52
Teorema 3.13 Misalkan matriks
∈ ℝ
×
. Bila vektor ,
ℝ dengan
≼
maka
≼ .
Bukti
Untuk sebarang elemen ,
ℝ dengan
≼
berlaku, maka
=
� =
≼ . ∎
Contoh 3.9 Diberikan matriks
= [ ]dan vektor = [ ] , = [ ]. Jelas
bahwa ≼
dan
= [ ]
[ ] = [ ] = [
] [ ] = [ ].
Terlihat bahwa �
≼ �
.
E. Matriks dan Graf di
ℝ Pada bagian ini dijelaskan tentang hubungan matriks dan graf dalam
ℝ . Namun sebelumnya akan dijelaskan secara singkat konsep dasar mengenai
teori graf. Penjelasan pada bagian ini dirangkum dari Bacelli 2001, Heidergott, dkk 2006, West 2001, Farlow 2009, Andersen 2002.
1. Konsep Dasar Graf
Pada bagian ini akan dijelaskan konsep graf secara umum yang mencakup definisi graf, graf berarah dan graf berbobot serta graf berarah berbobot, lintasan
53
dan sirkuit dalam graf dan graf yang terhubung kuat. Penjelasan dimulai dengan mendefinisikan graf secara umum.
Definisi 3.14 Suatu graf
� didefinisikan sebagai pasangan himpunan �, � dengan
� adalah himpunan berhingga tak kosong yang anggota-anggotanya disebut simpul atau titik dan
� adalah himpunan pasangan tak terurut titik- titik yang anggota-anggotanya disebut busur atau rusuk.
Contoh 3.10 Perhatikan graf
� di bawah ini
Gambar 3.1 Graf secara umum
Graf pada Gambar 3.1 adalah graf � = � ,
dengan himpunan simpul adalah � = { , , } dan himpunan busurnya adalah � yaitu , , , , , .
Setelah didefinisikan graf secara umum, selanjutnya akan didefinisikan graf berarah dan graf berbobot.
Definisi 3.15 Suatu graf berarah
� adalah pasangan �, � , dengan � adalah himpunan simpul atau titik dan
� adalah himpunan pasangan terurut dari simpul-simpul. Anggota himpunan
� disebut busur; dan untuk busur , ∈ �, disebut titik awal busur dan disebut titik akhir busur. Suatu loop adalah busur
, ∈ �.
54
Definisi 3.15 menjelaskan bahwa graf berarah � adalah graf yang setiap
busurnya mempunyai arah. Dengan demikian kata terurut dalam Definisi 3.15 mengandung arti bahwa busur
, dan busur , merupakan dua busur yang
berbeda. Jika , ∈ � maka dikatakan bahwa � memuat satu busur dari ke ,
sehingga busur , dikatakan mempunyai satu busur masuk ke dan satu busur
keluar dari . Oleh karena itu, busur , ∈ � secara geometri dinyatakan dengan
suatu anak panah yang arahnya dari ke . Berikut ini diberikan contoh graf berarah.
Contoh 3.11 Perhatikan graf
� berikut
Gambar 3.2 Graf berarah
Graf pada Gambar 3.2 di atas adalah graf berarah � = � ,
dengan � = { , , } dan� = { , , , , , }. Perbedaan antara Contoh 3.10 dan
Contoh 3.11 terletak pada anggota-anggota himpunan
� yang dinyatakan sebagai pasangan terurut. Elemen pertama pada setiap pasangan terurut pada
anggota himpunan � dalam Contoh 3.11 menyatakan titik awal busur sedangkan
elemen keduanya menyatakan titik akhir busur. Berdasarkan Definisi 3.14 dan Definisi 3.15 serta Contoh 3.10 dan
Contoh 3.11 dapat dijelaskan cara menggambar suatu graf sebagai berikut: jika suatu graf dinyatakan dalam gambar, simpul dinyatakan sebuah noktah lingkaran
55
kecil dengan label yang berfungsi sebagai nama simpul; rusuk dinyatakan sebagai ruas garis yang menghubungkan noktah-noktah; sedangkan busur
dinyatakan sebagai ruas garis berarah yang menghubungkan noktah-noktah yang bersesuaian, dengan titik awal busur dan titik akhir busur ditentukan oleh arah
anak panah. Sesudah mendefinisikan graf berarah, selanjutnya akan didefinisikan graf
berbobot.
Definisi 3.16 Graf berbobot
� adalah graf yang memiliki bobot pada setiap rusuk atau busurnya. Bobot setiap rusuk atau busur dinotasikan dengan
, ∈ ℝ. Selanjutnya, akan diberikan contoh graf dengan bobot pada masing-
masing rusuknya.
Contoh 3.12 Perhatikan graf
� berikut ini
Gambar 3.3 Graf Berbobot �
Graf pada Gambar 3.3 merupakan graf berbobot � = � ,
dengan � = { , , } dan � = , , , , , sedangkan bobot-bobot dari setiap
rusuknya dinyatakan dengan , , ∈ ℝ untuk setiap rusuk yang bersesuaian.
56
Berdasarkan Definisi 3.15 dan Definisi 3.16 berikut ini akan didefinisikan graf berarah berbobot.
Definisi 3.17 Suatu graf berarah
� disebut berbobot jika bobot , ∈ ℝ dapat
dihubungkan dengan setiap busur , ∈ �.
Menurut Definisi 3.17 suatu graf berarah
� disebut berbobot jika setiap busur
, ∈ � dapat dipasangkan dengan suatu bilangan real yang merupakan bobot busur
, . Bobot busur , adalah nilai dari yang dinotasikan
, = .
Dengan demikian, suatu busur dari titik j ke titik i ada bila ≠ �. Oleh karena itu, busur , ∈ � dalam graf berarah berbobot secara
geometri dinyatakan dengan suatu anak panah yang arahnya dari ke dan
mempunyai bobot , =
≠ �. Untuk lebih jelas, perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 3.13 Perhatikan graf
� berikut ini
Gambar 3.4 Graf berarah berbobot �
Graf pada Gambar 3.4 merupakan graf berarah berbobot � = � ,
dengan � = { , , } dan � = { , , , , , } bobot untuk setiap busurnya adalah
, = ; , = ;
, = .
57
Setelah didefinisikan graf berarah, graf berbobot dan graf berarah berbobot selanjutnya akan didefinisikan graf terhubung kuat. Namun sebelumnya
akan dijelaskan definisi lintasan dalam graf dan beberapa konsep yang berhubungan dengan lintasan yang berguna untuk mendefinisikan graf terhubung
kuat.
Defenisi 3.18 Diberikan suatu graf berarah
� �, � , dengan � = { , … , }. Lintasan
� dari ke adalah barisan berhingga busur , , , , … ,
−
, dengan
,
+
∈ � dan = , , … , − . Himpunan
busur yang
dijelaskan pada
Definisi 3.18
dapat direpresentasikan dengan
→ →. . . → . Simpul disebut sebagai simpul awal sedangkan simpul disebut sebagai simpul akhir. Suatu lintasan disebut
lintasan elementer jika tidak ada simpul yang muncul dua kali Baceli dkk, 2001. Selanjutnya didefinisikan panjang lintasan, bobot lintasan, dan bobot rata-
rata lintasan.
Definisi 3.19 Untuk suatu lintasan
� pada suatu graf berarah berbobot �, panjang lintasan
� adalah banyaknya busur pada lintasan tersebut. Panjang lintasan � dinotasikan dengan
|�| .
Definisi 3.20 Misalkan
� = , , … , adalah lintasan dari simpul ke simpul pada graf berarah berbobot
� dengan panjang . Bobot lintasan � adalah hasil penjumlahan bobot setiap busur pada lintasan tersebut. Bobot lintasan
� dinotasikan dengan
|�| Bacelli dkk, 2001. Menurut Definisi 3.20 dapat ditulis rumus menentukan bobot lintasan adalah
58
|�| = +
+ ⋯ +
−
=
,
+
,
+ ⋯ +
,
−
Definisi 3.21 Bobot rata-rata suatu lintasan didefinisikan sebagai bobot
lintasan
|�| dibagi dengan panjang lintasan |�| . Bobot rata-rata suatu lintasan
dinotasikan dengan |�̅| . Dari Definisi 3.21 dapat ditulis rumus menentukan bobot rata-rata lintasan
adalah |�̅| =
|�| |�|
Setelah dijelaskan konsep tentang lintasan, selanjutnya akan diberikan contoh cara menentukan suatu lintasan dan cara menghitung panjang lintasan dan
bobot lintasan serta bobot rata-rata lintasan.
Contoh 3.14 Perhatikan graf
� berikut ini
Gambar 3.5 Graf berarah berbobot �
Perhatikan barisan busur berikut: � : → → ;
� : → → → → ;
59
� : → → → → → Himpunan busur
� , � , � , adalah lintasan. Dari ketiga lintasan tersebut � , � , disebut lintasan elementer karena setiap simpulnya muncul sekali;
sedangkan � bukan lintasan elementer karena terdapat simpul yang muncul
lebih dari sekali, yaitu simpul 1. Selanjutnya Lintasan �
mempunyai jumlah busur sebanyak 2; jumlah busur pada lintasan
� adalah 4 dan lintasan � mempunyai busur sebanyak 5. Oleh karena itu berdasarkan Definisi 3.19,
panjang lintasan |� | = ; panjang lintasan |� | = 4 dan panjang lintasan
|� | = . Berdasarkan Definisi 3.20, bobot � , � , � , diberikan oleh: |� | =
+ = +
= |� | =
+ +
+ = +
+ + = |� | =
+ +
+ +
= +
+ + + = Berdasarkan Definisi 3.21, bobot rata-rata lintasan diberikan oleh
|�̅̅̅| = |� |
|� | = ; |�̅̅̅| =
|� | |� | =
; |�̅̅̅| = |� |
|� | = .
Selanjutnya akan dijelaskan tentang sirkuit. Sirkuit adalah lintasan tertutup, yaitu barisan busur
, , , , … ,
−
, . Dengan demikian sirkuit adalah suatu lintasan yang memiliki simpul awal dan simpul akhir yang sama.
Sirkuit elementer adalah lintasan elementer yang memiliki simpul awal dan simpul akhir yang sama; atau dengan cara yang lain dapat dikatakan bahwa
sirkuit elementer adalah sirkuit yang simpul-simpulnya muncul tidak lebih dari
sekali, kecuali simpul awal yang muncul tepat dua kali. Cara menghitung panjang, bobot dan bobot rata-rata suatu sirkuit sama dengan cara menghitung
60
panjang, bobot dan bobot rata-rata pada suatu lintasan yang dijelaskan pada Definisi 3.19, Definisi 3.20 dan Definisi 3.21. Berikut ini akan diberikan contoh
graf yang mempunyai sirkuit.
Contoh 3.15 Perhatikan graf
� berikut ini
Gambar 3.6 Graf berarah dengan lintasanya
Barisan busur yang direpresentasikan oleh → → → → adalah
lintasan pada �
,
tetapi bukan sirkuit; lintasan → → → → adalah sirkuit
karena simpul awal dan simpul akhir busur berada pada simpul yang sama, yaitu simpul 3. Sedangkan lintasan
→ → → disebut sirkuit elementer karena masing-masing simpul hanya muncul satu kali, kecuali simpul satu yang menjadi
titik awalnya yang muncul dua kali. Pada Definisi 3.18 telah dijelaskan tentang definisi lintasan, selanjutnya
akan diberikan definisi suatu graf berdasarkan lintasan pada simpul-simpulnya.
Definisi 3.22 suatu graf berarah
� �, � , dengan � = { , … , } adalah terhubung kuat jika untuk setiap
, ∈ �, ≠ terdapat suatu lintasan dari ke
. Selanjutnya diberikan contoh graf terhubung kuat dan graf tak terhubung
kuat.
61
Contoh 3.16 Perhatikan dua graf berikut
Gambar 3.7a Graf berarah berbobot
�
yang mempunyai sirkuit
Gambar 3.7b Graf berarah berbobot
�
tanpa sirkuit.
Pada Gambar 3.7a diberikan graf berarah berbobot � . Pada graf � terdapat
lima sirkuit yang direpresentasikan oleh → ; → → ; → → ; → ;
dan → . Akibatnya, pada graf � untuk setiap simpul yang berbeda dapat
dibentuk sebuah lintasan, graf � adalah grap berarah berbobot yang terhubung
kuat. Sedangkan pada Gambar 3.7b diberikan juga graf berarah berbobot � ;
namun pada graf � tidak memuat satupun sirkuit. Akibatnya untuk setiap simpul
yang berbeda tidak dapat dibentuk suatu lintasan, graf � adalah graf berarah
berbobot tak terhubung kuat. Setelah membahas konsep tentang graf secara umum, selanjutnya akan
dijelaskan hubungan antara matriks dan graf di ℝ
.
62
2. Matriks dan Graf di
