25
distributif kiri dan distributif kanan terhadap operasi pertama. Suatu semigelanggang adalah komutatif, jika operasi keduanya komutatif; dan
semigelanggang adalah idempoten jika operasi pertama idempoten.
D. Semilapangan Struktur aljabar terakhir yang akan dijelaskan adalah semilapangan.
Semilapangan adalah semigelanggang komutatif yang mendapat tambahan sifat khusus, yaitu untuk setiap elemen yang bukan elemen identitas terhadap operasi
pertama mempunyai elemen invers terhadap operasi kedua. Definisi formal semilapangan dijelaskan oleh dua definisi berikut:
Definisi 2.15 Suatu semigelanggang komutatif
�, +, disebut semilapangan jika setiap elemen di
� yang bukan elemen identitas � mempunyai invers terhadap operasi biner
yaitu ∀ ∈ �\{�}, ∃
−
sehingga
−
= , dengan adalah elemen identitas terhadap operasi
.
Definisi 2.16 Suatu semilapangan
�, +, adalah semilapangan idempoten jika operasi
bersifat idempoten. Selanjutnya diberikan contoh semigelanggang komutatif yang merupakan
semilapangan idempoten.
Contoh 2.20 Misalkan Himpunan
ℝ ∪ � dengan ℝ adalah himpunan semua bilangan real; Misalkan juga di
ℝ ∪ � didefinisikan = dan � = −∞ serta dua operasi biner yang belaku di himpunan
ℝ ∪ �, operasi
dan dan operasi
yang didefinisikan sebagai berikut:
∀ , ∈ ℝ ∪ �, = max , dan
= + .
26
Himpunan ℝ ∪ � yang dilengkapi dengan operasi biner
dan
adalah semilapangan idempotent. Himpunan ini kemudian dikenal dengan sebutan
aljabar max-plus. Bukti lengkap Contoh 2.20 ini akan dijelaskan pada Bab III. E. Vektor dan Matriks Pada Himpunan Bilangan Real
Pada bagian ini dijelaskan definisi tentang vektor dan matriks pada himpunan bilangan real serta nilai eigen dan vektor eigen dari matriks real.
Pembahasan dimulai dengan memberikan definisi tentang lapangan dan ruang vektor.
Definisi 2.17 Lapangan adalah semilapangan yang mempunyai elemen invers
terhadap operasi pertama.
Definisi 2.18 Misalkan adalah lapangan. Himpunan adalah ruang vektor jika
untuk setiap , ∈ dan sebarang skalar ∈ ℝ berlaku + ∈ dan hasil kali
∈ . Salah satu contoh lapangan adalah himpunan bilangan real
ℝ dengan operasi penjumlahan dan operasi perkalian dan disebut lapangan real
ℝ . Menurut Definisi 2.17 dan Definisi 2.18 jika
ℝ = ℝ × ℝ × … × ℝ = { = , , … ,
| ∈ ℝ, = , … , } dan pada
ℝ didefinisikan operasi: Penjumlahan: + =
, , … , +
, , … , =
+ , + , … ,
+ Perkalian dengan skalar di ℝ
× = × , , … ,
27
= × , × , … , ×
maka ℝ merupakan ruang vektor atas lapangan real ℝ , =
, , … , disebut vektor real Anton, 2005.
Setelah dijelaskan vektor real di ℝ , selanjutnya akan dijelaskan konsep
matriks pada himpunan bilangan real, nilai eigen dan vektor eigen pada matriks real. Penjelasan dimulai dengan memberikan definisi tentang matriks.
Definisi 2.19 Matriks adalah susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-
bilangan dalam susunan itu disebut elemen-elemen dari matriks tersebut Anton, 2005.
Definisi 2.20 Ordo atau ukuran matriks adalah banyaknya baris banyaknya kolom
dalam matriks itu Kolman, 2001. Selanjutnya jika adalah matriks berukuran
× maka elemen yang terletak pada baris ke-
dalam kolom ke- matriks dinotasikan dengan atau [ ] dengan = , … , dan = , … , . Bentuk umum matriks berukuran
× dituliskan sebagai berikut:
mn m
m n
n
a a
a a
a a
a a
a A
2 1
2 22
12 1
12 11
Untuk penjelasan selanjutnya matriks yang dijelaskan adalah matriks yang elemen-elemennya adalah himpunan semua bilangan real. Himpunan
matriks real berukuran × dinotasikan dengan ℝ
. Berikut ini beberapa tipe matriks, yaitu:
28
1. Jika semua elemen matriks
bernilai nol maka matriks disebut matriks nol.
2. Matriks dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom sama disebut matriks
persegi. Matriks persegi dengan baris dan kolom sebanyak disebut matriks
persegi berukuran × . Jika matriks = [ ] adalah matriks persegi
berukuran × maka elemen-elemen
,
,
… , disebut elemen
diagonal utama matriks .
3. Suatu matriks persegi berukuran × disebut matriks identitas jika elemen
diagonal utamanya dan elemen lainnya
. Matriks identitas berukuran × dinotasikan dengan .
Setelah dijelaskan konsep tentang matriks, selanjutnya akan dijelaskan definisi operasi-operasi pada matriks.
Definisi 2.21
1. Untuk , ∈ ℝ
maka + = [
+ ], dengan + ∈ ℝ
. 2.
Untuk ∈ ℝ dan
∈ ℝ maka
× = dengan ∈ ℝ dan
p k
kj ik
ij
b a
c
1
untuk = , … , dan = , … , .
3. Untuk sebarang matriks ∈ ℝ
dan sebarang skalar ∈ ℝ maka
× = [ × ] dengan × ∈ ℝ
. Setelah didefinisikan tiga operasi pada matriks di atas, berikut ini akan
didefinisikan operasi pangkat pada matriks.
Definisi 2.22 Misalkan
A
adalah matriks persegi berordo dan adalah bilangan bulat positif maka operasi pangkat pada matriks didefinisikan
29
= × × … × ⏟
Berdasarkan Definisi 2.21, dapat ditulis juga sebagai berikut
= × × × … × ⏟
−
= ×
−
Untuk
p maka
.
n
I A
Selanjutnya akan dijelaskan definisi nilai eigen dam vektor eigen matriks.
Definisi 2.23 Misalkan adalah suatu matriks berordo × , suatu vektor ≠
di ℝ disebut vektor eigen dari matriks jika
= � untuk suatu skalar �.
Skalar � disebut nilai eigen Anton, 2005.
Setelah menjelaskan konsep himpunan, operasi biner, semigrup, semigelanggang, semilapangan, vektor dan matriks pada himpunan bilangan real,
selanjutnya konsep-konsep tersebut akan digunakan sebagai landasan untuk menjelaskan teori aljabar max-plus yang akan dijelaskan pada bab selanjutnya.
30
BAB III ALJABAR MAX-PLUS
Pada bab ini dijelaskan tentang konsep dasar aljabar max-plus yang mencakup definisi aljabar max-plus, operasi dalam aljabar max-plus dan sifat-
sifatnya, vektor dan matriks dalam aljabar max-plus, graf dalam aljabar max-plus, nilai eigen dan vektor eigen dalam aljabar max-plus. Penjelasan tentang topik-
topik di atas dijelaskan dalam definisi-definisi dan teorema serta dilengkapi dengan contoh-contoh penjelas tentang topik-topik yang bersangkutan.
A. Definisi Aljabar Max-Plus
Secara singkat aljabar max-plus dapat didefinisikan sebagai himpunan ℝ ∪ {�} dengan ℝ adalah himpunan semua bilangan real yang dilengkapi dengan
operasi maksimum dan operasi penjumlahan dan membentuk semilapangan. Secara matematika, definisi tentang aljabar max-plus dijelaskan lebih lanjut
dalam definisi dan teorema-teorema berikut ini.
Definisi 3.1 Notasi
ℝ
ℰ
menunjuk pada himpunan ℝ ∪ {�} dengan ℝ adalah
himpunan semua bilangan real Bacelli, 2001.
Definisi 3.2 Didefinisikan
� = −∞ dan = maka ∀ , ∈ ℝ
ℰ
, operasi dan operasi
didefinisikan sebagai berikut: = max , dan
= +
