70
Jadi matriks tidak iredusibel. Graf perseden �
menunjukkan juga bahwa tidak ada lintasan yang menghubungkan simpul
1
ke
2
dan simpul
1
ke simpul .
3
Gambar 3.12 Graf dari Matriks
A
yang tidak iredusibel
F. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks di
ℝ Seperti pada matriks real, pada matriks di
ℝ dapat juga dipelajari
konsep tentang nilai eigen dan vektor eigen. Oleh karena itu, pada bagian ini akan dijelaskan konsep nilai eigen dan vektor eigen di
ℝ serta cara
menentukannya.
Definisi 3.28 Misalkan
∈ ℝ
×
. Skalar � ∈ ℝ
disebut nilai eigen ℝ
matriks jika terdapat suatu
�; ∈ ℝ sedemikian sehingga
= �
. Vektor tersebut adalah vektor eigen matriks di ℝ yang
bersesuaian dengan � Scutter, 1996.
Sesudah didefinisikan nilai eigen dan vektor eigen dalam Definisi 3.28, berikut ini akan dijelaskan dua teorema yang memberikan eksistensi nilai eigen
dan vektor eigen serta syarat perlu nilai eigen pada suatu matriks ∈ ℝ
×
.
71
Teorema 3.29 Misalkan
∈ ℝ
×
. Jika � adalah bobot rata-rata
maksimum sirkuit elementer di �
, maka �
adalah suatu nilai eigen matriks di
ℝ
.
Bukti
Didefinisikan matriks = −�
� =
=
trace
=
=
trace −� =
=
trace −� =
=
−� trace
=
=
−� �
=
=
= akibatnya
� tidak mempunyai sirkuit dengan bobot positif. Menurut Teorema
3.24, =
…
−
dan
+
= …
Karena �
= maka terdapat ∈ ℕ , dan suatu
∈ { , … , } sehingga = . Akibatnya komponen ke- dari
. +
kolom ke- matriks
+
adalah = . Hal ini berarti bahwa
. +
≠ �
×
. Di sisi lain menurut Definisi 3.25
,
+
= dan
=
+
. Karena
= maka
. +
=
.
. Akibatnya
. +
=
.
=
.
atau −�
.
=
.
atau
.
= �
.
. Jadi
�
72
adalah nilai eigen matriks di
ℝ dan
.
adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan
� . ∎
Contoh 3.23 Misalkan terdapat matriks pada Contoh 3.20 dengan
� =
Maka dapat ditentukan matriks
, yaitu:
= −� = −
[ −
� �
] = [ −
− −
− �
� −
].
Selanjutnya dihitung = [
− −
− −
− −
], sehingga diperoleh
= = [
� � �
� � ]
[ −
− −
− �
� −
] [
− −
− −
− −
]
= [ −
− −
− ]
Karena sirkuit
1 2
1
adalah sirkuit kritis pada �
maka kolom pertama dan kolom kedua dari matriks
adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen
� = seperti ditunjukkan pada penjelasan di bawah ini
[ −
� �
] [−
− ] = [ ] =
[− −
] dan
[ −
� �
] [ ] = [ ] =
[ ]
.
Teorema 3.30 Misalkan
∈ ℝ
×
. Jika � ∈ ℝ adalah nilai eigen matriks di ℝ
, maka � merupakan bobot rata-rata suatu sirkuit dalam � .
73
Bukti
Misalkan � adalah nilai eigen ℝ
matriks maka untuk setiap ∈ { , … , }
berlaku
A =
dengan ≠ �
×
. Akibatnya terdapat suatu indeks
, sehingga
,
= � dengan
≠ �. Karena � ≠ � dan ≠ � maka
≠ � dan
,
≠ �. Karena ≠ � maka terdapat suatu indeks
sedemikian sehingga
,
= � . Karena
� ≠ � dan ≠ � maka
≠ � dan
,
≠ �. Demikian seterusnya dengan cara yang sama di atas, akan diperoleh suatu barisan
{ } sehingga
−
,
= �
−
dengan ≠ �
dan
−
,
≠ � untuk
= , , ….
Karena banyak titik dalam �
berhingga, terdapat suatu dan
, sehingga = . Akibatnya diperoleh sirkuit �. Misalkan adalah ,
, … ,
+
,
+
,
+
, maka diperoleh
,
+
+
…
,
= � …
� Karena operasi
di ℝ
bersifat komutatif maka diperoleh
m l
l l
m l
l m
l l
i i
i l
m i
i i
i i
i i
x x
x x
x x
A A
... ...
...
1 1
1
1 ,
,
atau
,
+
…
,
= �
− +
atau � =
�
, +
… �
,
− +
.
Hal ini berarti bahwa � adalah bobot rata-rata sirkuit �. ∎
Dari penjelasan Teorema 3.29 dan Teorema 3.30 dapat disimpulkan bahwa untuk
A
ℝ
×
,
A
max
adalah nilai eigen
ℝ .
Selanjutnya dijelaskan teorema yang berkaitan dengan karakteristik matriks yang memiliki nilai eigen bernilai
�.
74
Teorema 3.31 Matriks
∈ ℝ
×
mempunyai suatu nilai eigen sama dengan �
jika dan hanya jika terdapat kolom pada matriks yang semua elemennya sama dengan
�.
Bukti:
Misalkan ∈ ℝ
×
dengan nilai eigen sama dengan �; =
; untuk = , … , dan = , … , ; ∈ ℝ
×
dan adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan
�; adalah komponen baris ke- dari dengan = , … , ; adalah komponen baris ke- dari
dengan = , … , ; dan �
adalah komponen baris ke- dari
� dengan
= , … , . Akan ditunjukkan bahwa matriks
mempunyai kolom dengan semua elemennya adalah
� Diketahui bahwa
� adalah nilai eigen dari matriks . Jadi berlaku
= �
sedemikian sehingga = �
= �
= �
Karena
� maka vektor eigen memuat paling sedikit satu komponen di yang tidak sama dengan
�. Andaikan ≠ � dengan .
Didefinisikan bahwa =
=
=
≤ ≤
+
=
+ , + , … ,
+ , … , +
75
Karena ≠ � dan = � untuk ≠ sehingga harus
= �. Karena adalah elemen baris ke- kolom ke- matriks
untuk = , … , maka adalah elemen kolom ke- matriks yang seluruh elemennya
�. Misalkan matriks mempunyai satu kolom yang semua elemennya �, yaitu
kolom sedemikian sehingga = � untuk = , … , .
Akan ditunjukkan nilai eigen � dari matriks sama dengan �.
Berdasarkan Definisi 3.28 bahwa
= �
sedemikian sehingga elemen-
elemen yang bersesuaian sama = �
=
= � Karena
≠ � maka vektor eigen memuat paling sedikit satu elemen yang tidak sama dengan
� . Ambil sebarang ∈
≠ � untuk = . Oleh karena itu persamaan terakhir di atas dapat ditulis
=
= �
≤ ≤
= �
≤ ≤
+ , + , … ,
+ , … , +
= � Karena
= � maka � = �.
Karena ≠ � maka haruslah � = �. ∎
Karakteristik matriks yang memiliki nilai eigen � pada Teorema 3.31
memberikan akibat pada matriks iredusibel seperti dijelaskan dalam corrolary berikut:
76
Corrolary Jika matriks
∈ ℝ
×
adalah matriks iredusibel, maka nilai eigen dari matriks
tidak sama dengan �.
Bukti:
Misalkan ∈ ℝ
×
adalah matriks iredusibel, dan
ij
a A
untuk
= , … , dan = , … , . Corrolary ini akan dibuktikan dengan menggunakan kontradiksi.
Misalkan ∈ ℝ
×
mempunyai nilai eigen sama dengan �. Berdasarkan
Teorema 3.31 berarti bahwa matriks mempunyai kolom yang semua elemennya
adalah �. Misalkan kolom yang dimaksud adalah ,
= � untuk = , … , . Maka berdasarkan Definisi 3.17
, = � dan hal itu berarti tidak terdapat busur dari simpul ke simpul untuk
. ,...,
1 n
i
Akibatnya berdasarkan Definisi 3.22 dan Definisi 3.26, dapat dikatakan bahwa matriks tidak iredusibel. Jadi
pengandaian salah, sehingga nilai eigen matriks tidak sama dengan
�. ∎ Selanjutnya akan dijelaskan teorema tentang sifat nilai eigen matriks
iredusibel ∈ ℝ
×
Teorema 3.32 Jika Matriks
∈ ℝ
×
irredusibel, maka A mempunyai nilai eigen tunggal.
Bukti
Eksistensi nilai eigen matriks di ℝ
sudah dijelaskan oleh Teorema 3.29. Misalkan
� adalah sebarang nilai eigen matriks dengan adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan
�. Karena matriks iredusibel, maka menurut corrolary ≠ � untuk setiap ∈ { , … , }.
77
Ambil sebarang sirkuit �, misalkan , , ,
, … ,
�
, di � . Karena
� adalah nilai eigen
ℝ matriks A maka
�
. .
.
� �− �−
�
� �
�
� Berdasarkan bukti Teorema 3.30 diperoleh
� lebih besar atau sama dengan bobot rata-rata
�, untuk setiap sirkuit � di � . Jadi
� = � , yang
berarti bahwa nilai eigen ℝ
matriks adalah tunggal. ∎
Selanjutnya akan dijelaskan satu teorema tentang sifat vektor eigen dari matriks yang iredusibel.
Teorema 3.33 Jika matriks iredusibel
∈ ℝ
×
mempunyai nilai eigen �
dengan adalah vektor eigen
ℝ yang bersesuaian dengan
�, maka ≠ � untuk setiap
∈ { , … , }.
Bukti
Andaikan terdapat elemen ∈ { , … , } sehingga = �
Akibatnya = �
= � atau
,
= �, ∀ ∈ { , … , }.
Hal ini berarti bahwa tidak ada busur dari setiap simpul
≠ ke simpul . Akibatnya
� tidak terhubung kuat atau matriks
tidak iredusibel. Jika terdapat lebih dari satu komponen yang sama dengan
�, bukti seperti diatas akan menghasilkan kesimpulan bahwa matriks
A
tidak iredusibel. ∎
78
BAB IV APLIKASI ALJABAR MAX PLUS
PADA SUATU RUTE BUS TRANSJOGJA
Pada bab ini akan dijelaskan aplikasi sederhana aljabar max-plus pada suatu rute bus Transjogja. Penjelasan pada bab ini dimulai dengan memberikan
gambaran tentang sistem transportasi bus Transjogja secara umum, selanjutnya akan dijelaskan tentang rute pilihan, graf rute pilihan dan pada bagian akhir
dijelaskan tentang model matematika serta analisa dengan menggunakan nilai eigen dan vektor atas model yang dihasilkan. Hasil analisa adalah output yang
menentukan apakah dimungkinkan dibuat suatu jadwal bus Transjogja yang periodik pada rute pilihan.
A. Gambaran Singkat Rute Bus Transjogja
Bus Transjogja adalah sistem transportasi bus cepat, murah dan ber-AC di
Yogyakarta. Bus Transjogja adalah salah satu bagian dari program penerapan Bus Rapid Transit BRT yang dicanangkan oleh Departemen
Perhubungan Pemerintah Provinsi D. I. Yogyakarta yang bekerja sama dengan PT Jogja Tugu Trans sebagai pihak pengelola. Bus Transjogja mulai beroperasi
awal bulan Maret 2008. Dalam pelayanannya terhadap penumpang, bus
