16
Ambil sebarang ∈ ℝ, + − = . Jadi − adalah elemen invers terhadap
operasi penjumlahan di ℝ.
Ambil sebarang ∈ ℝ\{ }, ≠ sehingga berlaku bahwa × = ∈ ℝ\{ }.
Jadi adalah elemen invers terhadap operasi perkalian di ℝ\{ }.
Setelah dijelaskan konsep himpunan dan operasi biner, selanjutnya dijelaskan tentang struktur aljabar sebagai suatu himpunan yang tak kosong yang
dilengkapi satu atau dua operasi biner.
B. Grupoid, Semigrup dan Monoid
Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong
S
yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Struktur aljabar di atas berturut-turut
dinotasikan dengan �, dan �, +, . Struktur aljabar yang paling sederhana
adalah grupoid, semigrup, dan monoid. Grupoid adalah himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan satu operasi biner. Semigrup adalah himpunan tak
kosong yang dilengkapi dengan satu operasi biner dan operasi binernya bersifat asosiatif. Monoid adalah semigrup yang mempunyai elemen identitas. Berikut ini
diberikan contoh struktur aljabar grupoid, semigrup dan monoid.
Contoh 2.12 Misalkan
ℕ adalah himpunan semua bilangan asli terhadap operasi penjumlahan. Berdasarkan sifat operasi penjumlahan bilangan asli diketahui
bahwa ℕ tertutup dan well-defined terhadap operasi penjumlahan. Jadi ℕ adalah
grupoid terhadap operasi penjumlahan.
Contoh 2.13 Akan ditunjukkan bahwa
ℕ, + adalah semigrup. Pada Contoh 2.12 telah ditunjukkan bahwa
ℕ, + well-defined dan tertutup. Hal ini berarti
17
cukup diselidiki apakah operasi penjumlahan di ℕ asosiatif; dan diketahui bahwa
operasi penjumlahan bilangan asli bersifat asosiatif. Jadi
ℕ, + adalah semigrup.
Contoh 2.14 Misalkan
ℤ adalah himpunan semua bilangan bulat. Akan ditunjukkan bahwa
ℤ, + adalah monoid. Untuk menunjukkan
ℤ, + adalah monoid harus ditunjukkan bahwa ℤ, + adalah semigrup dan
ℤ, + mempunyai elemen identitas terhadap operasi penjumlahan. Diketahui bahwa di
ℤ operasi penjumlahan bersifat tertutup dan asosiatif. Jadi
ℤ adalah semigrup. Sekarang akan ditunjukkan bahwa ℤ punya elemen identitas terhadap operasi penjumlahan.
Ambil sebarang ∈ ℤ, berdasarkan Definisi 2.7 bahwa + =
+ − = −
= . Jadi terbukti bahwa ℤ mempunyai elemen identitas terhadap operasi penjumlahan, yaitu
. Jadi ℤ, + adalah monoid. Selanjutnya penjelasan dilanjutkan dengan memberi fokus pada semigrup.
Penjelasan dimulai dengan mendefinisikan suatu grupoid sebagai semigrup.
Definisi 2.9 Suatu grupoid
S
adalah semigrup jika operasi binernya bersifat asosiatif .
Definisi 2.9 menjelaskan bahwa tidak semua grupoid adalah semigrup. Pada Contoh 2.13 di atas telah ditunjukkan bahwa suatu grupoid
ℕ, + adalah semigrup. Berikut ini akan diberikan contoh yang menjelaskan bahwa tidak
semua grupoid adalah semigrup.
18
Contoh 2.15 Misalkan
, adalah grupoid. Operasi biner dari himpunan terdefinisi seperti dalam tabel berikut:
Tebel 2.1 Tabel Operasi Biner Himpunan
, a B C d A
b C
D a B
d A
B c
C a
B C
d D
c D
A b Akan ditunjukkan bahwa
, bukan semigrup. Hal itu berarti bahwa terdapat elemen di
jika dioperasikan dengan operasi yang terdefinisi pada tidak
asosiatif. Ambil sebarang , , ∈ maka
= .
= ≠
Berdasarkan hasil operasi di atas,
G
bukan semigrup. Selanjutnya akan dijelaskan dan diberikan contoh semigrup komutatif.
Definisi 2.10 Semigrup
�, adalah semigrup komutatif jika operasi biner bersifat komutatif.
Contoh 2.16 Misalkan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli. Pada Contoh
2.13 telah dibuktikan bahwa ℕ, + adalah semigrup terhadap operasi
penjumlahan. Sekarang akan ditunjukkan bahwa ℕ, + adalah semigrup
komutatif. Diketahui bahwa operasi penjumlahan pada bilangan asli komutatif.
19
Maka berdasarkan Definisi 2.10 dapat disimpulkan bahwa ℕ, + adalah
semigrup komutatif. Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa semigrup adalah
himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan satu operasi biner yang bersifat tertutup, terdefinisi dengan baik dan bersifat asosiatif. Suatu semigrup adalah
komutatif jika operasinya komutatif. Penjelasan tentang semigrup dirangkum dari Howie 1995, Harju 1996
dan Kandasamy 2002.
C. Semigelanggang
