Dapat dilihat bahwa dengan mengetahui sampel yang diperiksa ternyata ukurannya tepat, maka perkiraan nilai kemungkinan pengaturan mesin sudah tidak
benar, meningkat dari 0,8 menjadi 0,9.
Sebaliknya bila ternyata sampel tersebut ternyata ukurannya tidak tepat
__
T
, maka nilai kemungkinan Posteriornya adalah:
Terlihat bahwa bila sampel yang diambil ternyata tidak tepat, nilai kemungkinan bahwa pengaturan mesin adalah benar, yang semula 0,8 turun menjadi 0,4.
Cara perhitungan nilai kemungkinan Posterior dengan menggunakan perhitungan nilai kemungkinan bersyarat, sering juga disebut perbaikan nilai
kemungkinan Bayes.
2.4. Teorema bayes
Misalkan kejadian B
1,
B
2,…,
B
k
merupakan suatu sekatan ruang sampel T dengan PB
i
≠ 0 untuk i = 1, 2, …, k. Misalkan suatu kejadian sembarang dalam T dengan PA ≠ 0, maka:
k r
untuk B
A P
B P
B A
P B
P A
B P
A B
P A
B P
k i
r k
i r
r
,..., 2
, 1
1 1
1 1
1 1
Universitas Sumatera Utara
Bukti: Menurut definisi peluang bersyarat:
diperoleh bentuk:
Buktinya selesai.
Teorema Bayes digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peristiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi. Pada teorema ini terdapat
beberapa bentuk probabilitas, yaitu sebagai berikut: Azhar Kasim, 1994 1.
Probabilitas Awal Probabilitas Prior, yaitu probabilitas berdasarkan informasi yang tersedia sebelum ada tambahan informasi.
2. Probabilitasan Bersyarat yaitu probabilitas dimana terjadinya suatu peristiwa
didahului oleh terjadinya peristiwa lain. 3.
Probabilitas Ganda, yaitu gabungan dari beberapa probabilitas probabilitas gabungan
4. Probabilitas Posterior, yaitu probabilitas yang diperbaiki dengan adanya informasi
tambahan.
2.5. Teorema Jumlah Peluang atau Aturan Penghapusan
Misalkan kejadian B
1
, B
2
, …, B
k
merupakan suatu partisi dari ruang sampel T dengan PB1 ≠ 0 untuk i = 1, 2, …, k, maka untuk setiap kejadian A anggota T:
. Bukti:
k i
r r
r
B A
P B
P B
A P
B P
A B
P
1 1
1
Universitas Sumatera Utara
Perhatikan diagram Venn di gambar terlihat bahwa kejadian A merupakan gabungan dari sejumlah kejadian yang saling terpisah
2.6. Nilai Kemungkinan Objektif dan Subjektif 2.6.1. Nilai Kemungkinan Objektif
Bila membicarakan persoalan kemungkinan, biasanya yang ada dalam bayangan adalah distribusi frekuensi, data masa lalu, dan sebagainya. Dalam contoh klasik maka
pertanyaan nya selalu, berapakah kemungkinan munculnya sisi gambar dalam suatu percobaan munculnya mata uang.
Sebagian besar orang akan setuju bahwa nilai kemungkinan tersebut adalah sebesar 0,5. Pada kenyataannya, bila mata uang tersebut benar atau bukan mata uang
yang diberi sesuatu agar tak seimbang, maka dalam pelemparan berkali-kali, frekuensi relatif dari munculnya sisi gambar adalah 0,5. Analisa frekuensi relatif
inilah yang pada dasarnya mendasari nilai kemungkinan pada pelemparan mata uang, sehingga dikatakan sebagai nilai kemungkinan objektif.
Nilai kemungkinan objektif digunakan dalam beberapa bidang dimana data dapat diperoleh dengan mudah, misalnya dalam bidang biologi dan pertanian,
pengendalian kualitas dalam pabrik, atau dalam menguji kualitas beras impor dan sebagainya.
Untuk mendapatkan suatu nilai kemungkinan objektif, dibutuhkan suatu situasi di mana percobaan yang berulang-ulang dapat dilakukan. Pada kenyataannya, situasi
yang di hadapi tidaklah selalu demikian. Pengambil keputusan sering dihadapkan pada
Universitas Sumatera Utara
situasi yang belum pernah terjadi sebelumnya. Misalnya, apakah suatu produk baru akan berhasil dalam pemasaran? Atau, apakah suatu teknologi proses pembuatan yang
baru akan berhasil?
Untuk menghadapi persoalan semacam ini, dibutuhkan konsep nilai kemungkinan yang lain, yang dapat menerangkan ketidakpastian tanpa harus
menggunakan berbagai data atau percobaan sebelum dapat menyatakan suatu nilai kemungkinan.
2.6.2. Nilai Kemungkinan Subjektif Intuisi
Untuk menentukan suatu peluang kejadian terkadang harus menggunakan intuisi, keyakinan, dan pengalaman peristiwa masa lalu. Misalnya peluang seseorang menang
main tennis, maka harus diperhatikan prestasi orang tersebut dan lawannya dalam main tenis sebelumnya, di sini intuisi turut menentukan.
Probabilitas suatu peristiwa yang ditentukan dengan perasaan atau kepercayaan individu atau kelompok yang didasarkan pada fakta atau peristiwa masa lalu yang ada
dinamakan Probabilitas Subjektif Sri Mulyono, 1996. Pernahkah mendengar seorang dokter yang berkata, “Kemungkinan operasi ini
berhasil adalah lebih besar dari 0,9.” Atau kalimat, “ Saya kurang yakin bahwa penawaran ini akan diterima, rasanya kemungkinannya kecil sekali, kurang dari 0,2.”
Dan kalimat-kalimat lain yang senada. Apakah arti kemungkinan dalam kalimat- kalimat tersebut diatas?
Kemungkinan di sini mencerminkan tingkat keyakinan seseorang terhadap suatu kejadian yang tak pasti dan ini didasarkan pada pengalaman dan informasi yang
ada pada dia saat itu. Karena itu, maka pernyataan kemungkinan semacam ini akan menghasilkan nilai kemungkinan subyektif.
Universitas Sumatera Utara
Salah satu cara yang umum digunakan dalam menentukan pilihan di antara dua alternatif yang ada adalah dengan membandingkan keduanya secara langsung
kemudian menentukan pilihan berdasarkan nilai kemungkinan subjektif.
Ciri utama nilai kemungkinan subjektif, adalah kenyataan bahwa logika dari nilai kemungkinan subjektif tidak dapat ditelusuri secara rasional. Bila seorang
direktur perusahaan mengambil keputusan berdasarkan nilai kemungkinan subjektif, mugkin d
irektur perusahaan tersebut akan berkata, “Saudara sekalian, saya telah membaca semua laporan yang masuk, dan setelah mempertimbangkannya masak-
masak, saya kira sebaiknya bergabung dengan Perusahaan X”.
Meskipun mungkin keputusan tersebut adalah hasil pemikiran yang cemerlang, tetapi keputusan tersebut tidak dapat dievaluasi. Tidak ada jalan atau alat analisa
untuk memeriksa langkah demi langkah untuk menentukan apakah keputusan tersebut adalah suatu konsekuensi logis dari pilihan-pilihan, dan informasi yang tersedia.
Semua itu hanya berlangsung dalam pikiran saja, dan mungkin jika direktur perusahaan tersebut diminta untuk menjelaskannya kepada orang lain, mungkin
direktur perusahaan tersebut tidak mampu.
2.7. Nilai Ekspektasi 2.7.1.
Nilai Harapan Expexted Values
Bila pilihan secara langsung tidak dapat atau sukar untuk dilakukan, maka cara yang sering digunakan adalah dengan menggunakan nilai ekspektasi sebagai dasar
pemilihan.
Nilai Harapan atau nilai rata-rata merupakan nilai ringkasan untuk mewakili
sekelompok nilai. Kalau adalah variabel acak, maka Nilai Harapan sama dengan
jumlah hasil kali setiap variabel dengan probabilitasnya, seperti rumus berikut: Murray R.Spiegel, 2004
Universitas Sumatera Utara
2.7.2. Struktur Persoalan Keputusan
Struktur persoalan keputusan sebagai berikut: Tabel Payoff Tabel Keputusan. Johanes Supranto,1998
Tabel 2.7.2.1 Tabel Keputusan
Kejadian dan Probabilitas Alternatif
Tindakan N
1
p
1
N
2
p
2
N
j
p
j
N
n
p
n
A
1
A
2
A
i
A
m
a
11
a
21
a
i1
a
m1
a
12
a
22
a
i2
a
m2
a
1j
a
2j
a
ij
a
mj
a
1n
a
2n
a
in
a
mn
Keterangan: A
i
= Alternatif i yang dipilih baris i N
j
= Kejadian tak pasti j, p
j=
probabilitas kejadian kolom j
a
ij
= Payoff yang diperoleh pada tindakan A
i
dan kejadian tak pasti N
j ,
dimana i = 1, 2, 3, …, m dan j = 1, 2, 3, …, n.
Dari masing-masing tindakan dapat dihitung nilai harapan payoff . Untuk hal-hal yang sifatnya menguntungkan, seperti laba, hasil penjualan, penerimaan, dan sebagainya,
nilai harapan EV dinyatakan dengan Expected Payoff EP.
Dalam pengambilan keputusan selalu diusahakan untuk memilih keputusan dengan nilai harapan maksimum, dalam prakeknya dinyatakan dengan besarnya nilai uang,
yaitu Expected Monetary Value EMV Azhar kasim, 1994.
Universitas Sumatera Utara
2.7.3. Expected Value of Perfect Information EVPI
Expected Value of Perfect Information EVPI adalah jumlah maksimum yang wajar dibayar oleh pengambil keputusan untuk memperoleh informasi sempurna, dihitung
dengan: Derek W. Bunn. 1984 EVPI = EPPI
–EV dimana :
EV : adalah nilai harapan terbesar dari tiap alternatif tindakan. EPPI : adalah hasil perkalian maksimum baris pay off tertinggi dengan probabilitas.
yang dihitung dengan:
Dengan PrN
i
adalah probabilitas dari N
i
dan P adalah strategi dengan hasil tertinggi ketika N
i
terjadi.
Penelitian yang dilakukan tidak dapat menghasilkan informasi yang sempurna, tetapi mendapatkan informasi tambahan harus tidak boleh mencapai biaya lebih atau sama
denga EVPI. Berdasarkan hasil perhitungan EVPI ini, pembuat keputusan dapat membandingkan antara biaya maksimum untuk memperoleh biaya informasi
tambahan, dengan biaya yang sebenarnya bagi keperluan mendapatkan informasi tersebut. Suatu rencana penelitian survei untuk memperoleh informasi tambahan layak
untuk dipertimbangkan asalkan biaya yang dibutuhkan lebih kecil dari pada EVPI.
Jika informasi tentang probabilitas secara pasti, maka biaya yang boleh dikeluarkan maksimum sama dengan EVPI Kasim Azhar, 1994.
Universitas Sumatera Utara
2.7.4. Expected Value Of Sample Information EVSI
Agar dapat dicapai keputusan yang optimal, sebelumnya dapat dilakukan penelitian atau riset terlebih dahulu untuk mendapatkan tambahan informasi, dan ini
memerlukan tambahan biaya. Masalah yang dihadapi adalah jumlah biaya maksimum yang dapat dialokasikan untuk keperluan riset tersebut. Biaya maksimum ini
mencerminkan nilai informasi yang diperoleh melalui riset itu.
Rumus untuk mencari EVSI atau nilai maksimum informasi sampel adalah : EVSI = EV dengan informasi sampel - EV tanpa informasi sampel
Untuk mengukur nilai informasi ini dapat digunakan rumus efisiensi sebagai berikut:
Suatu efisiensi yang tinggi menunjukkan informasi yang baik, yaitu hampir sama baiknya dengan informasi yang sempurna, sedangkan tingkat efisiensi yang rendah
memungkinkan pengambil keputusan mencari jenis informasi yang lain.Sri Mulyono, 1996
\
Universitas Sumatera Utara
2.7.5. Pohon Keputusan Decision Tree
Tujuan penggunaan pohon keputusan ini adalah untuk memudahkan penggambaran situasi keputusan secara sistematik dan komprehensip. Pada pohon keputusan ini
biasanya digunakan notasisimbol seperti berikut: Azhar Kasim, 1994 : simbol keputusan
: simbol kejadian tidak pasti
PILIHAN KEJADIAN
HASIL
Gambar 2.7.5.1 Pohon Keputusan Decision Tree
Keterangan: Ai
: alternatif ke-i Nj
: state of nature ke-j, j = 1, 2, 3, …
Rij : nilai kotor gross payoff dari alternatif Ai untuk state of nature Nj
VCij : biaya variabel untuk Ai dan Nj.
VC
11
VC
13
VC
21
VC
12
N
1
N
3
N
3
N
2
N
2
N
1
N
3
N
2
N
1
A
3
A
1
1 2
3
4 A
2
VC
22
VC
22
VC
32
VC
31
VC
33
R
11
R
12
R
13
R
21
R
22
R
31
R
32
R
33
R
23
Ai :
alternatif ke-i
Nj :
, , , …
Universitas Sumatera Utara
Menurut Huber dalam Kasim [1] Penggunaan diagram pohon keputusan dalam proses pembuatan keputusan secara ideal harus menurut prosedur sebagai berikut: Azhar
Kasim, 1994
Tahap 1 : Membentuk pohon keputusan, menggambarkan cabang. 1.
Gambarkan alternatif-alternatif sebagai cabang dari titik pilihan. 2.
Pada ujung dari masing-masing cabang alternatif, buat titik situasi masa depan state of nature.
3. Dari tiap titik masa depan ini, buat cabang-cabang tentang situasi masa depan
yang mungkin terjadi. 4.
Kalau pada ujung cabang-cabang situasi masa depan ini masih ada alternatif keputusan lain maka buatlah titik keputusan baru.
5. Ulangi langkah 1,2,3,4 sampai di akhir tiap titik situasi masa depan dan tidak
ada lagi titik keputusan baru.
Tahap 2 : Membentuk sebuah pohon keputusan, menyisipkan daun. 1.
Untuk masing-masing alternatif keputusan, tuliskan biaya pelaksanaannya seringkali biaya ini tidak dituliskan karena dianggap sudah diperhitungkan
dalam perhitungan pay off buatan titik pilihan. 2.
Untuk masing-masing hasil outcome, tulislah probabilitas dari peristiwanya. 3.
Tentukan hasil kotor gross pay off dari masing-masing cabang hasil outcome yang paling kanan.
Tahap 3 : memotong cabang keputusan, memproses informasi 1.
Hitung net expected value expected monetary value dari tiap garpu tala. 2.
Ubah masing-masing titik hasil outcome yang paling kanan dengan nilai bersih EMV yang diharapkan pada cabang tersebut.
3. Pada masing-masing titik pilihan, buang masing-masing cabang alternatif
kecuali cabang dengan nilai bersih yang diharapkan paling besar yang telah dihitung pada langkah 2 dan ambil nilai bersih EMV yang terbesar sebagai
payoff untuk cabang hasil outcome mendahului titik pilihan. 4.
Ulangi langkah 1, 2, dan 3 sampai nilai bersih EMV yang diharapkan pada masing-masing cabang alternatif dari titik pilihan yang paling kiri dihitung.
Universitas Sumatera Utara
2.8. Analisa Sensitivitas
Sebelum keputusan dibuat, perlu diperiksa seberapa besar perkiraan probabilitas state
of nature dapat berubah ke strategi lain. Jika perkiraan perubahannya terlalu besar,
maka tidak layak untuk membeli penelitian itu. Untuk mengetahui seberapa sensitif suatu keputusan terhadap perubahan faktor atau parameter yang mempengaruhinya
maka setiap pengambilan keputusan seharusnya disertai dengan analisa sensitivitas. Analisa sensitivitas akan memberikan gambaran sejauh mana suatu keputusan akan
konsisten.
Analisa sensitivitas dilakukan dengan mengubah nilai suatu parameter pada suatu saat untuk selanjutnya dilihat bagaimana pengaruhnya terhadap akseptabilitas suatu
alternatif. Analisa sensitivitas ini memberikan kekuatankeyakinan sebelum mengambil keputusan.
Prosedur analisa sensitivitas dapat dilakukan dengan tahapan sebagai berikut: Robert dkk, 1981
1. Pilih variabel yang akan dianalisa
2. Identifikasi alternatif terbaik
3. Samakan nilai harapan dari dua strategi ini, yakni, cari titik indiferensi.
4. Hitung nilai dari variabel yang dipilih dalam langkah 1 sehingga langkah 3
dipenuhi. 5.
Bandingkan nilai yang dihitung dari langkah 4 dengan nilai aktual untuk variabel.
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1. Analisis Keputusan Decision Analysis
