9
BAB II LANDASAN TEORI
Pada bab ini dijelaskan teori-teori yang digunakan sebagai dasar untuk menjelaskan teori aljabar max-plus pada Bab III. Penjelasan pada bab ini
mencakup gambaran singkat tentang himpunan, definisi dan sifat-sifat operasi biner, definisi elemen identitas dan elemen invers himpunan, grupoid, semigrup,
monoid, semigelanggang dan semilapangan. Pada bagian akhir akan dijelaskan secara singkat juga vektor dan matriks serta nilai eigen dan vektor eigen pada
himpunan semua bilangan real.
A. Himpunan dan Operasi Biner
Pada bagian ini dijelaskan tentang himpunan dan operasi biner. Penjelasan tentang himpunan mencakup definisi himpunan, keanggotaan
himpunan serta definisi dan contoh operasi gabungan dua himpunan. Sedangkan penjelasan tentang operasi biner mencakup definisi operasi biner dan sifat-
sifatnya. Penjelasan tentang himpunan dan operasi biner dirangkum dari Fraleigh 2003; Durbin 2009, Whitelaw 1995, dan Hungerford 2002.
1. Himpunan
Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu.
10
Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting agar himpunan tersebut terdefinisi dengan baik well-defined set.
Berikut ini diberikan beberapa contoh himpunan.
Contoh 2.1
1. Himpunan semua mahasiswa program studi matematika angkatan 2011.
2. Himpunan lima huruf pertama dalam abjad
3. Himpunan empat bilangan asli yang pertama.
Nama suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar , ,
dan sebagainya. Sedangkan untuk melambangkan anggota himpunan digunakan huruf kecil
, , , dan sebagainya. Untuk menyatakan himpunan digunakan
simbol {… }. Dengan demikian himpunan pada Contoh 2.1 di atas dapat ditulis
sebagai berikut:
Contoh 2.2
1. = {
, ℎ , ,
} 2.
= { , , , , } 3.
= { , , , } Selanjutnya, notasi untuk keanggotaan suatu himpunan dapat dinyatakan
sebagai berikut: Misalkan
, adalah suatu himpunan. a.
Jika adalah objek pada himpunan maka dikatakan sebagai anggota dan ditulis
∈ .
11
b. Jika tidak mempunyai anggota maka disebut himpunan kosong, dan
dinotasikan dengan = { }
c. Jika
mempunyai sekurang-kurangnya satu anggota maka disebut
himpunan tak kosong. Selanjutnya, akan dijelaskan operasi gabungan dua himpunan. Gabungan
himpunan dan adalah himpunan yang memuat himpunan atau yang
dinotasikan ∪ = { | ∈ ⋁ ∈ }. Berikut ini diberikan contoh operasi
gabungan dua himpunan.
Contoh 2.3 Misalkan terdapat
= { , , , , } dan = { , , , , } maka ∪ = { , , , , , , }.
2. Operasi Biner
Kategori