Definisi Aljabar Max-Plus ALJABAR MAX-PLUS

30

BAB III ALJABAR MAX-PLUS

Pada bab ini dijelaskan tentang konsep dasar aljabar max-plus yang mencakup definisi aljabar max-plus, operasi dalam aljabar max-plus dan sifat- sifatnya, vektor dan matriks dalam aljabar max-plus, graf dalam aljabar max-plus, nilai eigen dan vektor eigen dalam aljabar max-plus. Penjelasan tentang topik- topik di atas dijelaskan dalam definisi-definisi dan teorema serta dilengkapi dengan contoh-contoh penjelas tentang topik-topik yang bersangkutan.

A. Definisi Aljabar Max-Plus

Secara singkat aljabar max-plus dapat didefinisikan sebagai himpunan ℝ ∪ {�} dengan ℝ adalah himpunan semua bilangan real yang dilengkapi dengan operasi maksimum dan operasi penjumlahan dan membentuk semilapangan. Secara matematika, definisi tentang aljabar max-plus dijelaskan lebih lanjut dalam definisi dan teorema-teorema berikut ini. Definisi 3.1 Notasi ℝ ℰ menunjuk pada himpunan ℝ ∪ {�} dengan ℝ adalah himpunan semua bilangan real Bacelli, 2001. Definisi 3.2 Didefinisikan � = −∞ dan = maka ∀ , ∈ ℝ ℰ , operasi dan operasi didefinisikan sebagai berikut: = max , dan = + 31 Didefinisikan juga bahwa max , � = max �, = dan + � = � + = � sehingga untuk setiap ∈ ℝ ℰ , dapat dituliskan � = � = dan � = � = �. Dalam Heidergott, cs, 2006 himpunan ℝ ℰ yang dilengkapi operasi dan disebut aljabar max-plus dan dinotasikan dengan ℝ = ℝ � , , . Pada penjelasan selanjutnya sebutan dan notasi ini digunakan dalam karya tulis ini untuk menyederhanakan penyebutan aljabar max-plus. Selanjutnya akan diberikan beberapa contoh penggunaan operasi dan dalam perhitungan . Contoh 3.1 Perhatikan contoh operasi dan yang digunakan pada masalah berikut: = max , = � = max , � = � = + −∞ = −∞ = max , = = + = = + = Setelah dijelaskan definisi tentang ℝ , berikut ini akan dijelaskan dua teorema yang menjelaskan sifat dasar ℝ . 32 Teorema 3.3 ℝ adalah semigelanggang komutatif dan idempoten Bacelli, 2001. Bukti Akan dibuktikan bahwa ℝ adalah semigelanggang komutatif dan idempoten. Untuk membuktikan ℝ adalah semigelanggang komutatif dan idempoten maka dibuktikan bahwa 1. ℝ ax adalah semigelanggang. Untuk membuktikan bahwa ℝ , , adalah semigelanggang ditempuh langkah-langkah berikut: a. Akan dibuktikan ℝ , adalah monoid komutatif. Oleh karena itu ∀ , , ∈ ℝ berlaku: i. Operasi di ℝ asosiatif, yaitu: = max max , , = max , , = max , max , = ii. Operasi di ℝ komutatif, yaitu: = max , = max , = iii. Terdapat elemen � = −∞ ∈ ℝ , sedemikian hingga � = max , −∞ = max −∞, = . Jadi berdasarkan Definisi 2.7 terbukti bahwa � = −∞ adalah elemen identitas dari ℝ , . Berdasarkan i, ii, dan iii terbukti bahwa ℝ , adalah monoid komutatif dengan elemen identitas, yaitu � = −∞ 33 b. Akan dibuktikan bahwa ℝ , adalah monoid. Oleh karena itu ∀ , , ∈ ℝ , berlaku: i. Operasi di ℝ asosiatif, yaitu: = + + = + + = ii. Terdapat elemen  e di ℝ sehingga = + = + = . Jadi berdasarkan Definisi 2.7 terbukti bahwa  e adalah elemen identitas dari ℝ , . Jadi, berdasarkan i dan ii terbukti bahwa ℝ , adalah monoid dengan elemen identitas .  e c. Akan dibuktikan di ℝ terdapat elemen penyerap terhadap operasi Diketahui bahwa −∞ ∈ ℝ dan −∞ adalah elemen identitas terhadap operasi di ∈ ℝ . Ambil sebarang ∈ ℝ , berdasarkan Definisi 2.11 berlaku −∞ = −∞ = −∞. Jadi    adalah elemen penyerap terhadap operasi di ℝ . d. Operasi bersifat distributif terhadap ,   c b a , , ℝ berlaku: i. Sifat distributif kanan, yaitu: = max , + = max + , + = ii. Sifat distributif kiri, yaitu: = + , = + , + = Kesimpulan: berdasarkan a, b, c dan d terbukti bahwa ℝ adalah semigelanggang. 34 2. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ℝ adalah semigelanggang komutatif. Berdasarkan Definisi 2.13 untuk membuktikan ℝ adalah semigelanggang komutatif harus ditunjukkan bahwa ℝ adalah semigelanggang dan operasi kedua pada ℝ komutatif. Pada bagian 1 telah ditunjukkan bahwa ℝ adalah semigelanggang. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa operasi kedua di ℝ komutatif. Ambil sebarang , ∈ ℝ , = + = + = . Jadi, untuk sebarang , ∈ ℝ operasi komutatif . B erdasarkan bagian 1 dan 2 terbukti bahwa ℝ adalah semigelanggang komutatif. 3. Yang terakhir akan dibuktikan bahwa ℝ adalah semigelanggang idempoten. Berdasarkan Definisi 2.14 untuk membuktikan ℝ adalah semigelanggang idempoten, harus ditunjukkan ℝ adalah semigelanggang dan operasi pertama pada ℝ idempoten. Pada bagian 1 telah ditunjukkan bahwa ℝ adalah semigelanggang. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa operasi pada ℝ idempoten. Ambil sebarang ∈ ℝ , = max , = . Jadi untuk sebarang ∈ ℝ , operasi idempoten. Terbukti bahwa ℝ adalah semigelanggang idempoten. Kesimpulan: Berdasarkan 1, 2, dan 3 terbukti bahwa ℝ adalah semigelanggang komutatif dan idempoten. ∎ 35 Selanjutnya akan dijelaskan juga teorema yang menjelaskan bahwa ℝ adalah suatu semilapangan. Teorema 3.4 ℝ adalah suatu semilapangan Bacelli, 2001. Bukti Akan ditunjukkan bahwa ℝ adalah suatu semilapangan. Berdasarkan Teorema 3.3 telah dibuktikan bahwa ℝ adalah suatu semigelanggang komutatif. Oleh karena itu, untuk membuktikan ℝ adalah semilapangan, cukup dibuktikan bahwa di ℝ untuk setiap elemen yang bukan elemen identitas −∞ mempunyai invers terhadap operasi . Ambil sebarang ∈ ℝ \{−∞}, ∃ − = − ∈ ℝ maka berlaku − = atau + − = . Jadi terbukti bahwa ℝ adalah semilapangan. ∎ Berdasarkan Teorema 3.3 dan Teorema 3.4 dapat disimpulkan bahwa ℝ adalah himpunan ℝ � yang dilengkapi dengan operasi dan serta membentuk semilapangan idempoten.

B. Notasi di ℝ