Pendekatan Kekar untuk Pengaruh Acak
, ~
dan ,
~ W
2 i
ij ij
N
ij p
i ij
Ψ ,
b b
X
t
sedangkan X
ij
adalah vektor kovariat berdimensi qx1, b
i
dan
ij
diasumsikan saling bebas. Pada model di atas parameter merupakan derajat bebas dari
sebaran t. Pada prakteknya parameter ini seringkali ditetapkan untuk penyederhanaan dan mengurangi beban komputasi. Misalnya Li 2009
menetapk an = 3
atau 4
berdasark an
pengalam an.
Gambar 4.1. Fungsi kepekatan peluang normal dan t-student dengan derajat bebas
3, 4, dan 5 Pada submodel-2, peubah respon primer dilambangkan sebagai Y
i
, dimana sebaran bersyarat Y
i
|b
i
diasumsikan berasal dari sebaran keluarga eksponen dengan nilaitengah EY
i
|b
i
=
i
dan ragam
|
1 i
i i
i
a Y
Var b
, sedangkan adalah parameter dispersi, a
i
merupakan pembobot prior, dan . adalah fungsi
ragam. Pengaruh dari W
i
dan vektor kovariat lain Z
i
terhadap Y
i
dimodelkan
melalui b
i
, Z
i
menggunakan model linier terampat pada persamaan 3.2.
Hubungan antara W
i
dan peubah respon primer Y
i
dimodelkan melalui
fungsi kepekatan bersama fw
i
,y
i
. Dengan asumsi Y
i
|b
i
dan W
i
|b
i
saling bebas, serta W
ij
|b
i
, j=1,2,…,n
i
saling bebas, maka fungsi kepekatan bersama bagi W
i
dan Y
i
dapat dinyatakan sebagai persamaan 3.3, sedangkan fungsi kemungkinan dan log-kemungkinannya masing-masing dinyatakan dalam persamaan 3.4 dan 3.5.
10 -10
-20 -30
0,4 0,3
0,2 0,1
0,0
Data D
e n
s it
y
normal t-db3
t-db4 t-db5
Variable
Histogram of normal; t-db3; t-db4; t-db5
Jika g. merupakan fungsi hubung identitas, maka
2 i
1 i
b Z
i
atau
i i
b Y
2 i
1 i
Z
. Jika
i
~ N0,
2
, maka bersyarat pada b
i
, Y
i
akan
menyebar normal dengan nilaitengah
2 i
1 i
i
| b
Z b
i
Y E
dan ragam
2 i
| b
i
Y Var
. Karena
, ~
Ψ ,
b
p i
t
, maka fungsi kepekatan bagi b
i
dapat dinyatakan sebagai berikut:
2 1
2 2
1
1 2
2 1
2 |
| ,
|
p i
i p
p i
p b
Ψ b
Γ Γ
Γ Ψ
Ψ ,
b
f
4.2 Analog dengan 3.6, dan dengan menggantikan sebaran pengaruh acak
normal ganda dengan peubah ganda-t pada persamaan 4.2, maka fungsi log- kemungkinan bagi
= , , dimana =
0, 1,
2
dan
, ,
2
ψ
dapat dituliskan sebagai:
i p
i i
p p
i ij
m j
n i
i
d p
y w
g lo
Y l
i
b b
Ψ b
Γ Γ
Γ Ψ
b Z
X W
Θ
} 1
2 2
1 2
| |
exp 2
1 exp
2 1
{ ,
|
2 1
2 2
1 2
2 i
1 i
2 1
2 ij
2 1
1 1
i
2 2
4.3
Bentuk fungsi log-kemungkinan di atas beserta pendugaan parameternya
dapat disederhanakan dengan menggunakan fakta bahwa jika b
i
|u
i
~ N
p
, u
i
untuk U
i
~
i 2
, maka b
i
~
,
i p
Ψ ,
t
, sehingga persamaan 4.3 dapat dituliskan sebagai:
i i
i i
i i
u p
p i
i ij
m j
n i
i
d u
u u
y w
g lo
Y l
i i
i i
i i
b Γ
b Ψ
b Ψ
b Z
X W
Θ
} exp
2 exp
| |
2 exp
2 1
exp 2
1 {
, |
2 1
2 1
2 2
1 2
2 2
2 i
1 i
2 1
2 ij
2 1
1 1
i
2 2
2 2
4.4
Selanjutnya penduga parameter joint model dapat diperoleh dengan
memaksimumkan fungsi log-kemungkinan di atas terhadap parameter = , , sedangkan =
0, 1,
2
dan
, ,
2
ψ
, dengan catatan bahwa parameter derajat bebas
i
ditetapkan untuk penyederhanaan.