Matriks dan Graf di

62

2. Matriks dan Graf di

ℝ Pada Bagian D telah dijelaskan tentang matriks atas ℝ ; dan Bagian E sub bagian pertama telah dijelaskan konsep graf secara umum. Pada bagian ini akan dijelaskan hubungan antara matriks dengan graf berarah berbobot yang terhubung kuat di ℝ . Penjelasan tentang topik ini diawali dengan definisi suatu graf yang merupakan representasi dari suatu matriks dalam ℝ , yaitu graf perseden Definisi 3.23 Diberikan ∈ ℝ × . Graf preseden dari A adalah graf berarah berbobot � = �, , � = { , … , } dan = { , | , = ≠ �}. Berdasarkan Definisi 3.23 berikut ini akan diberikan contoh graf preseden yang direpresentasikan oleh sutau matriks Contoh 3.17 Diberikan matriks              2 2 1 2 2 1 1 1 2 2       A Diberikan matriks ukuran × Graf preseden matriks A merupakan graf berarah berbobot � = �, dengan himpunan simpul � = { , , , } dan busur = { , , , , , , , , , , , , , , , , , , , }. Gambar 3.8 Graf Preseden dari matriks pada Contoh 3.17 63 Perhatikan sebaliknya bahwa untuk setiap graf berarah berbobot � = �, selalu dapat didefinisikan suatu matriks  A ℝ × dengan      , , i j w a ij jika jika     D D , ,   i j i j Selanjutnya, konsep lintasan dan sirkuit pada graf preseden yang dijelaskan pada Definisi 2.23 sama dengan konsep lintasan yang sudah dijelaskan pada Definisi 3.18 sampai Definisi 3.21. Oleh karena itu, dengan menggunakan definisi operasi yang berlaku dalam ℝ , maka dapat ditentukan panjang, bobot dan bobot rata-rata suatu lintasan atau sirkuit sebagai berikut: bobot lintasan � adalah |�| = … − sedangkan bobot rata-rata lintasan |�̅| = |�| |�| Setelah dijelaskan tentang definisi graf preseden � . Selanjutnya akan diberikan contoh menentukan suatu lintasan dan menghitung panjang lintasan, bobot dan bobot rata-rata lintasan dari graf preseden � . . Contoh 3.18 Diambil graf pada Contoh 3.17. Perhatikan himpunan busur berikut: � : → → → � : → → → → ; 64 Himpunan busur pada � membentuk lintasan. Sedangkan himpunan busur pada � membentuk sirkuit. Panjang lintasan |� | = ; dan |� | = . Bobot lintasan |� | = , , , = |� | = , , , , = . Bobot rata-rata lintasan |�̅̅̅| = |� | � |� | = ; |�̅̅̅| = |� | � |� | = . Selanjutnya dijelaskan hubungan antara elemen ke- matriks ∈ ℝ × berpangkat dengan bobot lintasan dari simpul ke pada graf preseden � . Misalkan ∈ ℝ × dan � adalah graf preseden dari matriks . A Berdasarkan persamaan umum operasi pangkat matriks maka = max ≤i ,i ,…,i k− ≤ , − + ⋯ + + , = max ≤i ,i ,…,i k− ≤ , + ⋯ + + − ; untuk setiap j i, . Diketahui bahwa , + ⋯ + + − merupakan bobot lintasan dengan panjang dan adalah titik awal serta adalah titik akhirnya di � . Dengan demikian adalah bobot maksimum setiap lintasan dalam graf � dengan panjang ; dan sebagai titik awal serta sebagai titik akhirnya. Tetapi jika dalam graf � tidak terdapat lintasan dengan panjang dari simpul ke maka bobot maksimum didefinisikan sama dengan .  Untuk lebih jelasnya dapat diperhatikan dalam contoh berikut. 65 Contoh 3.19 Misalkan matriks = [ � � ] graf preseden � dari matriks adalah Gambar 3.9 Graf preseden matriks A pada Contoh 3.19 Bobot maksimum semua lintasan di � dengan panjang = ditentukan oleh elemen-elemen yaitu = [ ] Dari matriks di atas diperoleh = . Oleh karena itu bobot maksimum semua lintasan di � dengan panjang 3 yang berawal dari simpul 1 dan berakhir di simpul 3 adalah 8. Dari graf preseden terlihat bahwa lintasan yang dimaksud adalah → → → . Bobot lintasannya adalah |�| = , , , = Selanjutnya akan dijelaskan bobot rata-rata maksimum untuk sirkuit elementer, dengan maksimum diambil atas semua sirkuit elementer dalam graf. Misalkan terdapat matriks ∈ ℝ × dan � = �, � adalah graf preseden dari matriks . Bobot maksimum dari semua sirkuit yang mempunyai panjang dengan simpul adalah simpul awal dan simpul akhir di � dapat dinyatakan 66 dengan . Oleh karena itu, maksimum dari bobot maksimum semua sirkuit dengan panjang dan simpul sebagai simpul awal dan simpul akhir dalam � atas seluruh simpul adalah = = trace dan rata-ratanya adalah trace . Selanjutnya diambil maksimum atas sirkuit dengan panjang n k  , yaitu semua sirkuit elementer, diperoleh suatu rumus untuk bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam � yang dinotasikan dengan � adalah � = = trace . Suatu sirkuit dalam graf � yang mempunyai bobot rata-rata sama dengan bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer disebut sirkuit kritis. Suatu graf � yang terdiri dari semua sirkuit kritis disebut graf kritis dari � dan dinotasikan dengan � . Contoh 3.20 Misal matriks = [ − � � ] Graf preseden � adalah Gambar 3.10 Graf preseden untuk matriks A pada Contoh 3.20 67 Dari matriks A dan graf presedennya akan ditentukan bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer     A max  . Berdasarkan Definisi 3.10 diperoleh bahwa = [ ] dan = [ ] ; maka diperoleh bahwa trace = ; trace = ; dan trace = . Dengan demikian bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer adalah � = = trace = max , , = Berdasarkan hasil � = , sirkuit kritis pada graf preseden � adalah → → dan → → . Maka G raf kritis � dari sirkuit kritis adalah Gambar 3.11 Graf Kritis Teorema 3.24 Misalkan matriks ∈ ℝ × . Jika semua sirkuit dalam � mempunyai bobot tidak positif, maka ∀ , ≼ … ⨂ − . Bukti Karena banyak titik dalam � adalah maka semua lintasan dengan panjang tersusun dari sirkuit dengan jumlah panjang seluruh sirkuit kurang dari dan satu lintasan dengan panjang kurang dari . Hal ini berarti ∀ dan ∀ , ∈ { , … , }, ∃ ∈ { , … , }maka = + ∑ ; dengan − ; ; dan = , , , … 68 Karena semua sirkuit mempunyai bobot tidak positif maka ∀ dan untuk setiap ∀ , ∈ { , … , } berlaku dengan − . Akibatnya ∀ , ≼ … − . Karena ∈ ℝ × berlaku ≼ A maka ∀ , ≼ … − ∎ Berdasarkan Teorema 3.24 di atas, dapat didefinisikan operasi untuk matriks berikut: Definisi 3.25 Jika ∈ ℝ × dengan semua sirkuit dalam � mempunyai bobot tidak positif, maka didefinisikan = … + … dan + = . Selanjutnya akan dijelaskan matriks ∈ ℝ × yang mempunyai graf preseden terhubung kuat. Definisi 3.26 Suatu matriks ∈ ℝ × adalah iredusibel jika graf presedennya terhubung kuat. Teorema 3.27 Suatu matriks  A ℝ × dikatakan iredusibel jika dan hanya jika … − ≠ �; untuk setiap , dengan ≠ . Bukti  Definisi 3.26 menjelaskan bahwa jika A iredusibel maka � = �, � dengan � = { , … , } terhubung kuat, yaitu untuk setiap , ∈ � terdapat suatu lintasan dari ke . Dengan demikian untuk , ∈ �, ≠ terdapat dengan − sehingga ≠ �. 69 Akibatnya … − ≠ �; untuk setiap , dengan ≠ .  Jika … − ≠ �, untuk setiap , dengan ≠ , terdapat dengan − sehingga ≠ �. Hal ini berarti bahwa graf preseden � = �, � dengan � = { , … , }, untuk setiap , ∈ �, ≠ terdapat suatu lintasan dari ke . Akibatnya graf � terhubung kuat yang berarti juga bahwa matriks A iredusibel. ∎ Selanjutnya akan diberikan contoh cara menentukan matriks iredusibel Contoh 3.21 Misalkan terdapat matriks pada Contoh 3.20 matriks tersebut adalah iredusibel karena = [ − � � ] [ ] = [ ] yang berarti ≠ �. Oleh karena itu pada Gambar 3.10 ditunjukkan bahwa untuk sebarang dua titik , dengan ≠ dalam � terdapat lintasan dari ke . Contoh 3.22 Misalkan terdapat matriks = [ − � � � ] Dari matriks di atas diperoleh = [� � ]; dengan demikian = [ − � � � ] [� � ] = [� � ] ; = � dan = �. 70 Jadi matriks tidak iredusibel. Graf perseden � menunjukkan juga bahwa tidak ada lintasan yang menghubungkan simpul 1 ke 2 dan simpul 1 ke simpul . 3 Gambar 3.12 Graf dari Matriks A yang tidak iredusibel

F. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks di