11
b. Jika tidak mempunyai anggota maka disebut himpunan kosong, dan
dinotasikan dengan = { }
c. Jika
mempunyai sekurang-kurangnya satu anggota maka disebut
himpunan tak kosong. Selanjutnya, akan dijelaskan operasi gabungan dua himpunan. Gabungan
himpunan dan adalah himpunan yang memuat himpunan atau yang
dinotasikan ∪ = { | ∈ ⋁ ∈ }. Berikut ini diberikan contoh operasi
gabungan dua himpunan.
Contoh 2.3 Misalkan terdapat
= { , , , , } dan = { , , , , } maka ∪ = { , , , , , , }.
2. Operasi Biner
Pada bagian ini dijelaskan operasi biner dan sifat-sifatnya. Penjelasan pada bagian ini mencakup definisi operasi biner dan sifat-sifatnya, yakni sifat
tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, idempoten – definisi elemen identitas
dan elemen invers. Penjelasan pada bagian ini dimulai dengan memberikan definisi hasil kali
silang.
Definisi 2.1 Misalkan
, , … , adalah himpunan tak kosong. Himpunan
semua tupel terurut pada himpunan , , … , disebut hasil kali silang dan
dinotasikan dengan ×
× … × = {
, , … , | ∈ , = , … , }.
12
Setelah didefinisikan hasil kali silang, selanjutnya akan didefinisikan operasi biner.
Definisi 2.2 Misalkan
� adalah himpunan tidak kosong. Operasi biner pada himpunan
� adalah pemetaan � × � pada �. Menurut Definisi 2.2 terdapat dua sifat dasar operasi biner; pertama
terdefinisi dengan baik well-defined yaitu untuk setiap pasangan terurut ,
∈ � × � dipasangkan tepat satu dengan elemen di �. Kedua, sifat tertutup
yaitu untuk setiap , ∈ �,
∈ �. Berikut ini diberikan contoh sifat operasi biner pada suatu himpunan.
Contoh 2.4 Misalkan
ℤ adalah himpunan semua bilangan bulat yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian.
Akan ditunjukkan bahwa operasi penjumlahan dan perkalian adalah operasi biner di
ℤ. Berdasarkan Definisi 2.2 maka ∀ , ∈ ℤ,
+ dapat dipasangkan tepat satu anggota
ℤ . Selanjutnya ∀ , ∈ ℤ, + ∈ ℤ. Jadi ℤ tertutup
terhadap operasi penjumlahan. Selanjutnya
b
a, ℤ,
b a
juga well-difined dan
b
a, ℤ ,
b
a ℤ. Jadi ℤ tertutup terhadap operasi perkalian. Jadi,
operasi penjumlahan dan perkalian adalah operasi biner di ℤ.
Contoh 2.5 Misalkan
ℕ adalah himpunan semua bilangan bulat positif. Pada ℕ didefinisikan operasi dengan ketentuan
= − . Karena 3 dan 5 ada di ℕ dan − = − ∈ ℕ maka ℕ tidak tertutup terhadap operasi biner . Jadi
operasi bukan operasi biner pada ℕ
13
Selanjutnya akan dijelaskan dan diberikan contoh sifat-sifat operasi biner pada suatu himpunan.
Definisi 2.3 Sifat Komutatif Operasi Biner
Operasi biner pada suatu himpunan tak kosong S bersifat komutatif, jika dan
hanya jika ∀ , ∈ � ,
= .
Contoh 2.6 Misalkan
ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Akan ditunjukkan bahwa operasi penjumlahan dan perkalian pada
ℝ adalah komutatif. Berdasarkan sifat operasi penjumlahan bilangan real jika diambil sebarang
, ∈ ℝ , berlaku + = + . Selanjutnya berdasarkan sifat operasi perkalian bilangan real jika diambil
sebarang , ∈ ℝ , maka × = × .
Jadi berdasarkan Definisi 2.3 operasi penjumlahan dan perkalian di ℝ komutatif.
Definisi 2.4 Sifat Asosiatif Operasi Biner
Suatu operasi biner pada suatu himpunan tak kosong S bersifat asosiatif jika
dan hanya jika ∀ , , ∈ � ,
= .
Contoh 2.7 Misalkan
ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Akan ditunjukkan bahwa operasi penjumlahan dan perkalian di
ℝ asosiatif. Berdasarkan sifat operasi penjumlahan bilangan real jika diambil sebarang
, , ∈ ℝ, berlaku + + = +
+ . Selanjutnya berdasarkan sifat operasi perkalian bilangan real jika diambil
sebarang , , ∈ ℝ, berlaku ×
× = × × .
14
Jadi berdasarkan Definisi 2.4 operasi penjumlahan dan perkalian pada ℝ bersifat
asosiatif.
Definisi 2.5 Sifat Distributif Operasi Biner
Misalkan operasi biner dan terdefinisi pada himpunan
S
. 1.
Jika ∀ , , ∈ � , =
, maka di � berlaku sifat distributif kiri operasi terhadap operasi
2. Jika ∀ , , ∈ � ,
= , maka di � berlaku sifat
distributif kanan operasi terhadap operasi .
Contoh 2.8 Misalkan
ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Berdasarkan sifat operasi pada bilangan real jika diambil sebarang
, , ∈ ℝ, berlaku
× +
= ×
+ × dan
+ × =
× +
× . Jadi berdasarkan Definisi 2.5 operasi perkalian terhadap penjumlahan di
ℝ bersifat distributif kiri dan distributif kanan.
Definisi 2.6 Sifat Idempoten Operasi Biner
Suatu operasi biner pada himpunan � bersifat idempotent jika dan hanya jika
∀ ∈ � , = .
Contoh 2.9 Misalkan
ℕ adalah himpunan semua bilangan asli. Untuk setiap ∈ ℕ didefinisikan operasi biner sehingga
= elemen yang lebih kecil atau sama dengan atau , berlaku
= dan = . Jadi berdasarkan
Definisi 2.6
ℕ idempoten.
15
Setelah didefinisikan operasi biner dan sifat-sifatnya, selanjutnya akan didefinisikan elemen identitas dan elemen invers pada suatu himpunan tak
kosong
. S
Definisi 2.7 Suatu himpunan tak kosong
� dikatakan mempunyai elemen identitas terhadap operasi biner jika ada elemen
∈ � sedemikian sehingga ∀ ∈ � ,
= = .
Contoh 2.10 Misalkan
ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Akan ditunjukkan bahwa
ℝ mempunyai elemen identitas terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.
Ambil sebarang ∈ ℝ, + =
+ − = − = ∈ ℝ
Ambil sebarang ∈ ℝ ,
≠ maka berlaku × = ⇔ × × = × ⇔ = ∈ ℝ.
Untuk = , ∃ ∈ ℝ maka berlaku × = × = × = .
Jadi berdasarkan Definisi 2.7 dapat disimpulkan bahwa adalah elemen identitas terhadap operasi penjumlahan di
ℝ; dan adalah elemen identitas terhadap operasi perkalian di
ℝ.
Definisi 2.8 Misalkan himpunan tak kosong
� terhadap operasi biner mempunyai elemen identitas, yaitu
. Suatu elemen ∈ � dikatakan invers dari ∈ � terhadap operasi biner jika dan hanya jika
= =
Contoh 2.11 Misalkan
ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Akan ditunjukkan bahwa
ℝ mempunyai elemen invers terhadap operasi penjumlahan dan
ℝ\{ } mempunyai elemen invers terhadap operasi perkalian.
16
Ambil sebarang ∈ ℝ, + − = . Jadi − adalah elemen invers terhadap
operasi penjumlahan di ℝ.
Ambil sebarang ∈ ℝ\{ }, ≠ sehingga berlaku bahwa × = ∈ ℝ\{ }.
Jadi adalah elemen invers terhadap operasi perkalian di ℝ\{ }.
Setelah dijelaskan konsep himpunan dan operasi biner, selanjutnya dijelaskan tentang struktur aljabar sebagai suatu himpunan yang tak kosong yang
dilengkapi satu atau dua operasi biner.
B. Grupoid, Semigrup dan Monoid
