11
Himpunan fuzzy memiliki 2 atribut, yaitu : a.
Linguistik, yaitu penamaan suatu group yang mewakili suatu keadaan atau kondisi tertentu dengan menggunakan bahasa alami, misalnya: muda,
parobaya, tua. b.
Numeris, yaitu suatu nilai angka yang menunjukkan ukuran dari suatu variabel, misalnya: 25, 40, 60.
2.3 Operasi Himpunan Fuzzy
Misalkan himpunan fuzzy dan dalam semesta X, untuk elemen x dalam
semesta berlaku operasi gabungan, perpotongan dan komplemen, sebagai berikut. Gabungan
μ x = μ x μ x 2.5
Perpotongan μ ∩ x = μ x μ x
2.6 Komplemen
μ
-1
x = 1 − μ x
2.7 Operasi-operasi ini disebut operasi standar fuzzy. Diagram venn untuk operasi ini
ditunjukkan pada gambar berikut.
Gambar 2.6 Diagram Venn untuk Operasi Gabungan, Perpotongan dan Komplemen pada Himpunan Fuzzy
Universitas Sumatera Utara
12
Untuk pemetaan himpunan fuzzy, misalkan dan adalah pemetaan
himpunan fuzzy dalam semesta X dan Y, maka operasi yang berlaku sebagai berikut.
Gabungan μ x, y = maxμ x, y, μ x, y
2.8 Intersection
μ ∩ x, y = minμ x, y, μ x, y 2.9
Complement μ x, y = 1 − μ x, y
2.10
Sebagai contoh, jika himpunan fuzzy dan sebagai berikut:
maka hasil operasi gabungan, perpotongan dan komplemen pada relasi dua himpunan di atas adalah sebagai berikut.
2.4 Fungsi Keanggotaan Himpunan Fuzzy
Fungsi Keanggotaan adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaan yang memiliki nilai interval antara 0 dan 1.
Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mendapatkan nilai keanggotaan adalah dengan melalui pendekatan fungsi. Widhiastiwi, 2007.
Inti core dari fungsi keanggotaan untuk himpunan fuzzy didefenisikan
sebagai wilayah dari himpunan semesta yang dicirikan dengan keanggotaan yang penuh dan lengkap dalam himpunan fuzzy
. Inti ini meliputi semua elemen x dalam semesta dimana
μ x = 1. Dukungan support dari fungsi keanggotaan untuk himpunan fuzzy
didefenisikan sebagai wilayah dari himpunan semesta
Universitas Sumatera Utara
13
yang dicirikan dengan keanggotaan yang bukan nol dalam dalam himpunan fuzzy , meliputi semua elemen x dalam semesta dimana μ x 0.
Batas boundary dari fungsi keanggotaan untuk himpunan fuzzy didefenisikan sebagai wilayah dari himpunan semesta yang terdiri atas elemen
yang memiliki keanggotaan bukan nol tetapi keanggotaannya juga tidak penuh atau lengkap. Yaitu meliputi elemen x dari semesta dimana 0
μ x 1. Elemen-elemen ini dalam semesta dikenal sebagai derajat kekaburan degree of
fuzziness atau keanggotaan sebagian dalam himpunan fuzzy . Ross, 2010.
Gambar berikut mengilustrasikan wilayah yang mencakup ini core, dukungan support dan batas boundary dari suatu himpunan fuzzy.
Gambar 2.7 Core, Support dan Boundary dari Suatu Himpunan Fuzzy Sumber : Ross, 2010
2.4.1 Fungsi Keanggotaan Linier
Salah satu representasi fungsi keanggotaan dalam himpunan fuzzy adalah representasi linier. Pada representasi linear, pemetaan input ke derajat
keanggotaannya digambarkan sebagai suatu garis lurus. Bentuk ini paling sederhana dan menjadi pilihan yang baik untuk mendekati suatu konsep yang
kurang jelas. Ada dua keadaan himpunan fuzzy yang linear. Pertama, kenaikan himpunan dimulai pada nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan nol [0]
bergerak ke kanan menuju ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih tinggi. Gambar grafik fungsi keanggotaannya adalah sebagai berikut.
Universitas Sumatera Utara
14
Gambar 2.8 Representasi Linear Naik Fungsi keanggotaan keadaaan himpunan fuzzy ini adalah:
µ[x] = 2.11
Keadaan kedua adalah representasi linier turun, kebalikan dari keadaaan pertama di atas, yaitu garis lurus dimulai dari nilai domain dengan derajat
keanggotaan tertinggi pada sisi kiri, kemudian bergerak menurun ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih rendah. Gambar grafik fungsi
keanggotaannya sebagai berikut.
Gambar 2.9 Representasi Linier Turun Fungsi keanggotaan keadaaan himpunan fuzzy ini adalah:
µ[x] = 2.12
Representasi fungsi keanggotaan lainnya yang umum digunakan dalam himpunan fuzzy adalah representasi segitiga, trepesium sigmoid dan phi.
Universitas Sumatera Utara
15
2.4.2 Fungsi Keanggotaan Segitiga
Gambar 2.10 Representasi Keanggotaan Segitiga pada Himpunan Fuzzy Fungsi keanggotaan untuk representasi segitiga adalah:
µ[x] = 2.13
2.4.3 Fungsi Keanggotan Trapesium
Gambar 2.11 Representasi Keanggotaan Trapesium pada Himpunan Fuzzy Fungsi keanggotaan untuk representasi trapesium adalah:
µ[x] = 2.14
Universitas Sumatera Utara
16
2.4.4 Fungsi Keanggotaan Sigmoid
Gambar 2.12 Representasi Keanggotaan Sigmoid pada Himpunan Fuzzy Fungsi keanggotaan untuk representasi sigmoid adalah:
µ[x;a,b,c]
sigmoid
= 2.15
2.4.5 Fungsi Keanggotaan Phi
Gambar 2.13 Representasi Keanggotaan Phi pada Himpunan Fuzzy Fungsi keanggotaan untuk representasi sigmoid adalah:
µ[x;a,b,c]
phi
= 2.16
Universitas Sumatera Utara
17
2.5 Pengoptimalan Program Linier
Dalam kamus besar Bahasa Indonesia http:bahasa.kemdiknas.go.idkbbi, pengoptimalan berasal dari kata dasar optimal yang berarti
“terbaik; tertinggi; paling menguntungkan
”. Sedangkan pengertian pengoptimalan dalam kamus besar Bahasa Indonesia adalah
“proses, cara, perbuatan mengoptimal-kan menjadikan paling baik, paling tinggi, dsb”. Program linier merupakan dasar
dari metoda pengoptimalan secara matematis. Dalam masalah ini fungsi kendala dan fungsi sasarannya semuanya dinyatakan dalam fungsi linier. Fungsi kendala
dapat berupa persamaan maupun pertidaksamaan, dan fungsi sasarannya berupa meminimumkan dan memaksimumkan. Program linier merupakan metode
matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya.
Program linier berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan
beberapa kendala linier. Perkembangan program linear telah mengalami peningkatan di antaranya
adalah kemajuan ilmiah yang paling penting pada pertengahan abad 20, dan kita harus setuju dengan penilaian ini. Dampaknya sangat luar biasa sejak tahun 1950.
Sekarang ini banyak alat standar hasil program linier yang telah menyelamatkan ribuan atau jutaan dolar bagi sebagian besar perusahaan atau bisnis, bahkan
ukuran moderat di negara-negara industri berbagai dunia, dan penggunaannya dalam sektor masyarakat lainnya menyebar pesat. Hillier, 2001.
Metode penyelesaian program linier dengan metode simpleks pertamakali dikemukakan oleh George Dantzig pada tahun 1947. Metode ini menjadi terkenal
ketika diketemukan alat hitung elektronik dan menjadi poluler ketika munculnya komputer. Proses perhitungan metode ini dengan melakukan iterasi berulang-
ulang sampai tercapai hasil optimal dan proses perhitungan ini menjadi mudah dengan komputer. Selanjutnya berbagai alat dan metode dikembangkan untuk
menyelesaikan masalah program linear bahkan sampai pada masalah riset operasi hingga tahun 1950 an seperti pemrograman dinamik, teori antrian, dan persediaan.
Universitas Sumatera Utara
18
Program linier merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang langka untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan
keuntungan atau meminimumkan biaya. Program linier banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan masalah ekonomi, indutri, militer, sosial dan lain-lain.
Karakteristik persoalan dalam program linier adalah sebagai berikut: a.
Ada tujuan yang ingin dicapai b.
Tersedia beberapa alternatif untuk mencapai tujuan c.
Sumberdaya dalam keadaan terbatas d.
Dapat dirumuskan dalam bentuk matematika persamaanketidaksamaan Ada dua metode penyelesaian masalah yang digunakan dalam program
linier, yaitu metode grafis untuk 2 variabel dan metode simpleks untuk 2 variabel atau lebih. Beberapa ketentuan yang perlu diperhatikan dalam
penyelesaian metode simpleks Hillier and Lieberman, 2001: 1.
Nilai kanan fungsi tujuan harus nol 0 2.
Nilai kanan fungsi kendala harus positif. Apabila negatif, nilai tersebut harus dikali dengan
– 1 3.
Fungsi kendala dengan tanda “≤” harus diubah ke bentuk “=” dengan menambahkan variabel slacksurplus. Variabel slacksurplus disebut juga
variabel dasar. Penambahan slack variabel menyatakan kapasitas yang tidak digunakan atau tersisa pada sumber daya tersebut. Hal ini karena ada
kemungkinan kapasitas yang tersedia tidak semua digunakan dalam proses produksi.
4. Fungsi kendala dengan tanda “≥” diubah ke bentuk “≤” dengan cara
mengkalikan dengan -1, lalu diubah ke bentuk persamaan = dengan ditambah variabel slack. Kemudian karena nilai kanan-nya negatif, dikalikan
lagi dengan -1 dan ditambah artificial variabel M. Artifisial variabel ini secara fisik tidak mempunyai arti, dan hanya digunakan untuk kepentingan
perhitungan saja. 5.
Fungsi kendala dengan tanda “=” harus ditambah artifisial variabel M
Universitas Sumatera Utara
19
2.6 Riset-riset Terkait
