35
Selanjutnya akan dijelaskan juga teorema yang menjelaskan bahwa ℝ
adalah suatu semilapangan.
Teorema 3.4
ℝ adalah suatu semilapangan Bacelli, 2001.
Bukti
Akan ditunjukkan bahwa ℝ
adalah suatu semilapangan. Berdasarkan Teorema 3.3
telah dibuktikan bahwa ℝ
adalah suatu semigelanggang komutatif. Oleh karena itu, untuk membuktikan
ℝ adalah
semilapangan, cukup dibuktikan bahwa di ℝ
untuk setiap elemen yang bukan elemen identitas
−∞ mempunyai invers terhadap operasi . Ambil sebarang
∈ ℝ \{−∞}, ∃
−
= − ∈ ℝ maka berlaku
−
= atau + − = . Jadi terbukti bahwa ℝ adalah
semilapangan. ∎
Berdasarkan Teorema 3.3 dan Teorema 3.4 dapat disimpulkan bahwa ℝ
adalah himpunan ℝ
�
yang dilengkapi dengan operasi dan
serta membentuk semilapangan idempoten.
B. Notasi di ℝ
Dalam rangka memahami operasi biner dalam ℝ
maka perlu diperkenalkan notasi yang berlaku dalam
ℝ . Pada Definisi 3.2 di atas, telah
diperkenalkan dua operasi yang dinotasikan dengan dan
. Dalam Definisi 3.2 juga telah dijelaskan bahwa operasi
dan dalam aljabar biasa
didefinisikan sebagai operasi maksimum untuk operasi ; dan penjumlahan
untuk operasi . Dengan demikian cara sederhana untuk memahami sifat-sifat
36
operasi dalam ℝ
adalah menganalogikannya dengan operasi yang berlaku dalam aljabar biasa. Misalkan, dalam
ℝ terdapat operasi biner “ ” baca: O
bagi sebagai invers dari operasi . Dengan menganalogikannya pada aljabar
biasa, operasi biner sebagai invers dari operasi dapat dianalogikan dengan
invers dari operasi penjumlahan dalam aljabar biasa, yaitu pengurangan. Oleh karena itu operasi
dalam ℝ dapat diselesaikan dengan menggunakan
aljabar biasa, yaitu − . Notasi untuk operasi lainnya di ℝ
diberikan dalam tabel analogi notasi operasi berikut:
Tabel. 3.1 Analogi Notasi ℝ
Notasi
ℝ
Notasi Aljabar Biasa
max +
−
√
� −∞
Selanjutnya pada tabel berikut diberikan beberapa contoh penggunaan notasi dalam
ℝ dan cara pengoperasiaannya.
37
Tabel 3.2 Contoh Penggunaan Notasi Operasi dalam ℝ
ℝ
Aljabar Biasa =
max , 7
max , , , , +
� max , �
� � +
− − +
−
5
= +3
= × = ×
+ − max ,
= × max , atau
max × , ×
−
− −
√ ⁄
√
5
⁄
Pembahasan pada Bagian B di atas dirangkum dari Bacelli 2001 dan Heidergott, dkk 2006.
38
C. Sifat Operasi di ℝ
Definisi 3.2, Teorema 3.3 dan Teorema 3.4 telah menjelaskan sifat-sifat operasi biner dalam
ℝ . Kemudian pada Bagian B juga telah dijelaskan notasi
operasi dalam ℝ
dan cara pengoperasiannya. Oleh karena itu, pada bagian ini akan dijelaskan sifat-sifat operasi yang belum dijelaskan pada Bagian A dan
Bagian B.
Contoh 3.2 Perhatikan masalah dalam contoh berikut
− .
Sebelum menyelesaikannya, masalah pada Contoh 3.2 di atas harus dipahami sebagai
− .Oleh karena itu, solusi yang tepat untuk masalah
ini adalah −
= max + − , + = .
Dalam Contoh 3.2 diperlihatkan bahwa terdapat analogi antara sifat operasi
dan operasi dalam ℝ dengan sifat operasi
+ dan operasi − dalam aljabar biasa, yaitu dalam hal urutan pengoperasiaan, jika tidak ada tanda
kurung operasi mempunyai prioritas atau lebih kuat daripada operasi
Heidergott dkk, 2006. Pangkat
∈ ℕ ∪ { } dengan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli, dari elemen
∈ ℝ dinotasikan dengan
. Notasi didefinisikan
sebagai berikut: ; = dan
≔
−
, untuk = , , …
Didefinisikan juga �
≔ dan � : = �, untuk = , , … Diperhatikan
bahwa ,
... ...
na a
a a
a a
a a
a a
n n
n
dengan adalah operasi perkalian pada bilangan real. Sifat pangkat dalam
ℝ mempunyai prioritas tertinggi dibandingkan dengan operasi
dan .
39
Berdasarkan operasi pangkat ℝ
dan sifat operasi akar pada aljabar biasa, maka dapat dijelaskan cara menghitung operasi
√ di ℝ . Dalam
ℝ operasi √ didefinisikan dengan menggunakan definisi akar pada aljabar
biasa dan kemudian menganalogikan operasi pangkat biasa dengan operasi pangkat dalam
ℝ . Maka dapat dijelaskan
√ = =
Dengan menganalogikan ke bentuk pangkat di
ℝ , maka
= =
= Penjelasan lebih lanjut mengenai pangkat dalam
ℝ dapat dilihat dalam
teorema berikut.
Teorema 3.5 Farlow, 2009
Untuk setiap , ∈ ℕ; dengan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli dan
untuk setiap , ∈ ℝ
, berlaku 1.
= 2.
= 3.
= 4.
=
Bukti
Ambil sebarang , ∈ ℕ dan , ∈ ℝ
, sedemikian sehingga 1.
= +
= +
= 2.
= =
= =
3. =
=
40
4. =
+ =
+ =
∎
Contoh 3.3 Hitunglah operasi
ℝ berikut ini
1. = × =
2. = × =
3. =
× +
× = + =
4. = × × =
D. Vektor dan Matriks di
ℝ Pada bagian ini akan dijelaskan vektor dan matriks pada
ℝ yang
mencakup definisi vektor di ℝ
, definisi matriks di ℝ
dan operasi matriks di
ℝ serta sifat-sifatnya. Penjelasan pada bagian ini dirangkum dari Farlow
2009, Bacelli 2001, Heidergott, dkk 2006, Rudhito 2003, Andersen 2002.
1. Vektor di
ℝ Berikut ini akan didefinisikan
ℝ berdasarkan
ℝ sebagai
ℝ
�
= ℝ
�
× … × ℝ
�
= { = , … ,
| ∈ ℝ
�
, = , … , } dan pada ℝ
�
didefinisikan: a.
Operasi : =
, , … , , , … ,
= ,
, … , b.
Operasi dengan skalar di ℝ
�
= , , … ,
= ,
, … , ∈ ℝ
disebut vektor pada ℝ
.
41
Definisi 3.6 Dua vektor dan di
ℝ dikatakan sama jika elemen-elemen
yang bersesuaian sama.
Selanjutnya vektor di
ℝ ditulis sebagai vektor kolom, yaitu suatu
vektor yang dihasilkan dengan mentranspose vektor
. 2. Matriks di
ℝ Dalam aljabar linear, untuk
ℝ adalah himpunan semua bilangan real, dapat dibentuk suatu matriks
berukuran × yang entri-entrinya adalah
elemen-elemen di ℝ. Demikian juga dalam ℝ
dapat dibentuk suatu matriks berukuran
× dengan entri-entrinya adalah elemen di ℝ . Selanjutnya
matriks yang dijelaskan adalah matriks di ℝ
. Himpunan matriks
× untuk , ∈ ℕ dengan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli dinotasikan dengan
ℝ
×
. Sedangkan untuk = matriks
A di atas didefinisikan sebagai matriks persegi. Himpunan matriks × untuk
n
ℕ dengan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli dinotasikan dengan ℝ
×
. Selanjutnya akan dijelaskan tentang operasi matriks. Pada Bagian A dan
Bagian B telah dijelaskan tentang operasi dan
pada ℝ . Kedua operasi
tersebut dapat diperluas untuk operasi matriks. Seperti pada matriks real, operasi matriks atas
ℝ juga memiliki tiga operasi dasar. Dalam definisi berikut
dijelaskan tiga operasi matriks di ℝ
.
Definisi 3.7 Diberikan
ℝ
×
≔ { = [ ]| ∈ ℝ
}, untuk = , … , dan untuk
= , … , . Diketahui ∈ ℝ dan , ∈ ℝ
×
.
42
Secara berturut-turut didefinisikan dan
adalah matriks yang unsur ke- -nya adalah
= dan
= untuk
= , … , dan untuk = , … , . Diketahui matriks
∈ ℝ
×
dan ∈ ℝ
×
. Didefinisikan
adalah matriks yang unsur ke- -nya adalah =
=
untuk = , … , dan untuk = , … , .
Setelah definisi operasi matriks di atas, selanjutnya diberikan contoh cara mengoperasikan matriks.
Contoh 3.4. Perhatikan operasi matriks berikut
[ �
− .
] = [ �
− .
] = [ +
+ � +
+ − + .
+ ] = [
� .
]
[ �
] [
� ] = [
� �
]
= [
max , max ,
max , � max ,
max , max ,
max , max �,
max , ]
= [ ]
[ ]
[ ] = [
]
= [ ]
43
= [max , , max , ,
max , , max , , ]
= [ ]
Berdasarkan definisi operasi matriks di atas, selanjutnya akan dijelaskan sifat-sifat operasi matriks.
Teorema 3.8 Pernyataan-pernyataan berikut berlaku untuk sebarang skalar
, ∈ ℝ, dengan ℝ adalah himpunan semua bilangan real dan sebarang matriks , , asalkan operasi yang dimaksud terdefinisi.
1. =
2. =
3. =
4. =
5. =
6. =
7. =
8. =
= 9.
= 10.
= 11.
=
Bukti
Akan dibuktikan bahwa: 1.
= Ambil sebarang matriks
, , ∈ ℝ
×
.
44
Untuk setiap elemen baris ke- dan kolom ke- matriks
berlaku =
= =
= ; untuk ∈ dan ∈
Jadi terbukti bahwa =
2. =
Ambil sebarang matriks , ∈ ℝ
×
. Untuk setiap elemen baris ke-
dan kolom ke- matriks berlaku
= =
= ; untuk ∈ dan ∈
Jadi terbukti bahwa =
3. =
Ambil sebarang matriks ∈ ℝ
×
, ∈ ℝ
×
dan ∈ ℝ
×
. Untuk setiap elemen baris ke- dan kolom ke- matriks
berlaku =
= =
=
= =
=
= =
= ; untuk ∈ dan ∈
Jadi terbukti bahwa =
. 4.
= Ambil sebarang matriks
∈ ℝ
×
dan , ∈ ℝ
×
. Untuk setiap elemen baris ke- dan kolom ke- matriks
berlaku =
=
45
=
=
=
= =
= ; untuk
∈ dan ∈ Jadi terbukti bahwa
= 5.
= Ambil sebarang matriks
, ∈ ℝ
×
, ∈ ℝ
×
. Untuk setiap elemen baris ke- dan kolom ke- matriks
berlaku =
=
=
=
=
= =
= ; untuk
∈ dan ∈ Jadi terbukti bahwa
= 6.
= Ambil sebarang skalar
∈ ℝ dan ambil sebarang matriks ∈ ℝ
×
. Untuk setiap elemen baris ke-
dan kolom ke- matriks berlaku
= =
= ; untuk ∈ dan ∈ .
Jadi terbukti bahwa =
7. =
Ambil sebarang skalar , ∈ ℝ dan ambil sebarang matriks ∈ ℝ
×
. Untuk setiap elemen baris ke- dan kolom ke- matriks
berlaku =
maka =
= =
; untuk ∈ dan
∈ . Jadi terbukti bahwa
. A
A
46
8. =
= Ambil sebarang skalar
∈ ℝ dan ambil sebarang matriks ∈ ℝ
×
dan matriks ∈ ℝ
×
. Untuk setiap elemen baris ke- dan kolom ke- matriks berlaku
=
=
maka =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
; untuk ∈ dan ∈ . Jadi terbukti bahwa
= =
9. =
Ambil sebarang skalar
, ℝ dan ambil sebarang matriks
A
ℝ
×
. Misalkan
= �, untuk setiap elemen baris ke- dan kolom ke- matriks �
berlaku �
= � =
= =
; untuk
∈ dan ∈ . Jadi terbukti bahwa
A A
A
10.
= Ambil sebarang skalar
∈ ℝ dan matriks , ∈ ℝ
×
. Untuk setiap elemen baris ke- dan kolom ke- matriks
B A
berlaku =
maka =
= =
; untuk ∈ dan ∈ . Jadi terbukti bahwa
=
47
11. =
Ambil sebarang matriks ∈ ℝ
×
. Untuk setiap elemen baris ke-
dan kolom ke- matriks berlaku
= =
= ; untuk ∈ dan ∈ . Jadi terbukti bahwa
= ∎ Berdasarkan Teorema 3.8 dapat disimpulkan bahwa sifat komutatif
operasi matriks hanya berlaku untuk operasi tetapi tidak berlaku untuk operasi
. Berikut ini diberikan contoh yang menyatakan sifat komutatif dalam operasi matriks di
ℝ .
Contoh 3.5 Diketahui matriks
= [ ] dan matriks = [−
]
= [ ]
[− ] = [ max ,
max , max , −
max , ] = [ ]
= [− ]
[ ] = [ max ,
max , max − ,
max , ] = [ ]
Jadi =
. = [
] [−
] = [ −
− ]
= [max , max ,
max , max , ] = [
]
= [− ]
[ ] = [−
− ]
= [max , max ,
max , max , ] = [
] Jadi terbukti bahwa
≠ .
48
Selanjutnya akan dijelaskan tentang transpose matriks dan beberapa tipe matriks.
Definisi 3.9
1. Transpose dari matriks dinotasikan dengan
�
. Dalam ℝ
�
didefinisikan sama dengan matriks transpose dalam aljabar biasa, yaitu
[
�
] = [ ] 2.
Matriks identitas × , didefinisikan [ ] = { jika = � jika ≠
3. Matriks � ∈ ℝ
×
didefinisikan [�] = � untuk setiap baris ke- dan kolom
ke- . Setelah dijelaskan tiga operasi dalam matriks dan sifat-sifat operasinya,
selanjutnya akan dijelaskan operasi pangkat matriks.
Definisi 3.10 Untuk matriks persegi berukuran
n n
dan untuk k sebarang
bilangan bulat positif, pangkat ke- dari matriks didefinisikan =
−
dan untuk = , =
. Berdasarkan Definisi 3.10 di atas maka unsur ke- matriks berpangkat
dapat dijelaskan sebagai berikut: Unsur ke- matriks
adalah =
= …
=
= ,
,
= max
i n ,
+
,
Unsur ke- matriks adalah
= =
= ,
= ,
,
49 =
= =
, ,
,
= max
≤ , ≤ ,
+ +
,
Secara umum, unsur ke- matriks adalah
=
−
= ,
−
…
= ,
,
=
=
…
= ,
−
…
,
,
= max
≤i ,i ,…,i
k−
≤ ,
−
+ ⋯ +
,
+
,
Berdasarkan persamaan terakhir, untuk sebarang skalar ∈ ℝ
dan ∈ ℝ
×
unsur ke- matriks adalah
= max
≤i ,i ,…,i
k−
≤
+
,
−
+ ⋯ + + + +
,
k
...
+ max
≤i ,i ,…,i
k−
≤ ,
−
+ ⋯ + +
,
= ; untuk = , , …. .
Oleh karena itu untuk sebarang ∈ ℝ
dan ∈ ℝ
×
berlaku bahwa =
;
untuk = , , ….
Untuk sebarang ∈ ℝ
×
didefinisikan trace ≔
=
.
Contoh 3.6 Misalkan
= [ −
� �
� ]
= = [
− �
� �
] [
− �
� �
] = [� �
]
= = [�
� ]
[ −
� �
� ] = [�
� ]
50
trace = max , , � = ; trace
= max , , = dan trace
= max , , = Selanjutnya akan dijelaskan konsep urutan parsial dan urutan total dalam
ℝ
Definisi 3.11 Relasi ≼ pada suatu himpunan � disebut urutan parsial pada � jika
∀ , , ∈ � memenuhi 1.
≼ sifat refleksif. 2.
Jika ≼ dan ≼ maka = sifat antisimetri. 3.
Jika ≼ dan ≼ maka ≼ sifat transitif. Selanjutnya bila berlaku
≼ atau ≼ maka dan dikatakan comparable. Bila setiap dua elemen dari
� dapat dibandingkan maka urutan parsial
≼ disebut urutan total. Berikut ini diberikan teorema yang berkaitan
dengan pengertian urutan parsial pada suatu semigrup komutatif idempoten.
Teorema 3.12 Diberikan suatu semigrup komutatif idempoten �, + . Bila pada
� didefinisikan suatu relasi ≼ oleh ≼ + = maka relasi ≼ adalah
urutan parsial pada
. S
Bukti
Diambil sebarang , , ∈ � maka
1. Karena
S
idempoten maka + =
2. Jika ≼ dan ≼ maka + = dan + = . Karena
S
komutatif maka
+ = + = . Jadi =
51
3. Jika ≼ dan ≼ maka + = dan + = . Karena � mempunyai
sifat assosiatif maka + = +
+ =
+ + = + = . Jadi
∎
Contoh 3.7 Dalam
ℝ relasi
≼ yang didefinisikan sebagai
≼ =
adalah urutan parsial sebab ℝ
, adalah semigrup komutatif idempoten
disertai dengan relasi ≼
= . Selanjutnya ∀ , ∈ ℝ berlaku
= max , =
≼ atau
= max , =
≼ Jadi relasi
≼ terurut total.
Contoh 3.8 Dalam
ℝ
×
relasi ≼
yang didefinisikan sebagai ≼
= ≼
,
∀ ∈ , ∀ ∈ . adalah urutan parsial sebab
ℝ
×
, adalah semigrup komutatif idempoten
disertai dengan relasi ≼
di atas; dan berdasarkan Teorema 3.12 maka relasi ≼
pada ℝ
×
adalah urutan parsial. Urutan parsial ini bukan urutan total, karena untuk dua matriks dan matriks masing-masing berukuran
2 2
seperti dibawah ini
= [ ] , = [
] = [
] [
] = [ ] terlihat bahwa
≠ dan ≠ .
52
Teorema 3.13 Misalkan matriks
∈ ℝ
×
. Bila vektor ,
ℝ dengan
≼
maka
≼ .
Bukti
Untuk sebarang elemen ,
ℝ dengan
≼
berlaku, maka
=
� =
≼ . ∎
Contoh 3.9 Diberikan matriks
= [ ]dan vektor = [ ] , = [ ]. Jelas
bahwa ≼
dan
= [ ]
[ ] = [ ] = [
] [ ] = [ ].
Terlihat bahwa �
≼ �
.
E. Matriks dan Graf di
