Pendekatan Kekar untuk Pengaruh Acak

, ~ dan , ~ W 2 i ij ij N ij p i ij Ψ , b b X t sedangkan X ij adalah vektor kovariat berdimensi qx1, b i dan ij diasumsikan saling bebas. Pada model di atas parameter merupakan derajat bebas dari sebaran t. Pada prakteknya parameter ini seringkali ditetapkan untuk penyederhanaan dan mengurangi beban komputasi. Misalnya Li 2009 menetapk an = 3 atau 4 berdasark an pengalam an. Gambar 4.1. Fungsi kepekatan peluang normal dan t-student dengan derajat bebas 3, 4, dan 5 Pada submodel-2, peubah respon primer dilambangkan sebagai Y i , dimana sebaran bersyarat Y i |b i diasumsikan berasal dari sebaran keluarga eksponen dengan nilaitengah EY i |b i = i dan ragam | 1 i i i i a Y Var b , sedangkan adalah parameter dispersi, a i merupakan pembobot prior, dan . adalah fungsi ragam. Pengaruh dari W i dan vektor kovariat lain Z i terhadap Y i dimodelkan melalui b i , Z i menggunakan model linier terampat pada persamaan 3.2. Hubungan antara W i dan peubah respon primer Y i dimodelkan melalui fungsi kepekatan bersama fw i ,y i . Dengan asumsi Y i |b i dan W i |b i saling bebas, serta W ij |b i , j=1,2,…,n i saling bebas, maka fungsi kepekatan bersama bagi W i dan Y i dapat dinyatakan sebagai persamaan 3.3, sedangkan fungsi kemungkinan dan log-kemungkinannya masing-masing dinyatakan dalam persamaan 3.4 dan 3.5. 10 -10 -20 -30 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 Data D e n s it y normal t-db3 t-db4 t-db5 Variable Histogram of normal; t-db3; t-db4; t-db5 Jika g. merupakan fungsi hubung identitas, maka 2 i 1 i b Z i atau i i b Y 2 i 1 i Z . Jika i ~ N0, 2 , maka bersyarat pada b i , Y i akan menyebar normal dengan nilaitengah 2 i 1 i i | b Z b i Y E dan ragam 2 i | b i Y Var . Karena , ~ Ψ , b p i t , maka fungsi kepekatan bagi b i dapat dinyatakan sebagai berikut: 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 | | , | p i i p p i p b Ψ b Γ Γ Γ Ψ Ψ , b f 4.2 Analog dengan 3.6, dan dengan menggantikan sebaran pengaruh acak normal ganda dengan peubah ganda-t pada persamaan 4.2, maka fungsi log- kemungkinan bagi = , , dimana = 0, 1, 2 dan , , 2 ψ dapat dituliskan sebagai: i p i i p p i ij m j n i i d p y w g lo Y l i b b Ψ b Γ Γ Γ Ψ b Z X W Θ } 1 2 2 1 2 | | exp 2 1 exp 2 1 { , | 2 1 2 2 1 2 2 i 1 i 2 1 2 ij 2 1 1 1 i 2 2 4.3 Bentuk fungsi log-kemungkinan di atas beserta pendugaan parameternya dapat disederhanakan dengan menggunakan fakta bahwa jika b i |u i ~ N p , u i untuk U i ~ i 2 , maka b i ~ , i p Ψ , t , sehingga persamaan 4.3 dapat dituliskan sebagai: i i i i i i u p p i i ij m j n i i d u u u y w g lo Y l i i i i i i b Γ b Ψ b Ψ b Z X W Θ } exp 2 exp | | 2 exp 2 1 exp 2 1 { , | 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 i 1 i 2 1 2 ij 2 1 1 1 i 2 2 2 2 4.4 Selanjutnya penduga parameter joint model dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log-kemungkinan di atas terhadap parameter = , , sedangkan = 0, 1, 2 dan , , 2 ψ , dengan catatan bahwa parameter derajat bebas i ditetapkan untuk penyederhanaan.

4.2.2. Pendekatan Kekar untuk Galat Intra-subyek

Untuk pendekatan ini, model untuk data longitudinal pada submodel-1, dapat dinyatakan sebagai: , , ~ dan ~ W 2 i ij ij t ij p i ij Σ , b b X N Sedangkan adalah parameter derajat bebas dari sebaran t-student yang bisa diduga, atau ditetapkan untuk penyederhanaan dan mengurangi beban komputasi. Analog dengan 3.6, dan dengan menggantikan sebaran galat intra-subyek normal dengan sebaran t-student, maka fungsi log-kemungkinan bagi = , , dimana = 0, 1, 2 dan , , 2 Σ , sedangkan = 0, 1, 2 seperti dinyatakan dalam persamaan 3.2, dapat dituliskan sebagai: i i i i ij m j n i i d y w g lo Y l i b b b b Z X W Θ } exp 2 1 exp 2 1 1 } 2 1 { { , | 1 2 1 2 2 i 1 i 2 1 2 1 2 ij 1 1 2 1 2 1 i 1 2 2 2 4.5 Selanjutnya fungsi log-kemungkinan di atas dapat disederhanakan dengan menggunakan fakta bahwa sebaran , , 2 t dapat diperoleh dengan menggabungkan contoh ε ij dengan suatu peubah penskala w ij sedemikian sehingga ~ , , ~ | 2 2 ij ij ij ij w w N w , sedangkan w ij adalah peubah acak Gamma yang saling bebas dan identik Lange 1989. Dengan demikian fungsi log-kemungkinan pada persamaan 4.5 dapat dinyatakan sebagai: i i i m j ij i ij i ij w m j ij n i i d w w y w w g lo Y l i i ij i b b Σ b Σ Γ b Z X W Θ } exp 2 1 exp 2 exp 2 1 exp 2 { , | 1 2 1 1 2 1 2 2 2 i 1 i 2 1 2 ij 2 1 2 1 i 2 2 2 2 4.6 Dengan mengambil nilai parameter tetap, penduga parameter joint model dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log-kemungkinan di atas terhadap parameter = , , sedangkan = 0, 1, 2 dan , , 2 Σ . 4.3. KAJIAN SIMULASI KETAKNORMALAN PENGARUH ACAK

4.3.1. Rancangan Simulasi

Untuk melihat pengaruh pelanggaran asumsi sebaran normal dari pengaruh acak serta pengaruh banyaknya deret data longitudinal terhadap sifat-sifat penduga parameter model bersama, akan dilakukan simulasi dengan kombinasi beberapa kondisi. Sebaran pengaruh acak yang dicobakan adalah sebaran normal ganda serta sebaran bivariate t. Dari beberapa studi terhadap respon primer berupa data daya tahan hidup Hsieh et al. 2006; Rizopoulos Verbeke 2008, banyaknya deret data longitudinal berpengaruh terhadap akibat salah spesifikasi sebaran pengaruh acak, namun belum diketahui pengaruhnya untuk jenis data yang lain. Berdasarkan pertimbangan tersebut, frekuensi pengamatan longitudinal dalam simulasi ini akan dikondisikan sering dan jarang. Secara garis besar berikut adalah tahapan simulasi yang dilakukan: 1. Pembangkitan Data a. Ukuran contoh subyek ditetapkan sebesar n=100. b. Untuk data longitudinal pada submodel-1, data dibangkitkan mengikuti model koefisien acak ij i ij ij W b X . Matriks X ij = 1, t ij adalah fixed dengan tiga kondisi t ij , j = 1,...,m i , yaitu 1 m i = 9 untuk setiap i, 2 m i = 4