n
L l
ln 2
ln ,
ln ,
2 1
2 1
2
X y
V X
y V
2.1 sedangkan n = n
i
adalah banyaknya amatan dalam gugus data. Walaupun memungkinkan untuk menduga parameter
dan secara
simultan dengan memaksimumkan fungsi di atas, banyak algoritma komputasi yang menyederhanakan optimasi dengan cara menyembunyikan profiling out
parameter dari fungsi log-kemungkinan.
Dengan asumsi , dan sebagai akibatnya V
i
diketahui, maka fungsi log-
kemungkinan, l , menjadi fungsi dari saja, yaitu:
i i
q
i 1
i i
i 2
1
X y
V X
y
Dengan generalized least squares GLS, penduga bagi dapat diperoleh secara analitik sebagai berikut:
i 1
i i
1 i
1 i
ˆ
y V
X X
V X
i i
i
2.2 Penduga di atas memiliki sifat statistik yang diinginkan, yakni merupakan
penduga tak bias linier terbaik BLUE bagi . Pendugaan parameter kovarian dan pengaruh tetap dengan asumsi
tidak diketahui diuraikan sebagai berikut. Pertama untuk menduga dibentuk fungsi profil log-kemungkinan l
ML
, yaitu dengan menggantikan parameter dalam persamaan 2.1 dengan penduganya pada persamaan 2.2, yaitu:
i i
i i
i i
n ML
l r
V r
V
1 2
1 2
1 2
ln 2
ln
sedangkan
i 1
i i
i i
1 i
i i
i i
i
y V
X X
V X
X y
r
1
Pada umumnya pemaksimuman l
ML
terhadap merupakan optimasi tak linier, dengan kendala terhadap sedemikian sehingga persyaratan definit positif
bagi matriks D dan R
i
terpenuhi. Nilai dugaan bagi dapat diperoleh dengan cara iterasi sampai konvergen.
Setelah penduga ML bagi diperoleh melalui proses iterasi, nilai
ˆ
dapat dihitung tanpa iterasi dengan menggunakan persamaan 2.3 dan 2.4 sebagai
berikut:
i i
i i
R Z
D Z
V ˆ
ˆ ˆ
2.3
i 1
i i
i i
1 i
i i
y V
X X
V X
ˆ ˆ
ˆ
1
2.4
